Fracția continuă gaussiană

În analiza complexă , o fracție continuă gaussiană este un caz special al unei fracții continue derivate din funcții hipergeometrice . Acesta a fost unul dintre primele exemple de fracții analitice continue . Acestea fac posibilă reprezentarea unor funcții elementare importante, precum și a unor funcții speciale transcendente mai complicate.

Istorie

Lambert a publicat câteva exemple de fracții continuate generalizate ale acestei forme în 1768, demonstrând, printre altele, iraționalitatea lui $π$ ( cf. § „Aplicații la 0 F 1 ” de mai jos ). Euler și Lagrange au explorat construcții similare, dar Gauss a fost cel care a folosit trucul algebric descris în secțiunea următoare pentru a da forma generală a acestei fracții continue, în 1813.

Cu toate acestea, nu și-a demonstrat proprietățile de convergență . Bernhard Riemann și Ludwig Wilhelm Thomé au obținut rezultate parțiale, dar abia în 1901 Edward Burr Van Vleck (în) a clarificat domeniul convergenței .

Formula generală

Fie $( f i )$ o secvență de funcții analitice astfel încât pentru toate $i > 0$ ,

{\ displaystyle f_ {i-1} -f_ {i} = k_ {i} \, z \, f_ {i + 1},}

unde $k i$ sunt constante . Deci pozând ${\ displaystyle g_ {i} = {\ frac {f_ {i}} {f_ {i-1}}} {\ text {, avem}} g_ {i} = {\ frac {1} {1 + k_ {i} zg_ {i + 1}}}}$ prin urmare (în notația Pringsheim ) ${\ displaystyle {\ frac {f_ {1}} {f_ {0}}} = g_ {1} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1 + k_ {1} zg_ {2}}} = { \ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {1} z \ mid} {\ mid 1 + k_ {2} zg_ {3}}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {1} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {2} z \ mid} {\ mid 1 + k_ {3} zg_ {4 }}} = \ ldots}$ și repetarea acestei transformări la nesfârșit:

{\ displaystyle {\ frac {f_ {1}} {f_ {0}}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {1} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {2} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {3} z \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots.}

În fracția continuată gaussiană, funcțiile $f i$ sunt funcții hipergeometrice de forma 0 F 1 , 1 F 1 și 2 F 1 , iar ecuațiile $f i -1 - f i = k i zf i +1$ provin din „ identități între aceste funcții, în care parametrii diferă prin cantități întregi . Aceste identități pot fi demonstrate în diferite moduri, de exemplu prin extinderea seriei și compararea coeficienților sau prin calcularea derivatei în mai multe moduri și eliminarea acesteia din ecuațiile produse.

Cele trei serii 0 F 1 , 1 F 1 și 2 F 1

Seria 0 F 1

Cel mai simplu caz se referă la funcție

{\ displaystyle {} _ {0} F_ {1} (; a; z) = 1 + {\ frac {1} {a \, 1!}} z + {\ frac {1} {a (a + 1 ) \, 2!}} Z ^ {2} + {\ frac {1} {a (a + 1) (a + 2) \, 3!}} Z ^ {3} + \ cdots.}

După identitate ${\ displaystyle _ {0} F_ {1} (; a-1; z) - \, _ {0} F_ {1} (; a; z) = {\ frac {z} {a (a-1) }} \, _ {0} F_ {1} (; a + 1; z),}$ putem lua ${\ displaystyle f_ {i} = \, _ {0} F_ {1} (; a + i; z) {\ text {et}} k_ {i} = {\ frac {1} {(a + i) (a + i-1)}},}$ Care dau ${\ displaystyle {\ frac {{} _ {0} F_ {1} (; a + 1; z)} {\, _ {0} F_ {1} (; a; z)}} = {\ frac { 1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {1} {a (a + 1)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {1 } {(a + 1) (a + 2)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {1} {(a + 2) (a + 3)}} z \ mijloc} {\ mijloc 1}} + \ cdots}$ sau, prin conversie :

{\ displaystyle {\ frac {{} _ {0} F_ {1} (; a + 1; z)} {a \, _ {0} F_ {1} (; a; z)}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid a}} + {\ frac {z \ mid} {\ mid a + 1}} + {\ frac {z \ mid} {\ mid a + 2}} + {\ frac { z \ mid} {\ mid a + 3}} + \ cdots.}

Această dezvoltare converge la funcția meromorfă definită de coeficientul celor două serii convergente (cu condiția, desigur, că $a$ nu este un număr negativ sau zero).

