Teorema reziduurilor

În analiza complexă , teorema reziduurilor este un instrument puternic pentru evaluarea integralelor curvilinee ale funcțiilor holomorfe pe curbe închise care se bazează pe reziduurile funcției care urmează să fie integrate.

Este folosit pentru a calcula integralele de funcții reale , precum și suma unor serii . Ea generalizează teorema integral Cauchy și formula integrală Cauchy .

State

Să U un set în deschis și conectat simplu complex plan ℂ, { z 1 , ..., z n } fi un set de n puncte de U , și f o funcție definită și olomorfă pe U \ { z 1 ,. .., z n }.

Dacă γ este o curbă care se poate rectifica în U care nu îndeplinește oricare dintre singular puncte z k și a cărui pornire corespunde punctului de către punctul final (adică un rectifica girație ), atunci:

∫γf(z) dz=2πeu∑k=1nuRez⁡(f,zk)Eunudγ(zk).{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2 \ pi i \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ operatorname {Res} (f, z_ {k} ) \, \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z_ {k}).}

Aici, Res ( f , z k ) reprezintă reziduul de f în z k , iar indicele de girație y în raport cu z k . Intuitiv, indicele de fală este numărul de rotații în jurul valorii de z k efectuate de un punct care traversează întregul fală. Acest număr de ture este un număr întreg  ; este pozitiv dacă γ este deplasată invers acelor de ceasornic (direcția înainte) , în jurul valorii z k , zero , în cazul în care γ nu se mișcă în jurul valorii z k la toate , și negativ în cazul în care γ este deplasată în sens orar. sensul acelor de ceasornic în jurul valorii z k . Eunudγ(zk){\ displaystyle \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z_ {k})}

Indicele este definit de

Indγ⁡(zk)=12πeu∫γdzz-zk.{\ displaystyle \ operatorname {Ind} _ {\ gamma} (z_ {k}) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {{\ text {d} } z} {z-z_ {k}}}.} Demonstrație

Fie F setul de puncte singulare ale funcției f sau , funcția admite o expansiune Laurent pe un anumit disc contondent cu centrat în  : z0∈F{\ displaystyle z_ {0} \ în F}D(z0,r)∖{z0}{\ displaystyle D (z_ {0}, r) \ backslash \ {z_ {0} \}}r>0{\ displaystyle r> 0}z0{\ displaystyle z_ {0}}

f(z)=∑nu∈Zbz0,nu(z-z0)nu{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} b_ {z_ {0}, n} (z-z_ {0}) ^ {n}}

Fie că seria converge în mod normal pe compacte definite de partea singulară a expansiunii Laurent a lui f  : hz0{\ displaystyle h_ {z_ {0}}}U-{z0}{\ displaystyle U - \ {z_ {0} \}}

hz0(z)=∑-∞-1bz0,nu(z-z0)nu{\ displaystyle h_ {z_ {0}} (z) = \ sum _ {- \ infty} ^ {- 1} b_ {z_ {0}, n} (z-z_ {0}) ^ {n}}

Luați în considerare acum funcția holomorfă g pe U și definită de:

g(z)=f(z)-∑zeu∈Fhzeu(z){\ displaystyle g (z) = f (z) - \ sum _ {z_ {i} \ în F} h_ {z_ {i}} (z)}

adică funcția f minus expansiunile sale în vecinătatea singularităților sale . U fiind o deschidere conectată pur și simplu , dantela este homotopică într-un punct din U și, prin urmare, γ{\ displaystyle \ gamma}

∫γg(z) dz=0{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} g (z) ~ \ mathrm {d} z = 0}

deci avem :

∫γf(z) dz=∑zeu∈F∫γhzeu(z) dz{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = \ sum _ {z_ {i} \ in F} \ int _ {\ gamma} h_ {z_ {i}} (z ) ~ \ mathrm {d} z}

Deoarece seriile sunt în mod normal convergente, putem scrie: hzeu{\ displaystyle h_ {z_ {i}}}

