Ecuația pătratică

În matematică , o ecuație pătratică sau o ecuație pătratică este o ecuație polinomială de gradul 2, adică se poate scrie ca:

ax ^ {2} + bx + c = 0

unde $x$ este necunoscutul și literele $a$ , $b$ și $c$ reprezintă coeficienții, cu $a care nu este$ egal cu 0.

În setul de reale numere , o astfel de ecuație admite maximum două soluții, care corespund la abscisă din punctele posibile de intersecție ale parabolei a ecuației $y = ax 2 + bx + c$ cu axa abscisei în planul prevăzut cu un sistem de coordonate cartezian . Poziția acestei parabole în raport cu axa x, și , prin urmare , numărul de soluții (0, 1 sau 2) este dat de semnul de discriminant . Acesta din urmă face, de asemenea, posibilă exprimarea cu ușurință a soluțiilor, care sunt, de asemenea, rădăcinilefuncție pătratică asociată.

Pe câmpul de numere complexe , o ecuație pătratică are întotdeauna exact două rădăcini distincte sau o rădăcină dublă . În algebra cuaternară , o ecuație pătratică poate avea o infinitate de soluții.

Istoric

Ecuațiile pătratice sunt esențiale pentru algebra babiloniană , chiar înainte de secolul al XVIII- lea î.Hr. AD . BM 13901 Tableta lut a fost descris ca fiind „un adevărat manual pic algebra, dedicată ecuației pătratice și a sistemelor de ecuații și dând procedurile fundamentale rezolvare“ .

În secolul al VIII- lea , matematicianul indian Sridhar Acharya (în) arată cum se calculează cele două rădăcini reale.

Ecuațiile pătratice au fost studiate în mod sistematic de al-Khwarizmi în secolul al IX- lea , într-o lucrare intitulată Cartea compendioasă privind calculul prin finalizare și echilibrare care, prin cuvântul „restaurare” (în arabă : al-Jabr ) și-a dat numele algebră. Al-Khawarizmi distinge șase cazuri de ecuații de gradul I sau II în care parametrii $a$ , $b$ și $c$ sunt toți pozitivi:

pătrate rădăcini egale: $ax 2 = bx$
pătrate numere egale: $ax 2 = c$
rădăcini numere egale: $bx = c$
pătrate și rădăcini numere egale: $ax 2 + bx = c$
pătrate și numere rădăcini egale: $ax 2 + c = bx$
rădăcinile și numerele pătrate egale: $ax 2 = bx + c$

El demonstrează metodele de rezoluție urmând raționamentul algebrei geometrice .

Elemente cheie

Introducere prin exemplu

Căutăm soluțiile posibile ale următoarei ecuații:

{\ displaystyle x ^ {2} -x-1 = 0}

Membrul stâng se numește trinomial pătratic . Este alcătuit din trei termeni, cu aceeași formă: un număr diferit de zero înmulțit cu o putere întreagă de $x$ . Fiecare termen se numește monomial și, din moment ce există trei, vorbim despre un trinom. Cea mai mare putere a acestor monomii este 2; din acest motiv, vorbim de gradul II. Expresia $0 x 2 + x + 1$ nu este un trinom: $x + 1$ , este un binom de gradul I.

Metoda constă în forțarea apariției unei prime identități remarcabile . Scriem polinomul după cum urmează:

{\ displaystyle x ^ {2} -x-1 = x ^ {2} -2 \ cdot {\ frac {1} {2}} \ cdot x + {\ frac {1} {4}} - {\ frac {1} {4}} - 1}

Primii trei termeni sunt cei cu o sumă remarcabilă . Aplicarea unei identități remarcabile face posibilă scrierea polinomului după cum urmează:

{\ displaystyle x ^ {2} -x-1 = \ left (x - {\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} - {\ frac {5} {4}}}

Apoi putem aplica acestei diferențe de pătrate o a doua identitate remarcabilă:

{\ displaystyle x ^ {2} -x-1 = \ left (x - {\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {\ sqrt {5}} { 2}} \ right) ^ {2} = \ left (x - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {\ sqrt {5}} {2}} \ right) \ left (x- { \ frac {1} {2}} - {\ frac {\ sqrt {5}} {2}} \ right)}

Ecuația inițială este apoi exprimată sub forma unui produs de doi factori:

\ left (x - {\ frac 12} + {\ frac {{\ sqrt 5}} 2} \ right) \ left (x - {\ frac 12} - {\ frac {{\ sqrt 5}} 2} \ dreapta) = 0.

Un produs din doi factori este zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este zero. Această remarcă face posibilă găsirea celor două soluții $x 1$ și $x 2$ :

$x_ {1} = {\ frac {1 + {\ sqrt 5}} 2}, \ quad x_ {2} = {\ frac {1 - {\ sqrt 5}} 2}$ .

Rădăcina pozitivă, $x 1$ , se numește raportul auriu și este adesea notată . ${\ displaystyle \ varphi}$

De asemenea, este posibil să se rezolve o ecuație pătratică fără nici o cunoaștere a algebrei: secțiunea despre metoda geometrică arată cum să o faci.

Discriminant

Luați în considerare următoarea ecuație, în care $a$ , $b$ și $c$ denotă numere reale și $a$ este diferit de 0:

ax ^ {2} + bx + c = 0.

Avem următoarea definiție:

Definiția discriminantului - Discriminantul ecuației este valoarea $Δ$ definită de:

\ Delta = b ^ {2} -4ac.

Acesta este uneori numit și realizator și notat $ρ$ .

Această definiție este sursa teoremei asociate cu rezoluția ecuației pătratice, în cazul în care căutăm soluții reale:

Rezolvarea ecuației - Dacă discriminantul este strict pozitiv, ecuația admite două soluții $x 1$ și $x 2$ date de următoarele formule:

x_ {1} = {\ frac {-b + {\ sqrt \ Delta}} {2a}} \ quad {\ text {et}} \ quad x_ {2} = {\ frac {-b - {\ sqrt \ Delta}} {2a}}.