Seria 1 F 1

Următorul caz se referă la funcția hipergeometrică confluentă a lui Kummer

{\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a; b; z) = 1 + {\ frac {a} {b \, 1!}} z + {\ frac {a (a + 1)} {b (b + 1) \, 2!}} z ^ {2} + {\ frac {a (a + 1) (a + 2)} {b (b + 1) (b + 2) \, 3 !}} z ^ {3} + \ cdots,}

pentru care cele două identități sunt utilizate alternativ ${\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a; b-1; z) - \, _ {1} F_ {1} (a + 1; b; z) = {\ frac {(a- b + 1) z} {b (b-1)}} \, _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z),}$ ${\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a; b-1; z) - \, _ {1} F_ {1} (a; b; z) = {\ frac {az} {b ( b-1)}} \, _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z).}$ Întrebând ${\ displaystyle f_ {0} (z) = \, _ {1} F_ {1} (a; b; z),}$ ${\ displaystyle f_ {1} (z) = \, _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z),}$ ${\ displaystyle f_ {2} (z) = \, _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 2; z),}$ ${\ displaystyle f_ {3} (z) = \, _ {1} F_ {1} (a + 2; b + 3; z),}$ ${\ displaystyle f_ {4} (z) = \, _ {1} F_ {1} (a + 2; b + 4; z),}$ etc. și ${\ displaystyle k_ {1} = {\ frac {ab} {b (b + 1)}}, ~ k_ {2} = {\ frac {a + 1} {(b + 1 (b + 2)}} , ~ k_ {3} = {\ frac {ab-1} {(b + 2) (b + 3)}}, ~ k_ {4} = {\ frac {a + 2} {(b + 3) ( b + 4)}}, \ ldots}$ noi obținem ${\ displaystyle {\ frac {{} _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z)} {{} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {ab} {b (b + 1)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{ \ frac {a + 1} {(b + 1) (b + 2)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{{\ frac {ab-1} {(b + 2) (b + 3)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {a + 2} {(b + 3) (b + 4)}} z \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots}$ din care deducem

{\ displaystyle {\ frac {{} _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z)} {b \, _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {(ab) z \ mid} {\ mid b + 1}} + {\ frac {(a + 1) z \ mid} { \ mid b + 2}} + {\ frac {(ab-1) z \ mid} {\ mid b + 3}} + {\ frac {(a + 2) z \ mid} {\ mid b + 4} } + \ cdots}

dar, de asemenea, folosind acel 1 F 1 (0; b ; z ) = 1 și înlocuind $b + 1$ cu $b$ , cazul special

{\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (1; b; z) = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {z \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {z \ mid} {\ mid b + 1}} - {\ frac {bz \ mid} {\ mid b + 2}} + {\ frac {2z \ mid} {\ mid b + 3} } - {\ frac {(b + 1) z \ mid} {\ mid b + 4}} + \ cdots.}

De asemenea, ${\ displaystyle {\ frac {{} _ {1} F_ {1} (a; b + 1; z)} {{} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {a} {b (b + 1)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {ab-1} {(b + 1) (b + 2)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {a + 1} {(b + 2) (b + 3)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {ab-2} {(b + 3) (b + 4)}} z \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots}$ sau:

{\ displaystyle {\ frac {{} _ {1} F_ {1} (a; b + 1; z)} {b \, _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = { \ frac {1 \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {az \ mid} {\ mid b + 1}} + {\ frac {(ab-1) z \ mid} {\ mid b + 2 }} + {\ frac {(a + 1) z \ mid} {\ mid b + 3}} + {\ frac {(ab-2) z \ mid} {\ mid b + 4}} + \ cdots. }

Seria 2 F 1

Ultimul caz se referă la funcție

{\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = 1 + {\ frac {ab} {c \, 1!}} z + {\ frac {a (a + 1 ) b (b + 1)} {c (c + 1) \, 2!}} z ^ {2} + {\ frac {a (a + 1) (a + 2) b (b + 1) (b + 2)} {c (c + 1) (c + 2) \, 3!}} Z ^ {3} + \ cdots.}

Folosim din nou, alternativ, două identități: ${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c-1; z) - \, _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c; z) = {\ frac {(ac + 1) bz} {c (c-1)}} \, _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 1; z),}$ ${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c-1; z) - \, _ {2} F_ {1} (a, b + 1; c; z) = {\ frac {(bc + 1) az} {c (c-1)}} \, _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 1; z),}$ care sunt de fapt aceleași cu inversarea în apropierea lui $a$ și $b$ .