∫γhzeu(z) dz=∑-∞-1bzeu,nu∫γ(z-zeu)nu dz{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} h_ {z_ {i}} (z) ~ \ mathrm {d} z = \ sum _ {- \ infty} ^ {- 1} b_ {z_ {i}, n} \ int _ {\ gamma} (z-z_ {i}) ^ {n} ~ \ mathrm {d} z}

și avem:

∫γ(z-zeu)nu dz=2euπEunudγ(zeu)δnu,-1{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} (z-z_ {i}) ^ {n} ~ \ mathrm {d} z = 2i \ pi \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z_ {i}) \ delta _ {n, -1}}

unde este simbolul Kronecker . Am folosit faptul că are o primitivă holomorfă pentru orice, prin urmare integralul de mai sus este zero cu excepția . În acest caz, găsim definiția indicelui . Prin inserarea acestui rezultat în formula anterioară, obținem: δ{\ displaystyle \ delta}(z-zeu)nu{\ displaystyle (z-z_ {i}) ^ {n}}nu≠-1{\ displaystyle n \ neq -1}nu=-1{\ displaystyle n = -1}

∫γf(z) dz=2euπ∑zeu∈Fbzeu,-1Eunudγ(zeu){\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2i \ pi \ sum _ {z_ {i} \ in F} b_ {z_ {i}, - 1} \ mathrm { Ind} _ {\ gamma} (z_ {i})}

fie încă prin definiția reziduului:

∫γf(z) dz=2euπ∑zeu∈FRes(f,zeu)Eunudγ(zeu).{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2i \ pi \ sum _ {z_ {i} \ in F} \ mathrm {Res} (f, z_ {i}) \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z_ {i}).}

Variantă

„Fie D un deschis- încheiat Riemann sferă S 2 , și să f să fie o funcție olomorfă în D , cu excepția , poate , în puncte izolate care sunt singulare pentru f . Fie Γ marginea orientată a unui compact A conținut în D și să presupunem că Γ nu conține niciun punct singular al lui f , nici punctul la infinit. Punctele singulare z k conținute în A sunt apoi finite ca număr și avem relația:

∫Γf(z) dz=2πeu∑kRez⁡(f,zk),{\ displaystyle \ int _ {\ Gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2 \ pi i \ sum _ {k} \ operatorname {Res} (f, z_ {k}),}

unde Res ( f, z k ) denotă reziduul funcției f în punctul z k  ; însumarea este extinsă la toate punctele singulare z k ∈ A, incluzând eventual punctul la infinit . "

Aplicarea la calculul integralelor reale

Pentru a evalua integralele reale , teorema reziduurilor este adesea utilizată după cum urmează: integrandul este extins într-o funcție holomorfă pe o deschidere a planului complex; reziduurile sale sunt calculate, iar o parte din axa reală este extinsă la o curbă închisă prin atașarea unui semicerc în semiplanul superior sau inferior. Integrala de-a lungul acestei curbe poate fi apoi calculată folosind teorema reziduurilor. Adesea, datorită lemei de estimare sau a limei lui Jordan , partea integralei peste semicerc tinde spre zero, când raza acesteia din urmă tinde spre infinit, lăsând doar partea integralei peste axa reală, cea care inițial interesase ne.

Lista de mai jos nu este exhaustivă, dar oferă o idee generală a tehnicii folosind teorema reziduurilor, discutăm:

• a integralelor „primul tip“ : unde este o funcție rațională;∫02πR(cos⁡(t),păcat⁡(t)) dt{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} R (\ cos (t), \ sin (t)) ~ \ mathrm {d} t}R{\ displaystyle R}
• în integralele „al doilea tip“  :  ;∫-∞+∞f(X) dX{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ~ \ mathrm {d} x}
• în integralele „al treilea tip“  :  ;∫-∞+∞f(X)eeuLaX dX{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) \ mathrm {e} ^ {iax} ~ \ mathrm {d} x}
• în integralele „al patrulea tip“  : combinație a celor două cazuri precedente prin luarea în considerare a valorii principale a lui Cauchy a integralei.

