Valoare proprie (rezumat)

Noțiunile de eigenvector , eigenvalue și eigenspace aplică endomorphisms (sau operatori liniari), adică hărți liniare ale unui spațiu vectorial în sine. Acestea sunt strâns legate și formează un stâlp al reducerii endomorfismelor , parte a algebrei liniare care are ca scop descompunerea spațiului în cel mai eficient mod posibil într- o sumă directă de sub-spații stabile .

Definiții și proprietăți

În cele ce urmează, considerăm un spațiu vectorial E într - un câmp comutativ K . Elementele lui E sunt vectorii, iar cele ale lui K sunt scalarele . În practică, câmpul K este adesea câmpul ℂ al complexelor și spațiul vectorial este de dimensiune finită . În fiecare secțiune, se vor specifica orice restricții asupra corpului sau dimensiunii. Notăm prin u un endomorfism al lui E și $Id$ endomorfismul identitar .

Valoare proprie

Definiție - Un scalar $λ$ este o valoare proprie a lui u dacă există un vector x zero care să permită u ( x ) = $λ$ x .

Valorile proprii ale lui u sunt deci scalarele $λ$ astfel încât u - $λId$ nu este injectiv (cu alte cuvinte nucleul său nu este redus la vectorul zero ).

Valorile proprii ale unei matrice pătrate A de dimensiunea n sunt valorile proprii ale endomorfismului lui K n al matricei A în baza canonică .

Dacă E este de dimensiune finită n , valorile proprii ale lui u (sau ale matricei sale A în orice bază ):

sunt rădăcinile polinomului lor caracteristic comun, det ( X Id - u ) = det ( X I n - A );
sunt toate valorile spectrale ale lui u (sau ale lui A ): elementele spectrului lor comun.

Exemple:

dacă u = $Id$ atunci u are o singură valoare proprie: 1.
dacă u este definit pe ℝ 2 până atunci u are două valori proprii: tu(X1,X2)=(X1+6X2,X1+2X2){\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} + 6x_ {2}, x_ {1} + 2x_ {2})} $u (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} + 6x_ {2}, x_ {1} + 2x_ {2})$
- 4 pentru că $u (2.1) = (8.4) = 4 (2.1)$
- –1 pentru că $u (-3,1) = (3, -1) = - 1 (-3,1)$
- nicio altă valoare proprie, deoarece dimensiunea este 2.

Vector curat

Definiție - Fie x un vector diferit de zero al lui E , x este un vector propriu al lui u dacă există un scalar $λ$ astfel încât u ( x ) = $λ$ x . Spunem că x este un vector propriu asociat cu valoarea proprie $λ$ .

Vectorii proprii (asociate cu o valoare proprie $λ$ ) dintr - o matrice pătratică A de dimensiune n sunt vectorii proprii (asociate cu eigenvalue $X$ ) a endomorphism de K n reprezentate de A .

Un vector propriu nu poate fi asociat cu două valori proprii diferite
O familie de k vectori proprii asociați cu k valori proprii diferite constituie o familie liberă .

Curățați subspatiile

Definiție - Fie λ o valoare proprie a lui u (resp. A ); atunci mulțimea formată din vectorii proprii pentru valoarea proprie λ și a vectorului zero se numește valoarea proprie a lui u (resp. A ) asociată cu valoarea proprie λ.

Subspaiul propriu asociat cu o valoare proprie λ este nucleul lui u - λ $Id$ . Prin urmare, este un subspatiu vectorial .
Prin definiția unei valori proprii, o valoare proprie nu este niciodată redusă la vectorul zero.
Pentru o matrice pătrată A de dimensiunea n , găsim subspaiul corespunzător asociat cu o valoare proprie λ prin rezolvarea sistemului (omogen) de n ecuații liniare cu n necunoscute a căror scriere matricială este ( A - $λ$ I n ) v = 0.
Spațiile proprii E i ale valorilor proprii λ i formează o sumă directă a subspaiilor vectoriale stabile cu u .
Aceasta este o consecință a lemei nucleului , aplicată polinoamelor X - λ i , care sunt două câte două prime între ele.
Această sumă directă a lui E i este egală cu E dacă și numai dacă endomorfismul este diagonalizabil.
Dacă două endomorphisms u și v naveta , atunci orice subspatiu corespunzătoare a u este stabilă în v .

Polinom caracteristic

Presupunem aici că E este de dimensiune finită n .

