Probabilitatea de comutativitate

În matematică și mai precis în teoria grupurilor , probabilitatea de comutativitate (numită și gradul de comutativitate ) al unui grup finit este probabilitatea ca două elemente alese aleatoriu să comute . Poate fi folosit pentru a măsura cât de aproape este un grup finit de a fi abelian .

Definiție

Fie un grup finit . Definiți ca numărul mediu de perechi de elemente din care navetați: $G$ ${\ displaystyle p (G)}$ $G$

{\ displaystyle p (G): = {\ frac {1} {\ # G ^ {2}}} \ # \ left \ {(x, y) \ în G ^ {2} \ colon xy = yx \ right \}.}

Dacă luăm în considerare legea uniformă asupra , este probabilitatea ca două elemente ale unei alegeri aleatorii să facă naveta. Acesta este motivul pentru care se numește probabilitatea comutativității lui . ${\ displaystyle G ^ {2}}$ ${\ displaystyle p (G)}$ $G$ ${\ displaystyle p (G)}$ $G$

Rezultate

Grupul finit este abelian dacă și numai dacă . $G$ ${\ displaystyle p (G) = 1}$
Avem

{\ displaystyle p (g) = {\ frac {k (G)} {\ # G}}}

unde este numărul claselor de conjugare ale .

{\ displaystyle k (G)}

G

Dacă nu este abelian, atunci (acest rezultat se numește uneori Teorema 5/8) și se ajunge la această limită superioară: există o infinitate de grupuri finite astfel încât , cel mai mic este grupul diedru de ordinul 8. $G$ ${\ displaystyle p (G) \ leq 5/8}$ $G$ ${\ displaystyle p (G) = 5/8}$
Nu există o limită inferioară uniformă pentru . De fapt, pentru orice număr natural diferit de zero, există un grup finit astfel încât . ${\ displaystyle p (G)}$ $nu$ $G$ ${\ displaystyle p (G) = 1 / n}$
Dacă nu este abelian, dar este simplu , atunci (această legătură este atinsă pentru , grupul alternativ de ordinul 5). $G$ ${\ displaystyle p (G) \ leq 1/12}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {5}}$

Generalizări

Probabilitatea de comutativitate poate fi definită pentru alte structuri algebrice, cum ar fi inelele finite .
Probabilitatea de comutativitate poate fi definită pentru grupuri compacte infinite; măsura probabilității este apoi, după renormalizare, măsura Haar .

Referințe

WH Gustafson , „ Care este probabilitatea ca două elemente de grup să facă naveta? ”, The American Mathematical Monthly , vol. 80, n o 9,1973, p. 1031–1034 ( DOI 10.1080 / 00029890.1973.11993437 )
AK Das , RK Nath și MR Pournaki , „ O anchetă privind estimarea comutativității în grupuri finite ”, Southeast Asian Bulletin of Mathematics , vol. 37, n o 22013, p. 161–180
John C. Baez , „ Teorema 5/8 ” , pe Azimut ,16 septembrie 2018
Desmond Machale , „ Commutativity in Finite Rings ” , The American Mathematical Monthly , vol. 83,1976, p. 30-32 ( DOI 10.1080 / 00029890.1976.11994032 )
Karl H. Hofmann și Francesco G. Russo , „ Probabilitatea ca x și y să facă naveta într-un grup compact ”, Matematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , vol. 153, nr . 3,2012, p. 557–571 ( DOI 10.1017 / S0305004112000308 , arXiv 1001.4856 )