Anticomutativitate
În matematică , anticommutativitatea este proprietatea care caracterizează operațiile pentru care inversarea a două argumente transformă rezultatul în opusul său . De exemplu, o operație binară ✻ este anticomutativă dacă
.
Această proprietate intră în joc în algebră , geometrie , analiză și, în consecință, în fizică .
Definiție
Având în vedere un număr natural n , o operațiune n - ary se spune că este anticomutativă dacă inversarea a două argumente transformă rezultatul în opusul său.
Mai formal, o hartă a mulțimii tuturor n -tuplurilor elementelor unei mulțimi A dintr-un grup G se spune că este anticomutativă dacă pentru orice permutație σ a mulțimii {1, 2, ..., n } , ne aflăm la:
,
unde sgn ( σ ) denotă semnătura lui σ .
Această formulă trebuie interpretată după cum urmează:
- dacă două n -cupluri sunt deduse una de cealaltă printr-o permutare impară atunci imaginile lor sunt simetrice între ele în grupul G ;
- dacă două n tupluri sunt deduse unele de altele printr-o permutare, atunci ele au aceeași imagine.
Prin urmare, formula implică un abuz de notație, deoarece a priori , mulțimea de sosire G este doar un grup, în care „–1” și multiplicarea nu au un sens precis. În grupul G , notat aici aditiv, (–1) g reprezintă simetricul (sau opus ) - g al unui element g .
Cazul n = 2 este deosebit de important. O operație binară este anti-comutare dacă
,
ceea ce înseamnă că x 1 ✻ x 2 este elementul invers al x 2 ✻ x 1 în grupa G .
Exemple
- Sunt anti-comutare:
- Se spune că o aplicație multiliniară anti- comutare este antisimetrică .
Proprietate
Dacă grupul G este astfel încât
,
adică dacă elementul neutru este singurul element care este egal cu simetricul său atunci:
- pentru orice operație binară anticomutativă and și orice element x 1 avem:
- mai general, pentru orice operație n -ary ✻ anti-comutativă, imaginea oricărui n -pluțet care cuprinde o repetare ( adică astfel încât pentru cel puțin doi indici distincti i și j ) este egală cu elementul neutru:
![{\ displaystyle [\ exists i \ neq j \ quad x_ {i} = x_ {j}] \ Rightarrow x_ {1} * x_ {2} * \ dots * x_ {n} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43bce260788ff4cea0f26029df49516ff1000eb2)
Această proprietate este mai bine cunoscută în cazul particular al unei hărți n- liniare antisimetrice ( E și F fiind spații vectoriale pe același câmp K ): dacă caracteristica lui K este diferită de 2 atunci singurul vector al lui F egal cu opusul său este vectorul zero, deci f este alternativ .
Vezi și tu
Articole similare
Bibliografie
N. Bourbaki , Elemente de matematică , Algebră, cap. 1-3 , Berlin, Springer Verlag ,2006, A 2 -a ed. , 636 p. ( ISBN 978-3-540-33849-9 , notificare BnF n o FRBNF40227395 ), vezi cap. 3: " Tensor Algebra , algebra exterioara , algebra simetrică ."
Link extern
(ro) AT Gainov , „Anti-commutative algebra” , în Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , citit online )