Dacă discriminantul este zero, ecuația admite o rădăcină dublă:

ax ^ {2} + bx + c = a \ left (x + {\ frac b {2a}} \ right) ^ {2} \ quad {\ text {and}} \ quad x_ {1} = x_ {2 } = - {\ frac b {2a}}.

Dacă discriminantul este strict negativ, ecuația nu admite o soluție reală, ci admite două soluții complexe (vezi Rezolvarea în setul de numere complexe de mai jos ).

Interpretare grafică

O modalitate de a studia ecuația din paragraful anterior este de a lua în considerare funcția $f$ a variabilei reale cu valori reale definite de:

f (x) = ax ^ {2} + bx + c.

Ecuația poate fi încă scrisă $f ( x ) = 0$ . Soluțiile ecuației sunt coordonatele x ale punctelor de intersecție ale graficului funcției $f$ și axa $x$ . Graficul funcției $f$ se numește parabolă , are o formă similară cu cea a celor trei exemple prezentate în dreapta. Dacă $a$ este pozitiv, ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, ca exemplele galbene sau albastre, altfel ramurile sunt direcționate în jos, ca exemplul roșu.

Dacă discriminantul este strict pozitiv, la fel ca în exemplul albastru, aceasta înseamnă că graficul lui $f$ traversează axa x în două puncte. Dacă discriminantul este zero, configurația este cea a parabolei roșii, graficul este situat fie în jumătatea planului ordonatelor pozitive, fie în jumătatea planului ordonatelor negative, iar extremul său unic este pe axa absciselor. În cazul unui discriminant strict negativ, ca și în cazul parabolei galbene, graficul este încă situat într-unul din cele două semiplanuri precedente, dar de această dată extremul nu îndeplinește axa x.

Astfel, dacă discriminantul este strict pozitiv, semnul valorilor pe care le ia funcția $f$ între soluții este opusul semnului valorilor luate de $f$ în afara segmentului final al soluțiilor ecuației.

Rezoluție în setul de reali

Formă canonică

Pentru a rezolva ecuația $f ( x ) = 0$ , unde $f$ este funcția paragrafului anterior, o metodă constă în scrierea ei într-o formă mai potrivită. Deoarece valoarea $a$ nu este zero, este deja posibil să o luăm în calcul :

f (x) = ax ^ {2} + bx + c = a \ left (x ^ {2} + {\ frac ba} x + {\ frac ca} \ right).

Metoda utilizată este completarea pătratului ca pentru rezoluția primului exemplu. Se echivalează cu „forțarea” apariției unei identități remarcabile de formă. $\ left (A + B \ right) ^ {2} = A ^ {2} + 2AB + B ^ {2} {\ text {cu}} A = x {\ text {și}} B = {\ frac b {2a}}$ prin adăugarea și scăderea lui $B 2$ :

{\ displaystyle f (x) = a \ left (x ^ {2} + 2x \ left ({\ frac {b} {2a}} \ right) + \ left (\ left ({\ frac {b} {2a }} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} \ right) _ {\ color {red} \ nwarrow = 0} + {\ frac { c} {a}} \ right) = a \ left (\ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} - {\ frac {b ^ {2} -4ac} { 4a ^ {2}}} \ dreapta).}

Acest formular se află la originea unei proprietăți și a unei definiții:

Definiția formei canonice - Ecuația pătratică poate fi scrisă în următoarea formă, numită canonică, $Δ$ desemnând discriminantul:

f (x) = ax ^ {2} + bx + c = a (x- \ alpha) ^ {2} + \ beta = 0 \ quad {\ text {cu}} \ quad \ alpha = {\ frac {- b} {2a}} și \; \ beta = f (\ alpha) = - {\ frac {\ Delta} {4a}} = c - {\ frac {b ^ {2}} {4a}}.

Rețineți că $β$ reprezintă extremul (maxim sau minim) al funcției $f ( x )$ și că acest extrem este atins pentru $x = α$ :

Dacă $a > 0$ , funcția $f ( x )$ este în scădere, apoi crește (funcția în U) și $β$ este deci minimul funcției;
Dacă $a <0$ , funcția $f ( x )$ crește, apoi descrește (funcție în formă de clopot) și $β$ este, prin urmare, maximul funcției.

În ambele cazuri, coordonatele extremului sunt deci $M \ left (\ frac {-b} {2a}; c - \ frac {b ^ 2} {4a} \ right)$

Exemple

Luați în considerare următoarea ecuație:

f (x) = 0 \ quad {\ text {cu}} \ quad f (x) = x ^ {2} -4x + 4.

Două metode permit găsirea expresiei formei canonice. În primul rând, $f$ este definit de o identitate remarcabilă; putem deduce:

f (x) = (x-2) ^ {2}.

De asemenea, este posibil să se utilizeze formulele definiției, găsim aici $a = 1, b = -4 și c = 4$ . Din aceasta se deduce că discriminantul $Δ$ este zero și că coeficientul $α$ este egal cu 2, ceea ce dă din nou rezultatul anterior.

Acum ia în considerare noul exemplu:

g (x) = 0 \ quad {\ text {cu}} \ quad g (x) = 2x ^ {2} -6x + 1.

Dacă egalitatea care definește $g ( x )$ nu mai este o identitate remarcabilă, a doua metodă este încă eficientă. Avem $a = 2$ , $b = -6$ și $c = 1$ . Acest lucru permite efectuarea următoarelor calcule:

\ alpha = - {\ frac b {2a}} = {\ frac 64} = {\ frac 32}, \ quad \ beta = g (\ alpha) = g \ left ({\ frac 32} \ right) = 2 {\ frac 94} -6 {\ frac 32} +1 = {\ frac 92} - {\ frac {18} 2} + {\ frac 22} = - {\ frac 72}.

Deducem forma canonică:

g (x) = 2 \ left (x - {\ frac 32} \ right) ^ {2} - {\ frac {7} 2}.