Primul tip

Fie calculul următoarei integrale reale:

Eu=∫02πR(cos⁡(t),păcat⁡(t)) dt{\ displaystyle I = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} R (\ cos (t), \ sin (t)) ~ \ mathrm {d} t}

cu o funcție rațională având un număr finit de puncte singulare și niciuna dintre acestea nu aparține cercului centrat la origine și de rază 1. Obținem prin teorema reziduurilor: R{\ displaystyle R}zj{\ displaystyle z_ {j}}VS(0,1){\ displaystyle C (0,1)}

Eu=2euπ∑|zj|<1Res(f,zj){\ displaystyle I = 2i \ pi \ sum _ {| z_ {j} | <1} \ mathrm {Res} (f, z_ {j})}

unde este definit după cum urmează: f{\ displaystyle f}

f(z)=1euzR(z+z-12,z-z-12eu).{\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {iz}} R \ left ({\ frac {z + z ^ {- 1}} {2}}, {\ frac {zz ^ {- 1} } {2i}} \ dreapta).} Demonstrație

Să luăm pentru contur cercul parametrizat după cum urmează: γ{\ displaystyle \ gamma}VS(0,1){\ displaystyle C (0,1)}

γ:[0,2π]→VS,γ(t)=eeut.{\ displaystyle \ gamma: [0,2 \ pi] \ to \ mathbb {C}, \ gamma (t) = e ^ {it}.}

Apoi avem:

∫γf(z) dz=∫02π1eueeutR(cos⁡(t),păcat⁡(t))⋅eueeut dt=Eu{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {1 \ over ie ^ {it}} R (\ cos (t ), \ sin (t)) \ cdot ie ^ {it} ~ \ mathrm {d} t = I}

unde am folosit formula lui Euler pentru a trece de la exponențiale complexe la funcții trigonometrice. Mai mult, teorema reziduurilor ne spune că această integrală merită:

∫γf(z) dz=2euπ∑zj∈FRes(f,zj)Eunudγ(zj)=2euπ∑|zj|<1Res(f,zj){\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2i \ pi \ sum _ {z_ {j} \ in F} \ mathrm {Res} (f, z_ {j}) \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z_ {j}) = 2i \ pi \ sum _ {| z_ {j} | <1} \ mathrm {Res} (f, z_ {j})}

unde denotă setul (finit) de puncte singulare de apartenență la discul deschis . Egalând ultimele două relații obținute, găsim identitatea de plecare. F{\ displaystyle F}f{\ displaystyle f}D(0,1){\ displaystyle D (0,1)}

Exemplu

Problemă  : calculați următoarea integrală:

Eu=∫02πdXLa+păcat⁡(X),(La>1){\ displaystyle I = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {\ mathrm {d} x} {a + \ sin (x)}} \ ,, \, \, (a> 1) }

Soluție  : suntem în condițiile menționate mai sus, de aceea avem:

Eu=2πLa2-1.{\ displaystyle I = {2 \ pi \ over {\ sqrt {a ^ {2} -1}}}.}

Dezvoltare  : funcția rațională corespunzătoare este:

R(X,y)=1La+y.{\ displaystyle R (x, y) = {1 \ peste a + y}.}

Astfel se construiește funcția corespunzătoare pentru calcularea reziduurilor: f{\ displaystyle f}

f(z)=1euzR(z+z-12,z-z-12eu)=2z2+2euLaz-1=1euLa2-1(1z-p--1z-p+),{\ displaystyle f (z) = {1 \ over iz} R \ left ({z + z ^ {- 1} \ over 2}, {zz ^ {- 1} \ over 2i} \ right) = {2 \ peste z ^ {2} + 2iaz-1} = {\ frac {1} {i {\ sqrt {a ^ {2} -1}}}} \ left ({\ frac {1} {zp _ {-} }} - {\ frac {1} {zp _ {+}}} \ right),}

cei doi poli simpli fiind:

p±=-eu(La±La2-1).{\ displaystyle p _ {\ pm} = - i (a \ pm {\ sqrt {a ^ {2} -1}}).}

