Spectrul unui operator liniar

În matematică , mai precis în analiza funcțională , spectrul unui operator liniar pe un spațiu vector topologic este ansamblul valorilor sale spectrale . În dimensiunea finită , acest set este redus la setul de valori proprii ale acestui endomorfism sau ale matricei sale într-o bază .

În teoria operatorilor (în) și mecanica cuantică , conceptul de spectru se extinde la operatorii nelimitați închise.

Spectrul unui element al algebrei Banach

Fie o algebră Banach unificată peste câmpul numerelor complexe . Spectrul unui element al , notat , este ansamblul numerelor complexe pentru care elementul nu admite un invers în . ${\ mathcal {A}}$ $X$ ${\ mathcal {A}}$ $\ sigma (x)$ $\ lambda$ $r (\ lambda, x): = \ lambda 1 _ {{{\ mathcal A}}} - x$ ${\ mathcal {A}}$

Exemple

Dacă este un idempotent (adică ) diferit de 0 și 1, atunci $X$ $x ^ {2} = x$ $\ sigma (x) = \ {0,1 \}.$
Dacă este o funcție întreagă atunci : aceasta este teorema mapării spectrale . Dovada este elementară în două cazuri particulare: f{\ displaystyle f} $f$ σ(f(X))=f(σ(X)){\ displaystyle \ sigma (f (x)) = f (\ sigma (x))} $\ sigma (f (x)) = f (\ sigma (x))$
- În cazul în care algebra este , este suficient să se
trigonalize matricei .LA{\ displaystyle {\ mathcal {A}}} ${\ mathcal A}$ Mnu(VS){\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {C})} ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {C})}$ X{\ displaystyle x} $X$
În cazul în care este un polinom , este suficient, pentru un complex fix, să se aplice polinomului sub formă de factori pentru a vedea că este deci echivalent cu $f$ $\ mu$ $X$ $f- \ mu$ $\ mu \ in \ sigma (f (x))$ $f ^ {{- 1}} (\ {\ mu \}) \ cap \ sigma (x) \ neq \ varnothing$ $\ mu \ in f (\ sigma (x)).$

Spectrul unui operator liniar mărginit

Definim spectrul unui operator de mărginit pe un Banach complex X ca spectrul său atunci când se analizează acest operator ca element al algebra Banach a operatorilor marginita pe X . Mai explicit, dacă notăm cu identitatea de cartografiere a , care este elementul de unitate , atunci spectrul operatorului liniar mărginit este setul de numere complexe , pentru care operatorul nu admite un operator invers gros condus. ${\ mathcal {B}} (X)$ $Eu$ $X$ ${\ mathcal {B}} (X)$ $T: de la X la X$ $\ sigma (T)$ $\ lambda$ $R (\ lambda) = \ lambda IT$

Proprietăți

Prin aplicarea teoremei lui Liouville (versiunea vectorială) la rezolvarea sa , arătăm că orice operator mărginit pe un spațiu complex Banach are un spectru nevazut (în timp ce este posibil să nu aibă valoare proprie ca, pe spațiul lui Hilbert $L 2$ (ℝ) , operatorul unitar U definit de Uf ( t ) = e i t f ( t ) sau operatorul Hermitian H definit de Hf ( t ) = f ( t ) / (1 + | t |) sau din nou, pe $L 2 ([0, 1 ])$ , operatorul compact al Volterra ). Prin urmare, prin această noțiune de spectru, generalizăm faptul că orice endomorfism al unui spațiu vectorial complex de dimensiune finită (sau orice matrice pătrată cu coeficienți complecși) admite valori proprii.

Referinţă

(în) Yuri A. Abramovich și Charalambos D. Aliprantis , O invitație la teoria operatorilor , AMS , al. „ GSM ” ( nr . 50)2002( citiți online ) , p. 269.

Vezi și tu

Articole similare

Raza spectrală
Spectru esențial (în)

Bibliografie

Haïm Brezis , Analiza funcțională: teorie și aplicații [ detaliile edițiilor ]