Graficul funcției $g ( x )$ este deci în formă de U și admite un minim în punct $M \ left (\ frac 32; - \ frac 72 \ right)$

Rezolvați ecuația $f ( x ) = 0$

Rezolvarea ecuației $f ( x ) = 0$ utilizează forma canonică:

Discriminant strict negativ

Dacă discriminantul este strict negativ, valoarea $β / a = -Δ / (4 a 2 )$ este strict pozitivă.

Funcția $f este$ exprimată ca produs al $unei$ (nu este zero) și suma unui termen pozitiv $( x - α) 2$ și un termen strict pozitiv $β / o$ (sumă care , prin urmare , este strict pozitiv, deci nu nul): $f ( x ) = a \times [( x - α) 2 + β / a ]$ .

Deducem că, indiferent de valoarea lui $x$ , imaginea sa de $f$ nu este niciodată zero, deoarece produsul a doi factori diferiți de zero, ceea ce arată absența unei soluții în setul de reali (R).

Putem găsi încă două soluții plasându-ne în setul de numere complexe .

Discriminator nul

Dacă discriminantul este zero, la fel este și termenul $β$ și $f ( x ) = a ( x - α ) 2$ . Această expresie este zero dacă și numai dacă $x$ este egal cu $α$ . Încă o dată, găsim rezultatul exprimat în al doilea paragraf.

Discriminant strict pozitiv

Dacă discriminantul este strict pozitiv, simplificând cu $a$ , ecuația este scrisă din nou, dacă $δ$ denotă rădăcina pătrată a discriminantului:

{\ displaystyle (x- \ alpha) ^ {2} - \ left ({\ frac {\ delta} {2a}} \ right) ^ {2} = 0 \ quad {\ text {cu}} \ quad \ delta = {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}}

Folosind identitatea remarcabilă , ecuația poate fi, prin urmare, scrisă: ${\ displaystyle A ^ {2} -B ^ {2} = \ left (A + B \ right) \ left (AB \ right)}$

{\ displaystyle \ left (x- \ alpha + {\ frac {\ delta} {2a}} \ right) \ left (x- \ alpha - {\ frac {\ delta} {2a}} \ right) = 0}

Un produs cu două numere reale este zero dacă și numai dacă unul dintre cei doi factori ai produsului este zero, deducem că ecuația este echivalentă cu una dintre cele două ecuații:

{\ displaystyle x- \ alpha + {\ frac {\ delta} {2a}} = 0 \ quad {\ text {or}} \ quad x- \ alpha - {\ frac {\ delta} {2a}} = 0 }

Înlocuind $α$ cu și $δ$ cu , găsim expresia deja indicată pentru cele două soluții: ${\ displaystyle - {\ frac {b} {2a}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ Delta}}}$

{\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {-b - {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}} \ quad {\ text {and}} \ quad x_ {2} = {\ frac {-b + {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}}}

Proprietăți

Formă redusă

O ecuație pătratică nu apare întotdeauna în forma studiată până acum. Luați în considerare exemplul:

(x + 2) ^ {3} - (x-1) ^ {3} = 0.

O analiză prea rapidă ar putea sugera că metodele prezentate aici nu sunt potrivite pentru o astfel de ecuație. Pentru a verifica acest lucru, cel mai simplu mod este să extindeți termenul din stânga. Obținem, folosind două identități remarcabile:

(x + 2) ^ {3} - (x-1) ^ {3} = x ^ {3} + 6x ^ {2} + 12x + 8- (x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1) = 9x ^ {2} + 9x + 9.

Ecuația devine apoi:

9x ^ {2} + 9x + 9 = 0.

Prin simplificarea suplimentară cu 9, ecuația se scrie: $x 2 + x + 1 = 0$ . Discriminantul fiind egal cu –3, ecuația nu admite o rădăcină reală. Pentru a putea aplica tehnicile dezvoltate aici, este util să exprimăm ecuația în forma studiată până acum. Această formă are un nume.

Definiția formei reduse - Forma redusă a unei ecuații pătratice reale este după cum urmează, dacă $a$ , $b$ și $c$ sunt trei numere reale astfel încât $a$ este diferit de 0:

ax ^ {2} + bx + c = 0.

Există trei forme importante pentru a exprima o ecuație pătratică, forma redusă, forma canonică și, eventual, forma factorizată, care este scrisă după cum urmează:

a (x-x_ {1}) (x-x_ {2}) = 0.

În forma factorizată, soluțiile sunt disponibile direct. Ele sunt egale cu $x 1$ și $x 2$ .

Relațiile dintre coeficienți și rădăcini

Dacă soluțiile, numite și rădăcini , există, fie că sunt distincte sau duble, există două moduri diferite de a denota polinomul, forma factorizată și forma redusă. Cu notațiile articolului, obținem dacă $x 1$ și $x 2$ sunt cele două rădăcini:

ax ^ {2} + bx + c = a (x-x_ {1}) (x-x_ {2}).

O extindere a formularului din dreapta permite obținerea unei noi expresii a formei reduse:

ax ^ {2} + bx + c = ax ^ {2} -a (x_ {1} + x_ {2}) x + ax_ {1} x_ {2}.

Prin identificarea coeficienților, deducem relațiile dintre coeficienții ecuației și soluțiile sale:

Relațiile dintre coeficienți și rădăcini - Avem următoarele două relații:

x_ {1} + x_ {2} = - {\ frac ba} \ quad {\ text {et}} \ quad x_ {1} x_ {2} = {\ frac ca}.

De asemenea, suma și produsul rădăcinilor sunt soluții ale ecuației . ${\ displaystyle S}$ $P$ ${\ displaystyle x ^ {2} -Sx + P = 0}$

Această proprietate este foarte practică pentru rezolvarea sistemelor de tip: necunoscute . ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ alpha + \ beta = x \\\ alpha \ times \ beta = y \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta) \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$

Egalitățile de această natură sunt generalizate pentru ecuațiile definite de un polinom de orice grad. Acesta este scopul articolului detaliat.

Discriminator redus

Uneori, coeficienții $a$ , $b$ și $c$ sunt numere întregi și $b$ este par. În acest caz, un factor 2 apare atât în numărător, cât și în numitor. Dacă definim $b '$ ca întregul care verifică egalitatea $b = 2 b'$ , simplificăm calculele:

Definiția discriminantului redus - Discriminantul redus este valoarea $Δ '$ definită de:

\ Delta '= b' ^ {2} -ac.