Întrebând ${\ displaystyle f_ {0} (z) = \, _ {2} F_ {1} (a, b; c; z),}$ ${\ displaystyle f_ {1} (z) = \, _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z),}$ ${\ displaystyle f_ {2} (z) = \, _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 2; z),}$ ${\ displaystyle f_ {3} (z) = \, _ {2} F_ {1} (a + 2, b + 1; c + 3; z),}$ ${\ displaystyle f_ {4} (z) = \, _ {2} F_ {1} (a + 2, b + 2; c + 4; z),}$ etc. și ${\ displaystyle k_ {1} = {\ frac {(ac) b} {c (c + 1)}}, ~ k_ {2} = {\ frac {(bc-1) (a + 1)} {( c + 1) (c + 2)}}, ~ k_ {3} = {\ frac {(ac-1) (b + 1)} {(c + 2) (c + 3)}}, ~ k_ { 4} = {\ frac {(bc-2) (a + 2)} {(c + 3) (c + 4)}}, \ ldots}$ noi obținem ${\ displaystyle {\ frac {{} _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z)} {{} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z )}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {(ac) b} {c (c + 1)}} z \ mid} {\ mid 1} } + {\ frac {{\ frac {(bc-1) (a + 1)} {(c + 1) (c + 2)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{ \ frac {(ac-1) (b + 1)} {(c + 2) (c + 3)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {(bc-2 ) (a + 2)} {(c + 3) (c + 4)}} z \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots}$ din care deducem

{\ displaystyle {\ frac {{} _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z)} {{} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z )}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid c}} + {\ frac {(ac) bz \ mid} {\ mid c + 1}} + {\ frac {(bc-1) (a +1) z \ mid} {\ mid c + 2}} + {\ frac {(ac-1) (b + 1) z \ mid} {\ mid c + 3}} + {\ frac {(bc- 2) (a + 2) z \ mid} {\ mid c + 4}} + \ cdots.}

dar, de asemenea, folosind acel 2 F 1 (0, b ; c ; z ) = 1 și înlocuind $c + 1$ cu $c$ , cazul special

{\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (1, b; c; z) = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {bz \ mid} {\ mid c }} + {\ frac {(bc) z \ mid} {\ mid c + 1}} - {\ frac {c (b + 1) z \ mid} {\ mid c + 2}} + {\ frac { 2 (bc-1) z \ mid} {\ mid c + 3}} - {\ frac {(c + 1) (b + 2) z \ mid} {\ mid c + 4}} + \ cdots.}

Convergenţă

În această secțiune, excludem cazul în care unii parametri sunt întregi negativi sau zero, deoarece în acest caz, fie seriile hipergeometrice nu sunt definite, fie sunt polinoame și atunci fracția continuată este finită. De asemenea, excludem alte excepții banale.

Funcțiile 0 F 1 și 1 F 1 sunt numere întregi, prin urmare, coeficienții lor sunt meromorfi . Fracțiile continue obținute converg uniform pe orice închis delimitat al planului complex care nu conține niciunul dintre polii acestei funcții.

Raza de convergență a seriei 2 F 1 este egal cu 1 , prin urmare , caturi lor sunt meromorfe în unitatea de discul deschis . Fracțiile continue obținute converg uniform pe orice închis delimitat inclus în acest disc și care nu conține niciun pol. În afara discului, fracția continuată reprezintă o continuare analitică a funcției pe planul complex privat de jumătatea reală $[1, + \infty [$ . Cel mai adesea, punctul $1$ este un punct de ramificare, iar jumătatea $[1, + \infty [$ este o tăietură de ramură pentru această funcție.