Polul se află în afara cercului unității ( ) și, prin urmare, nu trebuie luat în considerare; stâlpul este în interior ( ). p+{\ displaystyle p _ {+}}|p+|>1{\ displaystyle | p _ {+} |> 1}p-=-1/p+{\ displaystyle p _ {-} = - 1 / p _ {+}}|p-|<1{\ displaystyle | p _ {-} | <1}

Reziduul de la acest pol este: f{\ displaystyle f}

Res(f,p-)=limz→p-(z-p-)f(z)=1euLa2-1.{\ displaystyle \ mathrm {Res} (f, p _ {-}) = \ lim _ {z \ to p _ {-}} (zp _ {-}) f (z) = {1 \ over i {\ sqrt {a ^ {2} -1}}}.}

Acum trebuie să aplicăm formula de pornire:

Eu=2euπRes(f,p-)=2πLa2-1.{\ displaystyle I = 2i \ pi \ mathrm {Res} (f, p _ {-}) = {2 \ pi \ over {\ sqrt {a ^ {2} -1}}}.}

Al doilea tip

Fie calculul următoarei integrale reale:

Eu=∫-∞+∞f(X) dX{\ displaystyle I = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ~ \ mathrm {d} x}

cu un set de puncte singular izolate pur complexe. Dacă există și astfel încât pentru orice complex de modul mai mare sau egal cu , atunci f{\ displaystyle f}zj{\ displaystyle z_ {j}}M,R>0{\ displaystyle M, R> 0}α>1{\ displaystyle \ alpha> 1}|f(z)|≤M|z|α{\ displaystyle | f (z) | \ leq {M \ over | z | ^ {\ alpha}}}z{\ displaystyle z}R{\ displaystyle R}

∫-∞+∞|f(X)| dX<+∞{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | f (x) | ~ \ mathrm {d} x <+ \ infty}

și

Eu=2euπ∑ℑ(zj)>0Res(f,zj)=-2euπ∑ℑ(zj)<0Res(f,zj).{\ displaystyle I = 2i \ pi \ sum _ {\ Im (z_ {j})> 0} \ mathrm {Res} (f, z_ {j}) = - 2i \ pi \ sum _ {\ Im (z_ { j}) <0} \ mathrm {Res} (f, z_ {j}).}

Notă  : în cazul în care este o funcție rațională definită de cu și polinoame, este suficient să se solicite ca (unde reprezintă gradul polinomului) să verifice ipotezele și să aplice identitatea. f{\ displaystyle f}f(z)=P(z)Î(z){\ displaystyle f (z) = {P (z) \ peste Q (z)}}P{\ displaystyle P}Î{\ displaystyle Q}deg(Î)≥deg(P)+2{\ displaystyle \ mathrm {deg} (Q) \ geq \ mathrm {deg} (P) +2}deg{\ displaystyle \ mathrm {deg}}

Demonstrație

• Noi avem :

∫R+∞|f(X)| dX≤M∫R+∞dXXα=M⋅R1-αα-1<+∞{\ displaystyle \ int _ {R} ^ {+ \ infty} | f (x) | ~ \ mathrm {d} x \ leq M \ int _ {R} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {d} x \ over x ^ {\ alpha}} = M \ cdot {R ^ {1- \ alpha} \ over \ alpha -1} <+ \ infty}

de unde ultima inegalitate vine din faptul că . α>1{\ displaystyle \ alpha> 1}

Argumentul este același pentru integrala lui to . Deoarece funcția nu are un punct singular singular, este delimitată de la și, prin urmare, -∞{\ displaystyle - \ infty}-R{\ displaystyle -R}-R{\ displaystyle -R}R{\ displaystyle R}

∫-∞+∞|f(X)| dX<+∞.{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | f (x) | ~ \ mathrm {d} x <+ \ infty.}

• Fie să luăm ca contur semicercul situat în semiplanul superior (cazul în jumătatea planului inferior este identic) având pentru diametru intervalul și ilustrat în figura 1. La limita când , conturul înconjoară întregul singular punctele din în semiplanul superior (indicele lor față de contur va fi, așadar, +1). Prin teorema reziduurilor, avem:r>R{\ displaystyle r> R}[-r,r]{\ displaystyle [-r, r]}r→∞{\ displaystyle r \ to \ infty}f{\ displaystyle f}

limr→∞∫γf(z) dz=2euπ∑ℑ(zj)>0Res(f,zj).{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2i \ pi \ sum _ {\ Im (z_ {j})> 0} \ mathrm {Res} (f, z_ {j}).}