Discriminantul este egal cu de patru ori discriminantul redus, care este deci de același semn cu discriminantul. În consecință, dacă discriminantul redus este strict pozitiv, există două soluții distincte, dacă este zero, cele două soluții sunt confuze și dacă este strict negativ, nu există nicio soluție reală. În cazul în care discriminantul este pozitiv, cele două rădăcini $x 1$ și $x 2 sunt$ exprimate, folosind discriminantul redus cu egalitățile:

x_ {1} = {\ frac {-b '+ {\ sqrt {\ Delta'}}} {a}} \ quad {\ text {et}} \ quad x_ {2} = {\ frac {-b ' - {\ sqrt {\ Delta '}}} a}.

Calculul prezentat aici este exact, indiferent dacă $a$ , $b$ și $c$ sunt numere întregi. Dacă expresia lui $b '$ este simplă, poate fi util să folosiți discriminantul redus, mai degrabă decât discriminantul.

Luați în considerare următoarea ecuație:

{\ sqrt 5} x ^ {2} -6x + {\ sqrt 5} = 0.

Discriminantul redus este puțin mai ușor de calculat decât discriminantul: este egal cu 9 - ( √ 5 ) 2 deci cu 4. Găsim, cu formulele anterioare:

x_ {1} = {\ frac {3 + 2} {{\ sqrt 5}}} = {\ sqrt 5} \ quad {\ text {et}} \ quad x_ {2} = {\ frac {3-2 } {{\ sqrt 5}}} = {\ frac {{\ sqrt 5}} 5}.

Alte metode de rezoluție

Rădăcini evidente

Relațiile dintre coeficienți și rădăcini permit uneori o accelerare a rezoluției. Luați în considerare ecuația anterioară, termenul √ 5 joacă un rol singular. Este tentant să-i calculăm imaginea prin polinomul care definește ecuația. O soluție găsită folosind această metodă, adică constând în alegerea unei valori „la întâmplare” și verificarea faptului că imaginea ei de către polinom este zero, se numește rădăcină evidentă .

Odată cunoscută prima soluție, relațiile dintre coeficienți și rădăcini fac cu ușurință găsirea celei de-a doua. În exemplul propus, cel mai simplu este să observăm că produsul rădăcinilor, egal cu $c / a$ este aici egal cu 1. A doua rădăcină este deci 1 / √ 5 .

Metoda de rădăcină evidentă rezolvă pur și simplu o ecuație de grad superior, ca în exemplul următor:

x ^ {3} -5x-2 = 0.

Sunt posibile mai multe metode pentru a o depăși. Cel al lui Cardan are avantajul de a fi sigur, dar necesită o stăpânire a numerelor complexe și necesită calcule lungi. Metoda rădăcinilor evidente este mult mai rapidă. În mod tradițional, încercăm valorile 0, ± 1 și ± 2. În acest caz, –2 este o rădăcină. Aceasta înseamnă că polinomul $x + 2 îl$ împarte pe cel care definește ecuația. Găsirea celui de-al doilea factor nu este prea dificil. Este un polinom de gradul doi, deoarece doar un polinom de gradul doi, înmulțit cu $( x + 2)$ este gradul al treilea. Dacă $ax 2 + bx + c$ este al doilea factor, calculăm produsul:

(x + 2) (ax ^ {2} + bx + c) = ax ^ {3} + (2a + b) x ^ {2} + (2b + c) x + 2c = x ^ {3} -5x -2.

Deducem $a = 1$ , $c = -1$ apoi $b = -2$ . Ecuația rămâne încă de rezolvat:

x ^ {2} -2x-1 = 0.

Pentru o formulare mai concisă, putem pretinde întotdeauna că 1 + √ 2 este o rădăcină evidentă. Deoarece suma rădăcinilor polinomului de gradul doi este egală cu 2, a doua rădăcină este egală cu 1 - √ 2 .

Metoda geometrică

Primele metode pentru a rezolva o ecuație pătratică sunt geometrice. Chiar și fără a cunoaște elementele de bază ale algebrei, este posibil să se rezolve ecuații pătratice. Grecii au folosit următoarea metodă, pentru a rezolva ceea ce în limbajul contemporan am formaliza prin ecuație:

x ^ {2} + 10x = 39.

Cei doi termeni, dreapta și stânga, sunt considerați a desemna suprafețe. Termenul $x 2$ denotă aria unui pătrat cu laturile $x$ și $10 x$ denotă aria a două dreptunghiuri cu laturile 5 și $x$ . Pătratul și cele două dreptunghiuri sunt organizate așa cum se arată în figura din dreapta, cele două dreptunghiuri sunt desenate în gri, iar pătratul corespunde celui mai mic dintre cele două și conține simbolul $x 2$ în mijlocul său.

Această suprafață, pe care o numim gnomon, ia forma unui pătrat dacă adăugăm un nou pătrat de latura 5, pentru că obținem apoi un pătrat mai mare, conținând atât cele două dreptunghiuri, cât și pătratul laturii $x$ . Pătratul laturii $x$ și cele două dreptunghiuri au o suprafață de 39, am adăugat un pătrat de suprafață 25, obținem un pătrat mare de suprafață 64. În termeni algebrici, această considerație grafică este scrisă:

x ^ {2} + 10x + 25 = 64.

Pătratul mare are suprafața 64, latura sa este, prin urmare, de lungime 8. Acum această latură este, prin construcție, egală cu $5 + x$ . În termeni algebrici, aceasta echivalează cu aplicarea unei identități remarcabile, obținem:

(x + 5) ^ {2} = 64.

Deducem soluția $x = 3$ . Algebra oferă și o altă soluție: –13. Pentru greci, această altă soluție nu are sens, $x$ reprezintă latura unui pătrat, adică o lungime. Cu toate acestea, o lungime este întotdeauna pozitivă.

Alte soluții geometrice sunt propuse în articolele Unknown and Golden Number .