Exemple de aplicații

Aplicații la 0 F 1

Găsim astfel fracțiile continue Lambert pentru funcțiile tangente și tangente hiperbolice (vezi § „Irationalitatea” articolului despre aproximarea diofantină ): ${\ displaystyle {\ begin {align} \ tanh (z) & = {\ frac {\ sinh (z)} {\ cosh (z)}} = {\ frac {z \, _ {0} F_ {1} (; {\ tfrac {3} {2}}; {\ tfrac {z ^ {2}} {4}})} {\, _ {0} F_ {1} (; {\ tfrac {1} {2 }}; {\ tfrac {z ^ {2}} {4}})}} = {\ frac {z} {2}} ~ {\ frac {{} _ {0} F_ {1} (; {\ tfrac {1} {2}} + 1; {\ tfrac {z ^ {2}} {4}})} {{\ tfrac {1} {2}} \, _ {0} F_ {1} (; {\ tfrac {1} {2}}; {\ tfrac {z ^ {2}} {4}})}} \\ & = {\ frac {{\ frac {z} {2}} \ mid} { \ mid {\ tfrac {1} {2}}}} + {\ frac {{\ tfrac {z ^ {2}} {4}} \ mid} {\ mid {\ tfrac {1} {2}} + 1}} + {\ frac {{\ tfrac {z ^ {2}} {4}} \ mid} {\ mid {\ tfrac {1} {2}} + 2}} + {\ frac {{\ tfrac {z ^ {2}} {4}} \ mid} {\ mid {\ tfrac {1} {2}} + 3}} + \ cdots \\ & = {\ frac {z \ mid} {\ mid 1 }} + {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 3}} + {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 5}} + {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 7}} + \ cdots \ end {align}}}$ (care, după câteva transformări , poate fi folosit pentru a determina fracția continuată a e ); ${\ displaystyle \ tan (z) = - {\ rm {i}} \ tanh ({\ rm {i}} z) = {\ frac {z \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 3}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 5}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 7} } - \ cdots.}$
Funcția Bessel $J α$ poate fi scrisă ${\ displaystyle J _ {\ alpha} (z) = {\ frac {({\ tfrac {1} {2}} z) ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha +1)}} \, _ {0} F_ {1} (; \ alpha +1; - {\ frac {z ^ {2}} {4}}).}$ Rezultă că pentru orice $z$ complex ,

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {J _ {\ alpha} (z)} {J _ {\ alpha -1} (z)}} & = {\ frac {z \ Gamma (\ alpha) } {2 \ Gamma (\ alpha +1)}} {\ frac {\, _ {0} F_ {1} (; \ alpha +1; - {\ frac {z ^ {2}} {4}}) } {{} _ {0} F_ {1} (; \ alpha; - {\ frac {z ^ {2}} {4}})}} = {\ frac {z} {2}} {\ frac { \, _ {0} F_ {1} (; \ alpha +1; - {\ frac {z ^ {2}} {4}})} {\ alpha \, _ {0} F_ {1} (; \ alfa; - {\ frac {z ^ {2}} {4}})}} \\ & = {\ frac {{\ frac {z} {2}} \ mid} {\ mid \ alpha}} - { \ frac {{\ frac {z ^ {2}} {4}} \ mid} {\ mid \ alpha +1}} - {\ frac {{\ frac {z ^ {2}} {4}} \ mid } {\ mid \ alpha +2}} - {\ frac {{\ frac {z ^ {2}} {4}} \ mid} {\ mid \ alpha +3}} - \ cdots \\ & = {\ frac {z \ mid} {\ mid 2 \ alpha}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 2 (\ alpha +1)}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 2 (\ alpha +2)}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 2 (\ alpha +3)}} - \ cdots. \ end {align}}}$

Aplicații la 1 F 1

Funcția exponențială se dezvoltă în ${\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {z} = {} _ {1} F_ {1} (1; 1; z) = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {z \ mid} {\ mid 2}} - {\ frac {z \ mid} {\ mid 3}} + {\ frac {2z \ mid } {\ mid 4}} - {\ frac {2z \ mid} {\ mid 5}} + \ cdots.}$
Funcția de eroare $erf$ se dezvoltă, pentru orice $z$ complex , în ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} {\ rm {e}} ^ {z ^ {2}} {\ rm {erf}} (z) = \, _ {1} F_ {1} (1; {\ tfrac {3} {2}}; z ^ {2}) = {\ frac {z \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid {\ frac {3} {2}}}} + {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid {\ frac {5} {2}}}} - {\ frac { {\ frac {3} {2}} z ^ {2} \ mid} {\ mid {\ frac {7} {2}}}} + {\ frac {2z ^ {2} \ mid} {\ mid { \ frac {9} {2}}}} - {\ frac {{\ frac {5} {2}} z ^ {2} \ mid} {\ mid {\ frac {11} {2}}}} + {\ frac {3z ^ {2} \ mid} {\ mid {\ frac {13} {2}}}} - {\ frac {{\ frac {7} {2}} z ^ {2} \ mid} {\ mid {\ frac {15} {2}}}} + \ cdots.}$
Putem dezvolta în același mod funcțiile Fresnel , cea a lui Dawson și funcțiile gamma incomplete $γ ( s , z )$ și $Γ ( s , z )$ .