Numim „polinom caracteristic” al endomorfismului u , polinomul det ( X $Id$ - u ) și „polinom caracteristic” al unei matrice pătrate A de ordinul n , polinomul caracteristic al endomorfismului lui K n asociat canonic cu A , adică polinomul det ( XI n - A ), unde I n este matricea de identitate n × n . Acest polinom este de grad n , de aceea are cel mult n rădăcini .

Fie a : E → F un izomorfism al spațiilor vectoriale , adică un bijectiv liniar , atunci u și aua -1 au același polinom caracteristic și, prin urmare, aceleași valori proprii.
Într-adevăr, ${\ displaystyle \ det (\ lambda {\ rm {Id}} _ {F} -aua ^ {- 1}) = \ det (a (\ lambda {\ rm {Id}} _ {E} -u) a ^ {- 1}) = \ det (\ lambda {\ rm {Id}} _ {E} -u).}$
Prin urmare, polinomul caracteristic al lui u este egal cu cel al matricei sale A, în orice bază .
Rădăcinile polinomului caracteristic al lui u (sau al lui A ) sunt valorile proprii ale acestuia.
Într-adevăr, un endomorfism are un determinant zero dacă și numai dacă este neinjectiv.
Dacă K este închis algebric , sau dacă K este R câmpul numerelor reale și n este impar, atunci u are cel puțin o valoare proprie.
A spune că un câmp este închis algebric înseamnă a spune că orice polinom neconstant admite cel puțin o rădăcină. Această rădăcină este în mod necesar o valoare proprie, conform primului punct de mai sus. Pe de altă parte, un adevărat polinom de grad impar are întotdeauna o rădăcină reală.

Ordinea multiplicității algebrice a unei valori proprii λ este ordinea multiplicității rădăcinii în polinomul caracteristic. Prin urmare, este exponentul lui ( X - λ) în polinomul caracteristic.

Într-un câmp închis algebric:
- Determinantul este egal cu produsul valorilor proprii crescute la ordinea lor de multiplicitate algebrică;
- Urma este egală cu suma valorilor proprii înmulțite cu ordinea lor de multiplicitate algebrică.

Polinom minim

Ne plasăm aici în cadrul unui spațiu vectorial E de dimensiune finită.

Noi numim „polinom minimal“ al u unitate polinomul de cel mai mic grad care anulează u . Polinomul minim oferă o relație de dependență liniară asupra puterilor u 0 , u 1 , u 2 , ..., ale endomorfismului și reciproc o astfel de relație de dependență liniară dă un polinom de anulare a lui u , polinomul minim prin minimizarea gradului și luarea coeficientul 1 pentru cea mai mare putere a lui u care apare.

Rădăcinile polinomului minim sunt valorile proprii ale lui u .

Dacă polinomul minim este luat în calcul M = ( X - λ) Q , atunci M ( u ) = ( u - λ

Id

) ∘ Q ( u ) este endomorfismul zero, în timp ce Q ( u ) nu este (deoarece gradul de Q este prea scăzut). În consecință, există vectori diferiți de zero în imaginea lui Q ( u ), care sunt vectori proprii pentru λ.

Mai general pentru orice număr întreg i ≥ 1, polinomul minim este divizibil cu ( X - λ) i dacă și numai dacă nucleul lui ( u - λ $Id$ ) i este strict mai mare decât cel al lui ( u - λ $Id$ ) i - 1 . În consecință, multiplicitatea m de λ ca rădăcină a polinomului minim este egală cu cel mai mic exponent astfel încât nucleul lui ( u - λ $Id$ ) m este egal cu subspaiul caracteristic asociat cu valoarea proprie λ. Se numește multiplicitatea minimă a lui λ.
Fie a un automorfism al lui E , atunci u și aua −1 au același polinom minim (și, prin urmare, aceleași valori proprii). Cu alte cuvinte, polinomul minim este o asemănare invariantă a endomorfismului.
Intr - adevar, P ( AUA -1 ) este egal cu aP ( u ) este -1 , pentru orice polinom P .
Pe un câmp închis algebric, polinomul minim (ca orice polinom diferit de zero) este împărțit și, prin urmare, are cel puțin o rădăcină, care este valoarea proprie a lui u (excepție: dacă dimensiunea lui E este zero, polinomul minim este 1, la fel ca polinomul caracteristic, și u nu are valoare proprie).
Cayley-Hamilton teorema ne permite să afirmăm că minime polinomiale polinomul împarte caracteristica

Subspatii caracteristice

Presupunem că E este dimensional finit și că K este închis algebric.

