Ramanujan Congruences

În matematică , congruențele Ramanujan sunt congruențe remarcabile despre funcția de partiție p ( n ). Matematician Srinivasa Ramanujan a descoperit congruenta:

{\ displaystyle {\ begin {align} p (5k + 4) & \ equiv 0 {\ pmod {5}} \\ p (7k + 5) & \ equiv 0 {\ pmod {7}} \\ p (11k +6) & \ equiv 0 {\ pmod {11}}. \ End {align}}}

Înseamnă că

Dacă un număr este congruent cu 4 modulo 5, adică este inclus în cele ce urmează

4, 9, 14, 19, 24, 29 ,. . . atunci numărul partițiilor sale este multiplu de 5.

Dacă un număr este congruent cu 5 modulo 7, adică este inclus în cele ce urmează

5, 12, 19, 26, 33, 40 ,. . . atunci numărul partițiilor sale este multiplu de 7.

Dacă un număr este congruent cu 6 modulo 11, adică este inclus în cele ce urmează

6, 17, 28, 39, 50, 61 ,. . . atunci numărul partițiilor sale este multiplu de 11.

Context

În lucrarea sa din 1919, el oferă dovezi ale primelor două congruențe folosind următoarele identități (folosind notația Q-simbol a lui Pochhammer ):

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} p (5k + 4) q ^ {k} = 5 {\ frac {(q ^ {5}) _ {\ infty} ^ {5}} {(q) _ {\ infty} ^ {6}}} \\ & \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} p (7k + 5) q ^ {k} = 7 {\ frac {(q ^ {7}) _ {\ infty} ^ {3}} {(q) _ {\ infty} ^ {4}}} + 49q {\ frac {(q ^ {7}) _ {\ infty} ^ {7}} {(q) _ {\ infty} ^ {8}}}. \ end {align}}}

El spune apoi că „se pare că nu există proprietăți de simplitate egală pentru numerele prime, altele decât acestea”.

După moartea lui Ramanujan, în 1920, GH Hardy a extras dovezi pentru cele trei congregații dintr-un manuscris nepublicat de Ramanujan la p ( n ) (Ramanujan, 1921). Dovada folosește seria Eisenstein .

În 1944, Freeman Dyson a definit funcția de rang și a conjecturat existența unei funcții de manivelă pentru partiții care ar oferi o dovadă combinatorie a congruențelor modulului Ramanujan 11. 40 de ani mai târziu, George Andrews și Frank Garvan au găsit o astfel de funcție și au demonstrat simultan cele trei congruențe ale lui Ramanujan modulul 5, 7 și 11.

În anii 1960, AOL Atkin de la Universitatea Illinois din Chicago a descoperit congruențe suplimentare pentru numere prime mici . De exemplu:

{\ displaystyle p (11 ^ {3} \ cdot 13k + 237) \ equiv 0 {\ pmod {13}}.}

prin extinderea rezultatelor lui A. Atkin, Ken Ono în 2000 a demonstrat că există astfel de congruențe Ramanujan pentru fiecare număr întreg prim cu 6. De exemplu, rezultatele sale dau

{\ displaystyle p (107 ^ {4} \ cdot 31k + 30064597) \ equiv 0 {\ pmod {31}}}

; în 2005, elevul său Karl Mahlburg a îmbunătățit și mai mult aceste rezultate explicând manivela.

O explicație conceptuală pentru observația Ramanujan a fost în cele din urmă descoperită în ianuarie 2011, luând în considerare dimensiunea Hausdorff a următoarei funcții în topologia l-adică : $P$

{\ displaystyle P _ {\ ell} (b; z): = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} p \ left ({\ frac {\ ell ^ {b} n + 1} {24} } \ dreapta) q ^ {n / 24}.}

Vedem că are dimensiunea 0 numai în cazurile în care ℓ = 5, 7 sau 11 și din moment ce funcția de partiție poate fi scrisă ca o combinație liniară a acestor funcții, aceasta poate fi considerată ca o formalizare și o dovadă a observării lui Ramanujan.

În 2001, RL Weaver a dat un algoritm eficient pentru a găsi congruențele funcției de partiție și a totalizat 76.065 congruențe. Acest lucru a fost extins în 2012 de către F. Johansson la 22.474.608.014 congruențe, un exemplu fiind

{\ displaystyle p (999959 ^ {4} \ cdot 29k + 28995221336976431135321047) \ equiv 0 {\ pmod {29}}.}

Vezi și tu

Partiția unui număr întreg

Referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Congruențele lui Ramanujan ” ( vezi lista autorilor ) .

GH Hardy și EM Wright ( tradus din engleză de François Sauvageot, pref. Catherine Goldstein ), Introducere în teoria numerelor [„ O introducere în teoria numerelor ”] [ detaliu al ediției ], capitolul 19 („Scoruri”), secțiunea 19.12.
(în) S. Ramanujan , „ proprietățile de congruență ale partițiilor ” , Mathematische Zeitschrift , vol. 9,1921, p. 147–153 ( DOI 10.1007 / bf01378341 ).
(în) Amanda Folsom , Zachary A. Kent și Ken Ono , „ properties-Proprietăți adice ale funcției de partiție ” , Advances in Mathematics , vol. 229, nr . 3,2012, p. 1586 ( DOI 10.1016 / j.aim.2011.11.013 ).
(în) JH Bruinier și K. Ono , " Algebraic Formulas for the coeficients of Half-Integral Weight Slab Harmonic Maas Forms Maas " , Advances in Mathematics , vol. 246,20 octombrie 2013, p. 198-219 ( arXiv 1104.1182 , citiți online ).
(în) Rhiannon L. Weaver , „ Noua congruență pentru funcția de partiție ” , The Ramanujan Journal , vol. 5,2001, p. 53 ( DOI 10.1023 / A: 1011493128408 ).
(în) Fredrik Johansson , „ Implementarea eficientă a formulei Hardy-Ramanujan-Rademacher ” , LMS Journal of Computation and Mathematics , vol. 15,2012, p. 341 ( DOI 10.1112 / S1461157012001088 ).

Ken Ono , „ Distribuirea funcției de partiție modulo m ” , Annals of Mathematics , vol. 151,2000, p. 293–307 ( DOI 10.2307 / 121118 , JSTOR 121118 , zbMATH 0984.11050 , citiți online )
(ro) Ken Ono , Rețeaua modularității: aritmetica coeficienților formelor modulare și a seriei q , vol. 102, Providence, RI, Societatea Americană de Matematică ,2004, 129 p. ( ISBN 0-8218-3368-5 , zbMATH 1119.11026 , citiți online )
S. Ramanujan , „ Unele proprietăți ale lui p (n), numărul de partiții ale lui n ”, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , vol. 19,1919, p. 207-210

linkuri externe

K. Mahlburg , „ Partition Congruences and the Andrews - Garvan - Dyson Crank ” , Proceedings of the National Academy of Sciences , vol. 102, nr . 43,2005, p. 15373–76 ( PMID 16217020 , PMCID 1266116 , DOI 10.1073 / pnas.0506702102 , Bibcode 2005PNAS..10215373M , citiți online [PDF] )
Gradul, manivela și adjunctul lui Dyson .