Prin relațiile dintre coeficienți și rădăcini

O altă metodă, folosind relațiile dintre coeficienți și rădăcini, face posibilă găsirea soluțiilor. Presupunem că ecuația admite un discriminant pozitiv și notăm prin $s$ suma soluțiilor și $p$ produsul lor. Prin împărțirea ecuației la factorul $a$ , care nu este zero prin definiție, obținem expresia:

{\ displaystyle x ^ {2} -sx + p = 0}

Fie $m$ valoarea medie a celor două soluții, adică abscisa extremului parabolei. Dacă $h$ este jumătatea distanței dintre soluții și dacă $x 1$ și $x 2$ denotă cele două rădăcini, obținem egalitățile:

{\ displaystyle x_ {1} = m + h \ quad {\ text {și}} \ quad x_ {2} = mh}

Suma celor două rădăcini este egală cu $s$ și, de asemenea, cu $2 m$ , ceea ce dă valoarea $m = s / 2$ . Produsul celor două rădăcini și o identitate remarcabilă arată că $m 2 - h 2 = p$ . O altă modalitate de a scrie această egalitate este $h 2 = m 2 - p$ . Deoarece discriminantul este pozitiv prin ipoteză, termenul din dreapta este pozitiv. Obținem $h$ , apoi valorile rădăcinilor:

{\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {s + {\ sqrt {s ^ {2} -4p}}} {2}} \ quad {\ text {and}} \ quad x_ {2} = {\ frac {s - {\ sqrt {s ^ {2} -4p}}} {2}}}

Înlocuind $s$ și $p$ cu valorile lor, calculate folosind relațiile dintre coeficienți și rădăcini, găsim formulele clasice.

Punctele $( x 1 , 0)$ , $( x 2 , 0)$ , $(0, 1 / a )$ , $(0, c )$ și $(- b / a , c )$ sunt cociclice pe un cerc ( al lui Carlyle ) cu diametru punctele $(0, 1 / a )$ și $(- b / a , c )$

Rezolvarea în mulțimea numerelor complexe

Când discriminantul ecuației pătratice este negativ, nu are o soluție în mulțimea numerelor reale, deoarece nu este posibil să se ia rădăcina pătrată a unui număr negativ. Dar într-un set special construit în acest scop, setul de numere complexe , există numere al căror pătrat este negativ. Ecuația pătratică cu coeficienți reali apoi acceptă întotdeauna soluții . Rezultatul se generalizează la ecuații pătratice ale căror coeficienți sunt complexi.

Coeficienți reali și discriminanți strict negativi

Exemplu

Luați în considerare următoarea ecuație:

x ^ {2} + x + 1 = 0.

În forma sa canonică, ecuația este scrisă:

x ^ {2} +2 {\ frac 12} x + {\ frac 14} + {\ frac 34} = \ left (x + {\ frac 12} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {{\ sqrt 3}} 2} \ right) ^ {2} = 0.

Partea stângă a ecuației este suma a două pătrate, dintre care unul este strict pozitiv, deci nu poate exista o soluție în număr real. O altă modalitate de a realiza acest lucru este de a calcula discriminantul, aici egal cu –3.

Dacă $i$ denotă unitatea imaginară , este posibil să scriem 3/4 ca opusul unui pătrat, această utilizare elimină imposibilitatea, ecuația este scrisă:

{\ displaystyle \ left (x + {\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {\ rm {{i} {\ sqrt {3}}}} {2 }} \ dreapta) ^ {2} = 0.}

Cele identitățile remarcabile se aplică la fel de mult în C , domeniul numerelor complexe, ca și în R care a numerelor reale, la fel ca în orice inel comutativ . Deducem o nouă scriere a ecuației, deoarece diferența dintre două pătrate este factorizabilă:

{\ displaystyle \ left (x + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {\ rm {{i} {\ sqrt {3}}}} {2}} \ right) \ left (x + {\ frac {1} {2}} - {\ frac {\ rm {{i} {\ sqrt {3}}}} {2}} \ right) = 0.}

Acest lucru face posibilă deducerea celor două soluții:

x_ {1} = {\ frac {-1 + {{\ rm {i}}} {\ sqrt 3}} 2} \ quad {\ text {and}} \ quad x_ {2} = {\ frac {- 1 - {{\ rm {i}}} {\ sqrt 3}} 2}.

Se spune că cele două soluții sunt conjugate, adică părțile lor reale sunt egale și părțile lor imaginare sunt opuse. Această proprietate este adevărată numai în cazul unei ecuații pătratice cu coeficienți reali.

Caz general

Metoda utilizată pentru exemplu se aplică în același mod pentru cazul general, dacă coeficienții sunt reali și discriminantul este strict negativ. Ecuația este scrisă în forma sa canonică:

{\ displaystyle a \ left (\ left (x left {x + {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {\ rm {{i} {\ sqrt {| \ Delta |}}}} {2a}} \ right) ^ {2} \ right) = 0.}

Simbolurile $| Δ |$ denotați valoarea absolută a discriminantului. Obținem următorul rezultat:

Coeficienți reali și discriminant negativ - Dacă discriminantul este strict negativ, ecuația admite două soluții conjugate $x 1$ și $x 2$ , care sunt scrise:

x_ {1} = {\ frac {-b + {{\ rm {i}}} {\ sqrt {| \ Delta |}}} {2a}} \ quad {\ text {și}} \ quad x_ {2 } = {\ frac {-b - {{\ rm {i}}} {\ sqrt {| \ Delta |}}} {2a}}.

Ecuația $z 2 = α$

Rezolvarea ecuației $z 2 = α$ echivalează cu determinarea rădăcinilor pătrate ale numărului complex α, adică numere complexe $β$ astfel încât $β 2 = α$ . În mod clar, dacă $β$ este o soluție, este opus și $-β$ .

Notăm cu $z = x + i y$ , $α = a + i b '$ și $|$ α | denotă modulul lui $α$ . Ecuația este scrisă din nou:

z ^ {2} = (x + {{\ rm {i}}} y) ^ {2} = (x ^ {2} -y ^ {2}) + {{\ rm {i}}} 2xy = a + {{\ rm {i}}} b \ quad {\ text {și}} \ quad x ^ {2} -y ^ {2} = a, \; 2xy = b.