Dacă λ este o valoare proprie u , ordinea multiplicității care este alfa λ , numim „subspațiu caracteristic“ a u asociat cu eigenvalue X nucleul ( u - λ $Id$ ) alfa λ . Vom denota acest subspatiu caracteristic E λ .

E λ este, de asemenea, nucleul lui ( u - λ $Id$ ) β λ unde β λ este ordinea multiplicității lui λ în polinomul minim.
E λ este stabil de u .
dim ( E λ ) = α λ .
Spațiul E este suma directă a subspatiilor sale caracteristice.
restricția lui u la E λ are un polinom minim ( X - λ) β λ .

Reducerea endomorfismului

Presupunem că E are o dimensiune finită. Studiul valorilor proprii face posibilă găsirea unei forme mai simple de endomorfisme, aceasta se numește reducerea lor.

Diagonalizare

Endomorfismul este determinat în întregime de vectorii proprii și de valorile proprii asociate dacă este diagonalizabil, adică dacă există o bază a vectorilor proprii. Exemple numerice sunt date în articolul „ Matricea diagonalizabilă ”. Următoarele criterii sunt toate condițiile necesare și suficiente pentru ca un endomorfism al unui spațiu vectorial dimensional finit să fie diagonalizabil:

Există o bază de vectori proprii
suma dintre eigenspaces este întreg spațiul
suma dimensiunilor spațiului eigens este egală cu dimensiunea întregului spațiu
polinomul minim este împărțit pe K și cu rădăcini unice. ( Dovadă în polinomul endomorfismului . )
orice subspațiu propriu-zis are o dimensiune egală cu multiplicitatea algebrică a valorii proprii asociate.
orice reprezentare a matricei M a lui u este diagonalizabilă, adică poate fi scrisă sub forma M = PDP −1 cu P și D, respectiv, cu matrice inversabile și diagonale .

În plus față de aceste proprietăți echivalente, există următoarele implicații:

Dacă există valori proprii distincte ( E ) distincte, atunci u este diagonalizabil.
Dacă u este diagonalizabil, atunci polinomul său caracteristic este împărțit.

În cazul în care câmpul este ℂ, această proprietate este aproape peste tot adevărată în sensul măsurii Lebesgue . Mai mult, în spațiul topologic al endomorfismelor lui E , subsetul celor diagonalizabile este apoi dens .

Descompunerea Dunford

Dacă polinomul minim al lui u este împărțit, atunci u poate fi scris sub forma u = d + n cu d diagonalizabil și n nilpotent astfel încât dn = nd . Mai mult, d și n sunt polinoame în u .

Reprezentarea Iordaniei

Presupunem că K este închis algebric.

Reprezentarea lui Jordan demonstrează că orice endomorfism u al lui E este trigonalizabil . Arată că restricția lui u la subspaiul caracteristic asociat cu valoarea proprie $λ$ are o reprezentare formată din blocuri de formă

J_ {k} (\ lambda) = {\ begin {pmatrix} \ lambda & 1 &&&& \\ & \ lambda & 1 && (0) & \\ && \ ddots & \ ddots && \ &&& \ ddots & \ ddots & \ \ & (0) &&& \ lambda & 1 \\ &&&&& \ lambda \\\ end {pmatrix}}

numit „blocurile lui Jordan” și că endomorfismul are o reprezentare matricială în formă

{\ begin {pmatrix} J _ {{k_ {1}}} (\ lambda _ {1}) &&&& \\ & J _ {{k_ {2}}} (\ lambda _ {2}) &&& \\ && \ ddots && \\ &&& \ ddots & \\ &&&& J _ {{k_ {r}}} (\ lambda _ {r}) \\\ end {pmatrix}}

unde scalarii $λ i$ (nu neapărat distincti) sunt valorile proprii ale lui u .

Vezi și tu

Articole similare

Bibliografie

Serge Lang , Algebra [ detaliile edițiilor ]
Haïm Brezis , Analiza funcțională: teorie și aplicații [ detaliile edițiilor ]
Walter Rudin , Analiza funcțională [ detaliile edițiilor ]
(ro) Nelson Dunford și Jacob T. Schwartz (ro) , Operatori lineari, Partea I Teoria generală , Wiley-Interscience, 1988