Finalizarea pătratului
Metoda de finalizare a pătrat , în matematică, este un proces care permite algebric sa rescrie o ecuație pătratică a formei sub ei formă canonică , sau factorize polinomului . Ideea este de a arăta o formă pătrată de identitate remarcabilă și un exemplu de extragere a rădăcinii pătrate .
laX2+bX+vs.=0{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0} la((X+b2la)2-b2-4lavs.4la2)=0{\ displaystyle a {\ biggl (} (x + {\ frac {b} {2a}}) ^ {2} - {\ frac {b ^ {2} -4ac} {4a ^ {2}}} {\ biggr)} = 0} laX2+bX+vs.{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}
Metodă
Ideea generală a acestei tehnici constă, pornind de la o ecuație de forma A + B = C , să o punem în forma A + B + D = C + D , unde D este ales astfel încât A + B + D sau dezvoltarea unei identități remarcabile precum (o variantă a acestui proces constă în „adăugarea 0”, adică în scrierea A + B sub forma A + B + DD). Astfel, atunci când avem o ecuație de formă adăugăm pe fiecare parte a ecuației pentru a o face să apară , ceea ce dă
(X+y)2=X2+2Xy+y2{\ displaystyle (x + y) ^ {2} = x ^ {2} + 2xy + y ^ {2}}X2+bX+vs.=0{\ displaystyle x ^ {2} + bx + c = 0}(b2)2-vs.{\ displaystyle \ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2} -c}X2+bX+(b2)2=(X+b2)2{\ displaystyle x ^ {2} + bx + \ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2} = \ left (x + {\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2}}
X2+bX+(b2)2=(b2)2-vs.{\ displaystyle x ^ {2} + bx + \ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ { 2} -vs},
de unde [X+(b2)]2=(b2)2-vs.{\ displaystyle \ left [x + \ left ({\ frac {b} {2}} \ right) \ right] ^ {2} = \ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ { 2} -vs}
și prin urmare (presupunând că radicandul este pozitiv).
X=-b2±(b2)2-vs.{\ displaystyle x = - {\ frac {b} {2}} \ pm {\ sqrt {\ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2} -c}}}
Exemplu
Să se rezolve ecuația. Adăugați pe fiecare parte.
X2-6X+5=0{\ displaystyle x ^ {2} -6x + 5 = 0}(-6/2)2-5=9-5{\ displaystyle (-6/2) ^ {2} -5 = 9-5}
Primim ,
X2-6X+5+9-5=9-5{\ displaystyle x ^ {2} -6x + 5 + 9-5 = 9-5}
care este simplificat în ,
X2-6X+9=4{\ displaystyle x ^ {2} -6x + 9 = 4}
apoi în (X-3)2=4{\ displaystyle (x-3) ^ {2} = 4}
și în cele din urmă .
X-3=±4=±2{\ displaystyle x-3 = \ pm {\ sqrt {4}} = \ pm 2}
De aici soluțiile ecuației și .
X1=1{\ displaystyle x_ {1} = 1}X2=5{\ displaystyle x_ {2} = 5}
Generalizare
Putem aplica această metodă unei ecuații a formei , undelaX2+bX+vs.=0{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}la≠0.{\ displaystyle a \ neq 0.}
laX2+bX+vs.=0{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}
⇔X2+blaX+vs.la=0,{\ displaystyle \ Leftrightarrow x ^ {2} + {\ frac {b} {a}} x + {\ frac {c} {a}} = 0,} deoarece
la≠0.{\ displaystyle a \ neq 0.}
Prin aplicarea metodei de mai sus la această ecuație, obținem forma canonică
laX2+bX+vs.=la((X+b2la)2-b2-4lavs.4la2)=0{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a {\ biggl (} (x + {\ frac {b} {2a}}) ^ {2} - {\ frac {b ^ {2} -4ac} {4a ^ {2}}} {\ biggr)} = 0} ;
găsim apoi formula lui Viète (presupunând radicandul pozitiv):
X=-b2la±(b2la)2-vs.la,{\ displaystyle x = - {\ frac {b} {2a}} \ pm {\ sqrt {\ left ({\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} - {\ frac {c} { la}}}},}sau într-o formă mai obișnuită, cu discriminantul polinomului:
X1=-b+b2-4lavs.2la{\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {-b + {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}} ; .
X2=-b-b2-4lavs.2la{\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {-b - {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}Dacă discriminantul este pozitiv, obținem factorizarea canonică:
laX2+bX+vs.=la(X-X1)(X-X2).{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a (x-x_ {1}) (x-x_ {2}).}
Alte aplicații
Aceeași idee poate fi aplicată și altor expresii algebrice; permite de exemplu transformarea unei ecuații carteziene ca în sau ; recunoaștem apoi ecuația unui cerc cu centrul (-1, 2) și raza 3.
X2+y2+2X-4y=4{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + 2x-4y = 4}X2+2X+1+y2-4y+4=9,{\ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 + y ^ {2} -4y + 4 = 9,}(X+1)2+(y-2)2=9{\ displaystyle (x + 1) ^ {2} + (y-2) ^ {2} = 9}
Putem obține, de asemenea, aceeași identitate a lui Sophie Germain :
X4+4y4=(X4+4X2y2+4y4)-4X2y2=(X2+2y2)2-(2Xy)2=(X2-2Xy+2y2)(X2+2Xy+2y2).{\ displaystyle x ^ {4} + 4y ^ {4} = (x ^ {4} + 4x ^ {2} y ^ {2} + 4y ^ {4}) - 4x ^ {2} y ^ {2} = (x ^ {2} + 2y ^ {2}) ^ {2} - (2xy) ^ {2} = (x ^ {2} -2xy + 2y ^ {2}) (x ^ {2} + 2xy + 2y ^ {2}).}
Completarea pătratului este utilă și pentru calcularea anumitor integrale . Astfel, pentru o integrală a formei
Eu=∫dXX2+bX+vs.{\ displaystyle I = \ int {\ frac {\ mathrm {d} x} {x ^ {2} + bx + c}}}, rescris ,
Eu=∫dXX2+bX+b2/4-b2/4+vs.=∫dX(X2+b/2)2-b2/4+vs.{\ displaystyle I = \ int {\ frac {\ mathrm {d} x} {x ^ {2} + bx + b ^ {2} / 4-b ^ {2} / 4 + c}} = \ int { \ frac {\ mathrm {d} x} {(x ^ {2} + b / 2) ^ {2} -b ^ {2} / 4 + c}}}ne putem întoarce, prin pozare , la forme ale cărora putem calcula primitivele din funcțiile obișnuite:
X=X+b/2{\ displaystyle X = x + b / 2}
∫dXX2+k2=1karctan(Xk)+VSsau∫dXX2-k2=12kln|X-kX+k|+VS{\ displaystyle \ int {\ frac {dX} {X ^ {2} + k ^ {2}}} = {\ frac {1} {k}} \ arctan \ left ({\ frac {X} {k} } \ right) + C \ qquad {\ text {or}} \ qquad \ int {\ frac {dX} {X ^ {2} -k ^ {2}}} = {\ frac {1} {2k}} \ ln \ left | {\ frac {Xk} {X + k}} \ right | + C}.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">