În matematică și mai precis în algebră generală , o lege de compoziție internă pe o mulțime S se spune că este comutativă atunci când, pentru toate x și y în S ,
.Cele mai simple exemple de legi comutative sunt , fără îndoială, adăugarea și multiplicarea de naturale numere . Adăugarea și multiplicarea reale și a numerelor complexe , adăugarea de vectori , intersecție și unirea de seturi sunt , de asemenea , legi comutative.
În schimb, scăderea , divizarea , multiplicarea matricilor , compoziția hărților și multiplicarea cuaternionilor sunt legi necomutative.
Unele scrieri antice folosesc implicit proprietățile comutativității. La Egiptenii au folosit comutativității de multiplicare pentru a simplifica calculele de produse. Euclid , în Elementele sale , își asumase și comutativitatea multiplicării. Definiția formală a comutativă a apărut la sfârșitul XVIII - lea și începutul XIX - lea secol , când matematicieni a început să construiască o teorie a funcțiilor. Astăzi, proprietatea comutativității este considerată o proprietate de bază, utilizată în majoritatea ramurilor matematicii.
Prima apariție a termenului „comutativ” datează de la un articol din Annales de Gergonne scris de François-Joseph Servois în 1814, unde a studiat proprietățile funcțiilor care navetează între ele (prin compoziție ). Termenul drept comutativ (în engleză) a apărut apoi în 1838 din stiloul lui Duncan Farquharson Gregory , într-un articol intitulat „Despre natura reală a algebrei simbolice” publicat în 1840 în Tranzacțiile Societății Regale din Edinburgh .
În următoarele structuri au punctul comun de a fi descris de datele unuia sau mai multe legi interne ale căror comutativitatea este necesară:
Fie S un set dotat cu o lege de compoziție internă . Se spune că două elemente x și y din S sunt permutabile atunci când:
.Mai spunem că x și y fac naveta .
Astfel, este comutativ dacă și numai dacă oricare două elemente ale lui S sunt întotdeauna permutabile.