Pătratul modulului $z$ este egal cu modulul lui $α$ , deducem:

x ^ {2} -y ^ {2} = a, \; x ^ {2} + y ^ {2} = | \ alpha | = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ quad {\ text {prin urmare}} \ quad x = \ pm {\ sqrt {{\ frac 12} (a + {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}})}}, \ quad y = \ pm {\ sqrt {{\ frac 12} (- a + {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}})}}.

Egalitatea $2 xy = b$ face posibilă eliminarea altor valori decât $β$ și $-β$ , unde $β$ este definită de, dacă $ε$ denotă semnul lui $b$ .

\ beta = \ sqrt {\ frac 12 (a + \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2})} + \ varepsilon {\ rm i} \ sqrt {\ frac 12 (-a + \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2})}.

Un calcul rapid arată că $β$ satisface $β 2 = α$ , iar $β$ și $-β$ sunt, prin urmare, singurele rădăcini pătrate ale lui $α$ .

Determinarea unei rădăcini pătrate a unui număr complex este utilă pentru rezolvarea cazului general al ecuației pătratice cu coeficienți complexi discutați în paragraful următor.

Ecuație pătratică cu coeficienți complecși (caz general)

Acum presupunem că $a$ , $b$ și $c$ sunt trei numere complexe astfel încât $a$ este diferit de zero. Este încă posibil să scriem ecuația articolului în formă canonică, deoarece transformările utilizate sunt la fel de valabile pe numere complexe. Simplificând cu $a$ , ecuația este echivalentă cu:

\ left (x + {\ frac b {2a}} \ right) ^ {2} - {\ frac {\ Delta} {4a ^ {2}}} = 0 \ quad {\ text {cu}} \ quad \ Delta = b ^ {2} -4ac.

Fie δ o rădăcină pătrată a discriminantului (paragraful anterior arată că există o astfel de valoare și cum să o determinăm). Ecuația este apoi rezolvată ca în cazul real, adică este scrisă:

\ left (x + {\ frac b {2a}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {\ delta} {2a}} \ right) ^ {2} = 0 \ quad {\ text { cu}} \ quad \ delta ^ {2} = \ Delta

Identitatea remarcabilă care se ocupă de diferența a două pătrate permite în continuare să scrie în setul de numere complexe:

\ left (x + {\ frac b {2a}} + {\ frac {\ delta} {2a}} \ right) \ left (x + {\ frac b {2a}} - {\ frac {\ delta} { 2a}} \ right) = 0.

Acest lucru face posibilă afirmarea rezultatului:

Caz de coeficienți complexi - O ecuație pătratică cu coeficienți în numere complexe admite două soluții $z 1$ și $z 2$ . Dacă discriminantul este zero, cele două soluții sunt confuze. În cazul general, soluțiile sunt scrise:

z_ {1} = {\ frac {-b + \ delta} {2a}}, \; z_ {2} = {\ frac {-b- \ delta} {2a}} \ quad {\ text {cu}} \ quad \ delta ^ {2} = \ Delta = b ^ {2} -4ac.

Notă : Soluțiile unei ecuații pătratice cu coeficienți complecși sunt în general două numere complexe care nu sunt conjugate, spre deosebire de cazul unei ecuații pătratice cu coeficienți reali al căror discriminant este strict negativ.

Generalizarea către alte organisme

Formulele de mai sus (și dovada lor) rămân valabile dacă $a$ , $b$ și $c$ aparțin unui câmp comutativ $K$ cu caracteristică diferită de 2, luând dacă este necesar $δ$ (rădăcină pătrată a lui $Δ$ ) într-o extensie pătratică a lui $K$ (așa cum am făcut-o căci în cazul $Δ <0$ ). ${\ displaystyle K = \ mathbb {R}}$

Exemple În

K

= F 3 = ℤ / 3ℤ (care este un câmp finit de caracteristica 3 ), să fie:

$a = b = c = 1$ . Deci,prin urmare ecuația $x$ $2$ $+$ $x$ $+ 1 = 0$ are o soluție dublă în F 3 : ; ${\ displaystyle \ Delta = -3 = 0}$ ${\ displaystyle x = {\ frac {-1 \ pm 0} {2}} = 1}$
$a = c = 1$ și $b = 0$ . Decinu are rădăcină pătrată în $K$ , dar există una, $δ$ , în câmpul finit F 9 9-celulă . Ecuația $x$ $2$ $+ 1 = 0$ nu are deci nicio soluție în F 3, dar cele două soluții din F 9 sunt. ${\ displaystyle \ Delta = -4 = -1}$ ${\ displaystyle {\ frac {0 \ pm \ delta} {2}} = \ mp \ delta}$

Calcul numeric

O computerizare „naivă” a metodei de rezoluție poate duce la rezultate de precizie slabă în anumite cazuri.

Într-un computer, precizia numerelor este limitată de modul de reprezentare. Dacă se folosește precizie dublă conform IEEE 754 , valoarea absolută a numerelor este limitată la aproximativ [10 –307 ; 10 308 ].

Eroare de rotunjire

Când $Δ> 0$ , calculul unde $sgn ($ $b$ $)$ este semnul lui $b$ , conduce la calcularea diferenței celor două numere $\sqrt$ $Δ$ și $|$ $b$ $|$ . Dacă acest calcul se face numeric, aceasta are ca rezultat o pierdere de precizie , mai ales când $\sqrt$ $Δ$ este foarte aproape de $|$ $b$ $|$ , adică atunci când $4$ $ac$ este mic în comparație cu $b$ $2$ . Vorbim apoi despre un algoritm de calcul instabil numeric. ${\ dfrac {-b + \ operatorname {sgn} (b) {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}}$

Michaël Baudin oferă următorul exemplu:

\ varepsilon x ^ {2} + (1 / \ varepsilon) x- \ varepsilon.

