Cele Ramanujan Caietele sunt patru colecții de manuscrise de către Srinivasa Ramanujan , un indian matematician și colegii de la Trinity College , Cambridge , unde a înregistrat descoperirile sale matematice de la începutul carierei sale în India; a patra, o colecție împrăștiată redescoperită în 1976, se numește Caietul pierdut al lui Ramanujan .
Din 1908 (avea atunci 21 de ani), Srinivasa Ramanujan , după ce nu și-a dat examenele, nu a mai încercat să urmeze un curs convențional, ci a continuat cercetările personale în matematică, în timp ce trăia într-o mare sărăcie materială; la acea vreme, din lipsă de hârtie, își efectua calculele și raționamentul în cap sau pe o ardezie, notând doar rezultatele finale într-un caiet; el va păstra această metodă de lucru toată viața, producând astfel trei caiete care conțin în total 3.900 formule și teoreme fără practic nicio demonstrație; în plus, izolarea sa îl determină să construiască un sistem de evaluare personală, făcându-i greu de descifrat munca.
Al patrulea caiet este de fapt doar un pachet de pagini neîngrijite, scrise în ultimul an al vieții sale (1919-1920); sa considerat pierdut până când a fost redescoperit de matematician George Andrews în 1976, într - o cutie cu obiecte personale ale lui George Neville Watson stocate la Biblioteca Wren (in) Trinity College din Cambridge . Este format din 87 de coli care conțin peste 600 de formule; acest set este descris ca caietul pierdut Ramanujan ( Caietul pierdut al lui Ramanujan ).
O fotocopie a celor trei caiete a fost publicată în două volume în 1957, de către Institutul Tata , iar o ediție color mult mai bună a fost produsă în 2012. Versiunile digitalizate ale celor trei caiete și „caietul pierdut” sunt acum disponibile online.
Din 1977 și timp de mai bine de douăzeci de ani, Bruce Carl Berndt s-a dedicat ediției comentate a celor trei caiete (numite acum caiete Ramanujan ), în cinci volume însumând peste 1.800 de pagini. În total, caietele conțin aproape 3.900 de „afirmații”, cel mai adesea fără nicio demonstrație. Berndt și colaboratorii săi, în special matematicienii George Andrews , Richard Askey și Robert Rankin , și-au propus fie să le demonstreze, fie să caute referințe în literatura existentă; Berndt se poate baza și pe notele pe care Watson și Wilson le-au făcut în anii 1930 pentru proiectul lor de publicare abandonat. Între 2005 și 2018, a publicat o ediție adnotată, în alte cinci volume, a rezultatelor „caietului pierdut”, de această dată fiind ajutat în special de Ken Ono , care se bazează pe unele dintre aceste rezultate pentru a obține, în 2014, un set spectaculos de noi formule algebrice .
În 2003, Berndt a reluat (pe baza corespondenței diferiților actori) vicisitudinile caietelor. Primul a rămas în Anglia în 1919; după moartea lui Ramanujan, Hardy a trimis-o la Universitatea din Madras, care i-a furnizat o copie scrisă de mână, urmată de trimiterea celorlalte două caiete, precum și note împrăștiate care constituie „caietul pierdut”, între 1923 și 1925. La o dată nedeterminată după 1935, caietele (dar nu și celelalte documente) au fost returnate la Madras de George Neville Watson , care începuse să le exploateze, dar își pierduse interesul pentru ele.
Rankin a descris în detaliu acest ultim caiet. Majoritatea formulelor privesc seriile q și funcțiile teta false , aproximativ o a treia se referă la ecuațiile modulare și invarianții modulari singulari , iar restul se referă în principal la integrale, seriile Dirichlet , congruențe și expansiuni asimptotice .
Câteva mii de rezultate au fost propuse de Ramanujan în aceste caiete; au fost analizate și acum sunt toate demonstrate (uneori folosind instrumente informatice): foarte puține sunt false (cel mai adesea ca urmare a erorilor de copiere) și două treimi sunt originale. Ramanujan lipsea unor teorii necunoscute sau în curs de dezvoltare la începutul secolului al XX-lea, cum ar fi teoria numerelor analitice și chiar ignorând rezultatele de bază ale analizei complexe , cum ar fi teorema reziduurilor , metodele care i-au permis să descopere o astfel de cantitate de formule și teoreme. rămâne obscur.