Prin descompunerea conturului în cele două părți principale, avem și:

limr→∞=∫-∞+∞f(X) dX+limr→∞∫0πf(reeut)eureeut dt.{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ~ \ mathrm {d} x + \ lim _ {r \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {\ pi} f \ left (re ^ {it} \ right) ire ^ {it} ~ \ mathrm {d} t.}

Cu toate acestea, folosind lema de estimare , avem:

limr→∞|∫0πf(reeut)eureeut dt|≤limr→∞(πr⋅max|z|=r|f(reeut)|)≤limr→∞(πrMrα)=0{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} \ left | \ int _ {0} ^ {\ pi} f \ left (re ^ {it} \ right) ire ^ {it} ~ \ mathrm {d} t \ right | \ leq \ lim _ {r \ to \ infty} \ left (\ pi r \ cdot \ max _ {| z | = r} | f \ left (re ^ {it} \ right) | \ right ) \ leq \ lim _ {r \ to \ infty} \ left ({\ pi rM \ over r ^ {\ alpha}} \ right) = 0}

unde în ultima limită am folosit faptul că . Prin reluarea relațiilor anterioare, găsim identitatea originală. α>1{\ displaystyle \ alpha> 1}

Exemplu

Problemă  : calculați următoarea integrală prin metoda reziduală  :

Eu=∫-∞+∞dXX2+La2,(La>0).{\ displaystyle I = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {d} x \ over x ^ {2} + a ^ {2}} \ ,, \, \, (a> 0).}

Soluție  : această funcție are un antiderivativ real (funcția (arctan (x / a)) / a) și soluția imediată este . Eu=πLa{\ displaystyle I = {\ pi \ over a}}

Dezvoltare  : funcția admite doi poli simpli . Numai unul dintre acești doi poli este inclus în planul superior, deci avem: p1,2=±euLa{\ displaystyle p_ {1,2} = \ pm ia}

Eu=2euπ⋅Res(f,euLa){\ displaystyle I = 2i \ pi \ cdot \ mathrm {Res} (f, ia)}

cu

Res(f,euLa)=limz→euLaz-euLaz2+La2=12euLa.{\ displaystyle \ mathrm {Res} (f, ia) = \ lim _ {z \ to ia} {z-ia \ over z ^ {2} + a ^ {2}} = {1 \ over 2ia}.}

Prin urmare, verificăm acest lucru așa cum era de așteptat. Eu=πLa{\ displaystyle I = {\ pi \ over a}}

Al treilea tip

Fie calculul următoarei integrale reale:

Eu=∫-∞+∞f(X)eeuLaX dX{\ displaystyle I = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) \ mathrm {e} ^ {iax} ~ \ mathrm {d} x}

cu cuprinzând un set de puncte singulare izolate pur complexe. Dacă există astfel încât pentru orice complex de modul mai mare sau egal cu , atunci: f{\ displaystyle f}M,R>0{\ displaystyle M, R> 0}|f(z)|≤M|z|{\ displaystyle | f (z) | \ leq {\ frac {M} {| z |}}}z{\ displaystyle z}R{\ displaystyle R}

(seuLa>0),Eu=2euπ∑ℑ(zj)>0Res(f(z)eeuLaz,zj){\ displaystyle (\ mathrm {si} \, \, a> 0), \ quad I = 2i \ pi \ sum _ {\ Im (z_ {j})> 0} \ mathrm {Res} \ left (f ( z) \ mathrm {e} ^ {iaz}, z_ {j} \ right)}

și

(seuLa<0),Eu=-2euπ∑ℑ(zj)<0Res(f(z)eeuLaz,zj).{\ displaystyle (\ mathrm {si} \, \, a <0), \ quad I = -2i \ pi \ sum _ {\ Im (z_ {j}) <0} \ mathrm {Res} \ left (f (z) \ mathrm {e} ^ {iaz}, z_ {j} \ right).} Demonstrație