Când $ε$ (pozitiv) tinde spre 0, suntem într-adevăr în cazul în care $Δ = 1 / ε 2 + 4 ε 2 \approx 1 / ε 2 = b 2$ . Comportamentul asimptotic al rădăcinilor este

{\ displaystyle x_ {1} \ simeq 1 / \ varepsilon ^ {2}, \ x_ {2} \ simeq \ varepsilon ^ {2}}

dar eroarea de trunchiere dă erori mari în comparație cu aceste valori așteptate.

Apăsați și colab. recomandă calcularea valorii intermediare

q = - {\ frac {b + \ operatorname {sgn} (b) {\ sqrt {\ Delta}}} {2}}

ceea ce face posibilă obținerea rădăcinilor

x_ {1} = {\ frac {q} {a}} {\ text {; }} x_ {2} = {\ frac {c} q}.

Rețineți că, deoarece coeficientul $b$ este considerat a fi mare (cel puțin în fața $ac$ ), se poate câștiga în precizie folosind discriminantul redus :

b '= b / 2 {\ text {; }} \ Delta '= b' ^ {2} -ac {\ text {; }} q '= - (b' + \ operatorname {sgn} (b ') {\ sqrt {\ Delta'}})

x_ {1} = {\ frac {q '} {a}} {\ text {; }} x_ {2} = {\ frac {c} {q '}}.

Un mod echivalent constă în calcularea mai întâi a rădăcinii având un semn eficient „+”

x_ {1} = {\ dfrac {-b- \ operatorname {sgn} (b) {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}}

aproape de $- b / a$ și utilizați proprietatea de pe produsul rădăcinilor pentru a determina cealaltă rădăcină folosind egalitatea

x_ {2} = {\ frac c {ax_ {1}}}.

Se spune că acest nou algoritm este stabil din punct de vedere numeric, deoarece nicio eroare nu este amplificată de una dintre etapele calculului.

Depăşire

Când $| b |$ ia valori mari, calculul lui $b 2$ , pentru discriminant, riscă să creeze o eroare de depășire (dacă $b 2 <10 308$ ). Putem lua de exemplu

x ^ {2} + (1 / \ varepsilon) x + 1.

Când $ε$ (pozitiv) tinde la 0, comportamentul asimptotic al rădăcinilor este

{\ displaystyle x_ {1} \ simeq -1 / \ varepsilon, \ x_ {2} \ simeq - \ varepsilon.}

Dar, în timp ce valoarea finală a $x 1$ este reprezentabilă ( $-10 308 <-1 / ε$ ), calculul discriminantului provoacă o eroare de depășire.

Din nou, este avantajos să se utilizeze reducerea discriminantă: $b ' 2 = b 2 / cu 4$ , reducându -se astfel un factor de patru riscul de depășire.

Putem apoi să factorizăm inteligent calculul discriminantului. Dacă $| b ' |$ este mare in fata $| a |$ sau în fața $| c |$ (și nu zero), putem scrie:

\ Delta '= b' ^ {2} \ left (1 - {\ frac {ac} {b '^ {2}}} \ right) = b' ^ {2} \ left (1 - {\ frac {a } {b '}} {\ frac {c} {b'}} \ right).

Atunci definim

e = 1 - {\ frac {a} {b '}} {\ frac {c} {b'}}

ceea ce reduce riscul de eroare de depășire, deoarece fie $| a / b ' | <1$ sau $| c / b ' | <1$ ; atunci

{\ sqrt {\ Delta '}} = \ pm | b' | {\ sqrt {| e |}}

și, prin urmare, $b '$ nu $este$ pătrat.

Dacă dimpotrivă $| c | > | b ' |$ (non zero), putem scrie

\ Delta '= c \ left (b' \ cdot {\ frac {b '} {c}} - a \ right).

Atunci definim

e = b '\ cdot {\ frac {b'} {c}} - a

al cărui calcul reduce riscul de eroare de depășire, deoarece $| b ' / c | <1$ și

{\ sqrt {\ Delta '}} = \ pm {\ sqrt {| c |}} {\ sqrt {| e |}}.

Sensibilitate la variații mici

Dacă calculăm derivatele parțiale ale rădăcinilor în raport cu coeficienții ecuației (presupunând $a \neq 0$ și $Δ \geq 0$ ):

\ left \ {{\ begin {align} {\ frac {\ partial x _ {{1,2}}} {\ partial a}} = \ & {\ frac {c} {a {\ sqrt {\ Delta} }}} + {\ frac {b \ pm {\ sqrt {\ Delta}}} {2a ^ {2}}} \\ {\ frac {\ partial x _ {{1,2}}} {\ partial b }} = \ & {\ frac {-1 \ pm b / {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}} \\ {\ frac {\ partial x _ {{1,2}}} {\ partial c }} = \ & \ pm {\ frac {1} {{\ sqrt {\ Delta}}}} \ end {align}} \ right.

vedem că dacă $a$ sau $Δ$ sunt apropiate de 0, atunci derivatele parțiale sunt foarte mari, ceea ce înseamnă că o mică variație a coeficienților determină o variație mare a valorii rădăcinilor. În astfel de condiții, o mică eroare de trunchiere poate duce la o eroare mare în rezultat.

Dacă discriminantul este zero, găsim aceeași problemă atunci când $a$ este aproape de zero:

\ left \ {{\ begin {align} {\ frac {\ partial x _ {{1,2}}} {\ partial a}} = \ & {\ frac {b} {2a ^ {2}}} \ \ {\ frac {\ partial x _ {{1,2}}} {\ partial b}} = \ & {\ frac {-1} {2a}} \\ {\ frac {\ partial x _ {{1 , 2}}} {\ partial c}} = \ & 0. \ end {align}} \ right.

În ambele cazuri, avem o problemă numită „prost condiționată”.

Algoritm iterativ

O modalitate de a evita problemele menționate mai sus este utilizarea unui algoritm iterativ, de exemplu algoritmul Jenkins-Traub (en) obținând astfel rădăcinile unui polinom $P$ any.