Aplicații la 2 F 1

De ${\ displaystyle (1-z) ^ {- b} = \, _ {1} F_ {0} (b ;; z) = \, _ {2} F_ {1} (1, b; 1; z) }$ (varianta seriei binomiale $(1 + z ) α$ ) deducem ${\ displaystyle (1-z) ^ {- b} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {bz \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {(b -1) z \ mid} {\ mid 2}} - {\ frac {(b + 1) z \ mid} {\ mid 3}} + {\ frac {2 (b-2) z \ mid} {\ mijloc 4}} - {\ frac {2 (b + 2) z \ mijloc} {\ mijloc 5}} + \ cdots}$ precum și următoarea expresie a tangenței arcului funcțional : ${\ displaystyle \ arctan (z) = z \, _ {2} F_ {1} ({\ tfrac {1} {2}}, 1; {\ tfrac {3} {2}}; - z ^ {2 }) = {\ frac {z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {(1z) ^ {2} \ mid} {\ mid 3}} + {\ frac {(2z) ^ {2} \ mid} {\ mid 5}} + {\ frac {(3z) ^ {2} \ mid} {\ mid 7}} + {\ frac {(4z) ^ {2} \ mid} {\ mid 9} } + \ cdots,}$ care converge în planul complex lipsit de cele două jumătăți de linie $] -\infty, -1] i$ și $[1, + \infty [i$ ale axei imaginare pure ( $i$ și $-i$ sunt puncte ramificate ). Această convergență este destul de rapidă la $z = 1$ , oferind o aproximare de $π / 4$ la 7 zecimale de la a noua redusă (în timp ce, cu formula lui Brounker , sunt necesari mai mult de un milion de termeni pentru aceeași precizie).
Putem dezvolta în același mod, de exemplu, logaritmul natural și funcția arc sinus .

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Gauss's continued fraction ” (a se vedea lista autorilor ) .

(în) Hubert Stanley Wall (în) , Teoria analitică a fracțiilor continue , AMS ,2000( 1 st ed. 1948), 433 p. ( ISBN 978-0-8218-2106-0 ) , p. 349.
(în) William B. Jones și WJ Thron , Continued Fractions: Analytic Theory and Applications , Addison-Wesley , al. "Enciclopedia matematicii și a aplicațiilor sale" ( n o 11),1980( ISBN 978-0-201-13510-7 ) , p. 5.
(La) CF Gauss , " Disquisitiones generales circa seriem infinitam: Sectio secunda - Fractiones continuee " , Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis recentiores ,1813, p. 13-17 ( citește online ).
B. Riemann, Despre dezvoltarea coeficientului a două serii hipergeometrice în fracție continuă infinită , 1863 - Œuvre de Riemann, 1873, a 2 -a ed., P. 424 (fragment postum - titlu original: (it) „ Sullo svolgimento del quoziente di due serie ipergeometriche in frazione continua infinita ”).
(de) LW Thomé , „ Über die Kettenbruchentwicklung des Gauss schen Quotienten ... ” , J. queen angew. Matematica. , vol. 67,1867, p. 299-309 ( citește online ).
(în) EB Van Vleck , „ Despre convergența fracției continue a lui Gauss și a altor fracții continue ” , Annals of Mathematics , vol. 3,1901, p. 1-18 ( DOI 10.2307 / 1967627 ).
Jones și Thron 1980 , p. 206.
Zidul 2000 , p. 339.
(de la) Oskar Perron , Die Lehre von den Kettenbrüchen , Teubner,1913( citiți online ) , „§ 64: Beispiele - Die Kettenbrüche von Gauss und Heine” , p. 343-354.
Forma echivalentă dată în Gauss 1813 , p. 16, apare în § „Fracția continuă a primului tip” al articolului despre aproximanții Padé ai funcției exponențiale .
Jones și Thron 1980 , p. 208.
Zidul 2000 , p. 343.
Jones și Thron 1980 , p. 202.

Vezi și tu

Rogers-Ramanujan Continuing Fraction

Link extern

(ro) Eric W. Weisstein , „ Fracțiunea continuată a lui Gauss ” , pe MathWorld