Să presupunem că și să considerăm conturul ilustrat în figura 2. Celălalt caz ( ) este identic (luăm conturul în semiplanul inferior). Să presupunem că acest contur merge de la și de la 0 la . Să presupunem , de asemenea , că , tindând spre infinit, conturul va încadra, prin urmare, toate singularitățile semiplanului superior cu un indice +1. Teorema reziduurilor ne oferă: La>0{\ displaystyle a> 0}γ{\ displaystyle \ gamma}La<0{\ displaystyle a <0}-X1{\ displaystyle -x_ {1}}X2{\ displaystyle x_ {2}}euy1{\ displaystyle iy_ {1}}X1,X2,y1≥R{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, y_ {1} \ geq R}R{\ displaystyle R}

limR→∞∫γf(z) dz=2πeu∑ℑ(zj)>0Res(f(z)eeuLaz,zj).{\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2 \ pi i \ sum _ {\ Im (z_ {j})> 0 } \ mathrm {Res} \ left (f (z) \ mathrm {e} ^ {iaz}, z_ {j} \ right).}

Prin descompunerea integralei în cele patru părți principale, care vor fi notate cu integrala de-a lungul segmentului , de -a lungul segmentului și simetric la . reprezintă (în cele din urmă) integrala reală pe care vrem să o calculăm. Eueu{\ displaystyle I_ {i}}Eu1{\ displaystyle I_ {1}}X2+euy{\ displaystyle x_ {2} + iy}Eu2{\ displaystyle I_ {2}}X+euy1{\ displaystyle x + iy_ {1}}Eu3{\ displaystyle I_ {3}}Eu1{\ displaystyle I_ {1}}Eu4{\ displaystyle I_ {4}}

Arătăm că, în cele din urmă, integralul de-a lungul celor trei segmente ale funcției este zero, ceea ce pune capăt dovezii. Eu1,Eu2,Eu3{\ displaystyle I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}}

De fapt, putem crește diferitele părți după cum urmează:

|Eu1|≤∫0y1|f(X2+euy)|e-Lay dy.{\ displaystyle | I_ {1} | \ leq \ int _ {0} ^ {y_ {1}} | f (x_ {2} + iy) | \ mathrm {e} ^ {- ay} ~ \ mathrm {d } y.}

Folosind ipoteza, totuși, avem:

|f(X2+euy)|≤M|X2+euy|≤MX2.{\ displaystyle | f (x_ {2} + iy) | \ leq {M \ over | x_ {2} + iy |} \ leq {M \ over x_ {2}}.}

Ca rezultat,

|Eu1|≤MX2∫0y1e-Lay dy=MLaX2(1-e-Lay1)≤MLaX2.{\ displaystyle | I_ {1} | \ leq {M \ over x_ {2}} \ int _ {0} ^ {y_ {1}} \ mathrm {e} ^ {- ay} ~ \ mathrm {d} y = {M \ over ax_ {2}} (1- \ mathrm {e} ^ {- ay_ ​​{1}}) \ leq {M \ over ax_ {2}}.}

Limita când a acestei integrale este zero din moment ce și . Argumentul dezvoltat mai sus este același pentru . R→∞{\ displaystyle R \ to \ infty}La>0{\ displaystyle a> 0}X2≥R{\ displaystyle x_ {2} \ geq R}Eu3{\ displaystyle I_ {3}}

Rămâne că nu este foarte diferit: Eu2{\ displaystyle I_ {2}}

|Eu2|≤∫-X1X2|f(X+euy1)|e-Lay1 dX≤My1e-Lay1.{\ displaystyle | I_ {2} | \ leq \ int _ {- x_ {1}} ^ {x_ {2}} | f (x + iy_ {1}) | \ mathrm {e} ^ {- ay_ {1}} ~ \ mathrm {d} x \ leq {M \ over y_ {1}} \ mathrm {e} ^ {- ay_ ​​{1}}.}

Limita când este zero de atunci . R→∞{\ displaystyle R \ to \ infty}y1≥R{\ displaystyle y_ {1} \ geq R}

Aceasta încheie demonstrația.

