Independența liniară

În algebra liniară , având în vedere o familie de vectori din același spațiu vectorial , vectorii familiei sunt liniar independenți sau formează o familie liberă , dacă singura combinație liniară a acestor vectori care este egală cu vectorul zero este cea din care toate coeficienții sunt zero. Aceasta înseamnă a spune că niciunul dintre vectorii familiei nu este o combinație liniară a celorlalți.

În cazul în care vectorii nu sunt liniar independenți, spunem că sunt dependenți liniar sau că formează o familie legată .

Definiții

Fie E un spațiu vectorial și K câmpul său de scalari .

Se spune că o familie (finită sau infinită) de vectori ai lui E este liberă sau, din nou, familia constă din vectori „liniar independenți” , dacă singura combinație liniară a vectorilor egali cu vectorul zero 0 E este cea din care toate coeficienții sunt zero (cu alte cuvinte: dacă orice combinație liniară a coeficienților nu toate zero este diferită de vectorul zero). (veu)eu∈Eu{\ displaystyle (v_ {i}) _ {i \ în I}}veu{\ displaystyle v_ {i}}veu{\ displaystyle v_ {i}}

• Când este vorba despre o familie finită , această condiție este scrisă:(veu)1≤eu≤nu{\ displaystyle (v_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n}}∀(la1,...,lanu)∈Knu,(la1v1+⋯+lanuvnu=0E⇒la1=la2=⋯=lanu=0K).{\ displaystyle \ forall (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ în K ^ {n}, \ quad \ left (a_ {1} v_ {1} + \ cdots + a_ {n} v_ { n} = 0_ {E} \ Rightarrow a_ {1} = a_ {2} = \ cdots = a_ {n} = 0_ {K} \ right).}
• Când familia este arbitrară (finită sau nu), condiția este scrisă:(veu)eu∈Eu{\ displaystyle (v_ {i}) _ {i \ în I}}∀(laeu)∈K(Eu),(∑laeuveu=0E⇒∀eu∈Eu, laeu=0),{\ displaystyle \ forall (a_ {i}) \ în K ^ {(I)}, \ quad \ left (\ sum a_ {i} v_ {i} = 0_ {E} \ Rightarrow \ forall i \ in I, ~ a_ {i} = 0 \ dreapta),}unde un element al lui K ( I ) este o familie, indexată de I , de scalari toți zero, cu excepția unui număr finit.

În caz contrar, se spune că vectorii sunt liniar dependenți sau se spune că familia este legată. Astfel, este o familie legată de vectori dacă există o familie de elemente de K toate zero cu excepția unui număr finit diferit de zero , astfel încât (veu)eu∈Eu{\ displaystyle (v_ {i}) _ {i \ în I}}(laj)j∈Eu{\ displaystyle (a_ {j}) _ {j \ in I}}

∑eu∈Eulaeuveu=0E.{\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} a_ {i} v_ {i} = 0_ {E}.}

Pe baza conceptelor de familie liberă sau legată, acestea sunt definite în parte liber sau legat: o parte A din E se numește liberă dacă familia (resp. Legată) este. (la)la∈LA{\ displaystyle (a) _ {a \ în A}}

Exemple

Exemplul 0

În spațiul vectorial ℝ 3 , cei trei vectori (2, –1, 1), (1, 0, 1) și (3, –1, 2) formează o familie înrudită deoarece (2, –1, 1) + ( 1, 0, 1) - (3, –1, 2) = (0, 0, 0).

Exemplul 1

În spațiul vectorial ℝ 4 , cei trei vectori (4, 2, 1, 3), (2, 0, 3, 0) și (6, 2, 4, –3) sunt liniar independenți deoarece coordonatele lor, dispuse în juxtapunere coloane, formează o matrice

(42620213430-3){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 3 & 0 & -3 \ end {pmatrix}}}

al căror rang este egal cu numărul de vectori. Într-adevăr, cei 3 minori

|20213430-3|=-36{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 3 & 0 & -3 \ end {vmatrix}} = - 36}

este diferit de zero deci rangul matricei este 3.

Exemplul 2

Orice bază este (prin definiție) o familie liberă, în special baza canonică a spațiului K- vectorial K n .