Dacă știm prima rădăcină $x 1$ , atunci se poate scrie $P$

{\ displaystyle P (x) = (x-x_ {1}) H}

unde $H$ este un polinom de grad mai mic de 1 decât $P$ - în acest caz avem $H ( x ) = a ( x - x 2 )$ , vezi secțiunea Formă redusă . Căutările Algoritmul prima rădăcină folosind o secvență de polinoame $( H i )$ se apropie $H$ . Acest lucru este construit recursiv:

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} H_ {0} (x) = \ & P '(0) \\ (x-s_ {i}) \ cdot H_ {i + 1} (x) \ equiv \ & H_ {i} (x) \ mod (P (x)) \ end {align}} \ right.}

unde $( s i )$ este o succesiune de numere.

Primul pas constă în calcularea primilor cinci termeni, $H 0$ până la $H 4$ , cu o succesiune nulă ( s 0 = ... = s 4 = 0). Acest lucru oferă un ordin de mărime al celei mai mici rădăcini și, posibil, permite coeficienților ecuației să fie normalizați dacă această valoare este prea mare sau prea mică. Acest lucru evită problemele de depășire sau depășire.

Al doilea pas este de a calcula primii nouă termeni luând o secvență uniformă. Este o valoare complexă al cărei argument este luat la întâmplare ( $φ$ = rand) și al cărui afix R este soluția ecuației

{\ displaystyle R ^ {2} + | b | R = c}

că se poate găsi într-un mod simplu (de exemplu cu metoda lui Newton-Raphson ), funcția stânga fiind monotonă și convexă. Deci luăm

{\ displaystyle s = R \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ varphi}}

iar dacă metoda nu converge, alegem un alt argument.

Al treilea pas este de a calcula termenii de rang mai mari de 10 folosind motivul:

{\ displaystyle s_ {i + 1} = s_ {i} + {\ frac {P (s_ {i})} {{\ overline {H}} _ {i} (s_ {i})}}}

unde H este coeficientul normalizat $H$ , adică coeficienții săi sunt împărțiți la coeficientul de cel mai înalt grad.

Acest algoritm are asemănări cu Newton-Raphson, polinoamele $H i$ jucând rolul derivatelor.

Acest algoritm poate fi adaptat dacă coeficienții ecuației sunt reali; este apoi mai rapid și mai stabil.

Note și referințe

Note

Ecuația el definește nu este subiectul acestui articol, ci cel intitulat Ecuația de gradul întâi .
A se vedea articolul Ecuația zero produs .

Referințe

Høyrup 2010 , p. 39.
Caveing 1994 , p. 21.
Acest exemplu este prezentat în: The Golden Ratio with Geoplan de P. Debart de la Académie d'Aix-Marseille .
V. & F. Bayart, Studiul trinomului de gradul II , pe site-ul bibmath.net.
Găsim această definiție pe site: Discriminant par Euler, un site al Academiei de la Versailles.
Pe site-ul UCLouvain : [1]
Ecuație pătratică în R de Euler, un site al Academiei de Versailles.
Acest paragraf este explicat în site-ul: Semnul unei funcții trinomiale de gradul II de către Euler, un site al Academiei de la Versailles.
C. Rossignol, Polinomii de gradul II pe site-ul Academiei din Grenoble, 2008, p. 2 .
Acest exemplu este inspirat de site-ul deja citat: C. Rossignol, Polynômes du second degree , p. 2 .
Dacă există o singură rădăcină și este egală cu α, totuși spunem că există două rădăcini $x 1 = x 2 = α$ . Aceasta se numește rădăcină dublă. Această convenție are mai multe interese, inclusiv aceea de a evita un anumit caz, de exemplu în contextul acestui paragraf.
Provine dintr-un exercițiu de anul final de P. Amposta: Gammes , de pe site-ul „matematică în liceu”.
Pentru mai multe detalii, a se vedea: A. Dahan-Dalmedico și J. Peiffer , A History of Mathematics: Roads and Labes ,1986[ detaliu ediții ] p. 62 .
Dominique Flament, Istoria numerelor complexe ( ISBN 2-271-06128-8 ) .
[ (ro) Scilab nu este naiv ] , Scilab Consortium.
(în) WH Press , Saul A. Teukolsky , William T. Vetterling și Brian P. Flannery , „5. Ecuații cuadratice și cubice: 5.6” în Rețete numerice în C , Cambridge University Press,1992.
Michel Pignat și Jean Vignès, Ingineria controlului preciziei calculelor pe computer .

Vezi și tu

Articol asociat

Forma quadratică

Bibliografie

J. Merker, De la trinomul de gradul II la teoria lui Galois , Presses Universitaires de Franche-Comté (2007) ( ISBN 2848672056 )
Maurice Caveing , Eseu despre cunoașterea matematică: în Mesopotamia și Egiptul antic , Villeneuve d'Ascq, Presses Univ. Nord,1994, 417 p. ( ISBN 2-85939-415-X )
Jens Høyrup , L'algebre au temps de Babylone , Vuibert / Adapt, col. „Inflexiuni”,august 2010, 162 p. ( ISBN 9782356560162 )

Ecuația pătratică

Istoric

Elemente cheie

Introducere prin exemplu

Discriminant

Interpretare grafică

Rezoluție în setul de reali

Formă canonică

Exemple

Rezolvați ecuația f ( x ) = 0

Proprietăți

Formă redusă

Relațiile dintre coeficienți și rădăcini

Discriminator redus

Alte metode de rezoluție

Rădăcini evidente

Metoda geometrică

Prin relațiile dintre coeficienți și rădăcini

Rezolvarea în mulțimea numerelor complexe

Coeficienți reali și discriminanți strict negativi

Ecuația z 2 = α

Ecuație pătratică cu coeficienți complecși (caz general)

Generalizarea către alte organisme

Calcul numeric

Eroare de rotunjire

Depăşire

Sensibilitate la variații mici

Algoritm iterativ

Note și referințe

Note

Referințe

Vezi și tu

Articol asociat

Bibliografie

Rezolvați ecuația $f ( x ) = 0$

Ecuația $z 2 = α$