Exemplul 3

În spațiul vectorial real al funcțiilor din ℝ ℝ , setul infinit de funcții care nu se pot număra pentru real este liber. fλ:t↦eλt{\ displaystyle f _ {\ lambda}: t \ mapsto {\ rm {e}} ^ {\ lambda t}}λ{\ displaystyle \ lambda}

Demonstrație

Fie așa încât (laλ)λ∈R∈R(NU){\ displaystyle (a _ {\ lambda}) _ {\ lambda \ in \ mathbb {R}} \ in \ mathbb {R} ^ {(\ mathbb {N})}}

∑laλfλ=0.{\ displaystyle \ sum a _ {\ lambda} f _ {\ lambda} = 0.}

Dacă numărul n al realilor pentru care este diferit de zero, prin notarea lor și prin notarea coeficienților asociați, ecuația este rescrisă: λ{\ displaystyle \ lambda}laλ≠0{\ displaystyle a _ {\ lambda} \ neq 0}λ1,...,λnu{\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}}la1,...,lanu{\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}

∑k=1nulakfλk=0.{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} f _ {\ lambda _ {k}} = 0.}

Prin setarea și evaluarea ecuației de mai sus în realele 0, 1, 2,…, n - 1, obținem că matricea VandermondeXk=eλk{\ displaystyle x_ {k} = {\ rm {e}} ^ {\ lambda _ {k}}}

(1X1X12...X1nu-11X2X22...X2nu-11X3X32...X3nu-1⋯⋯⋯⋯⋯1XnuXnu2...Xnunu-1){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & x_ {1} & x_ {1} ^ {2} & \ dots & x_ {1} ^ {n-1} \\ 1 & x_ {2} & x_ {2 } ^ {2} & \ dots & x_ {2} ^ {n-1} \\ 1 & x_ {3} & x_ {3} ^ {2} & \ dots & x_ {3} ^ {n-1} \\\ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots \\ 1 & x_ {n} & x_ {n} ^ {2} & \ dots & x_ {n} ^ {n-1} \ end { pmatrix}}}

asociat cu n -tuple are liniile sale legate de coeficienți . Deoarece determinantul său este diferit de zero, acest lucru este absurd, deci n = 0, adică toate sunt zero. (X1,...,Xnu){\ displaystyle (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}lak{\ displaystyle a_ {k}}laλ{\ displaystyle a _ {\ lambda}}

De asemenea, demonstrăm că, mai general, în spațiul vectorial complex al funcțiilor de la ℝ la ℂ, setul de funcții pentru complex este liber. fλ:t↦eλt{\ displaystyle f _ {\ lambda}: t \ mapsto {\ rm {e}} ^ {\ lambda t}}λ{\ displaystyle \ lambda}

Proprietăți

• Familia ( v ) și partea { v } sunt libere dacă și numai dacă vectorul v nu este zero.
• Familia ( v 1 , v 2 ) este legată dacă și numai dacă v 1 și v 2 sunt coliniare (în special, familia ( v , v ) este întotdeauna legată, indiferent dacă v este zero sau nu).
• Dacă una dintre subfamiliile unei familii este înrudită (în special dacă doi dintre vectorii săi sunt coliniari sau dacă unul dintre ei este zero), atunci această familie este înrudită. Cu alte cuvinte , dacă o familie este liberă, atunci toate subfamiliile sale sunt libere.
• O familie este legată dacă și numai dacă unul dintre elementele sale este o combinație liniară a celorlalte.
• Deoarece o combinație liniară se referă la un număr finit de termeni, o familie infinită este gratuită dacă și numai dacă toate subfamiliile sale finite sunt libere.
• Familia goală și partea goală sunt gratuite.
• Dacă K este câmpul fracțiilor unui inel integral A (de exemplu dacă K = ℚ și A = ℤ ), o familie de vectori ai lui E este K- liber dacă și numai dacă este A- liber (în E văzut ca A -modul ).

Spațiul proiectiv al dependențelor liniare

O relație de dependență liniară a vectorilor poate fi reprezentată de un - tuplu de scalari, nu toți zero, astfel încât nu{\ displaystyle n}v1,...,vnu{\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}nu{\ displaystyle n} (la1,...,lanu){\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}nu{\ displaystyle n}

la1v1+⋯+lanuvnu=0E.{\ displaystyle a_ {1} v_ {1} + \ cdots + a_ {n} v_ {n} = 0_ {E}.}

Dacă există o astfel de relație de dependență liniară, atunci vectorii sunt liniar dependenți. Atunci este posibil să se identifice două relații de dependență liniare dacă una este un multiplu diferit de zero al celeilalte relații, deoarece în acest caz ambele corespund aceleiași dependențe liniare a vectorilor dintre ele. Sub această identificare, setul de -upluri care descriu dependențele liniare ale vectorilor este un spațiu proiectiv . nu{\ displaystyle n}nu{\ displaystyle n}v1,...,vnu{\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}

Note și referințe

1. (ro) Serge Lang , Algebra ,1965[ detaliu ediții ], 1965, p. 81.
2. N. Bourbaki , Algebra , p. A-II-26, propunerea 18.
3. (în) Michael Artin , Algebra [ detalii publicare ], 3,14, p. 92.

Vezi și tu

Articole similare

• Independența algebrică
• Independență afină
• Lema Steinitz
• Matroid (generalizarea paragrafului conceptului)
• Ortogonalitate

Link extern

Christine Graffigne și Avner Bar-Hen, „  Cours L1, S1, Notion de famille libre  ” , la Universitatea din Paris 5