Exemplu

Problemă  : calculați următoarea integrală:

Eu=∫-∞+∞ebeuXdXLa2+X2(La,b>0).{\ displaystyle I = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {e} ^ {bix} \ mathrm {d} x \ over a ^ {2} + x ^ {2}} \ quad (a, b> 0).}

Soluție  : prin aplicarea rezultatului de mai sus, obținem că:

Eu=πLaexp⁡(-Lab).{\ displaystyle I = {\ pi \ over a} \ exp (-ab).}

Notă: partea reală a integralei este și această integrală este exact valabilă, deoarece soluția teoremei reziduurilor este reală. ∫-∞+∞cos⁡(bX)La2+X2 dX{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ cos (bx) \ over a ^ {2} + x ^ {2}} ~ \ mathrm {d} x}Eu{\ displaystyle I}

Dezvoltare  : funcția are un singur pol în planul superior, și anume . Reziduul în acest moment este: f(z)=(La2+z2)-1{\ displaystyle f (z) = (a ^ {2} + z ^ {2}) ^ {- 1}}p1=+euLa{\ displaystyle p_ {1} = + ia}

Res(f(z)eeubz,+euLa)=limz→euLa((z-euLa)eeubzLa2+z2)=e-Lab2Laeu.{\ displaystyle \ mathrm {Res} \ left (f (z) \ mathrm {e} ^ {ibz}, + ia \ right) = \ lim _ {z \ to ia} \ left ((z-ia) {\ mathrm {e} ^ {ibz} \ over a ^ {2} + z ^ {2}} \ right) = {e ^ {- ab} \ over 2ai}.}

Prin aplicarea formulei, avem deci:

Eu=2πeu⋅e-Lab2Laeu=πLaexp⁡(-Lab).{\ displaystyle I = 2 \ pi i \ cdot {e ^ {- ab} \ over 2ai} = {\ pi \ over a} \ exp (-ab).}

Al patrulea tip

Integralele al doilea și al treilea tip extinde la cazurile cu un număr finit n de poli situate pe axa reală. Este vorba despre o integrală necorespunzătoare și apoi se ia în considerare valoarea principală a lui Cauchy a integralei.

Este o funcție holomorfă pe ℂ, cu excepția unui set de poli unici reali și singularități complexe pur izolate . Să presupunem că suntem într-unul din următoarele două cazuri: f{\ displaystyle f}Xj{\ displaystyle x_ {j}}zj{\ displaystyle z_ {j}}

• există și astfel încât pentru orice complex de modul mai mare sau egal cu ,M,R>0{\ displaystyle M, R> 0}α>1{\ displaystyle \ alpha> 1}|f(z)|≤M|z|α{\ displaystyle | f (z) | \ leq {M \ over | z | ^ {\ alpha}}}z{\ displaystyle z}R{\ displaystyle R}

Unde

• f(z)=g(z)eeuLaz{\ displaystyle f (z) = g (z) \ mathrm {e} ^ {iaz}}cu și există astfel încât pentru orice complex de modul mai mare sau egal cu .La>0{\ displaystyle a> 0}M,R>0{\ displaystyle M, R> 0}|g(z)|≤M|z|{\ displaystyle | g (z) | \ leq {M \ over | z |}}z{\ displaystyle z}R{\ displaystyle R}

Atunci valoarea principală a lui Cauchy (notată ) a integralei există și una are: v.p.{\ displaystyle \ mathrm {vp}}

v.p.∫-∞+∞f(X) dX=2πeu∑ℑ(zj)>0Res(f,zj)+πeu∑XjRes(f,Xj).{\ displaystyle \ mathrm {vp} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ~ \ mathrm {d} x = 2 \ pi i \ sum _ {\ Im (z_ {j}) > 0} \ mathrm {Res} (f, z_ {j}) + \ pi i \ sum _ {x_ {j}} \ mathrm {Res} (f, x_ {j}).}

Notă  : se poate extinde cu ușurință formula la semiplanul inferior schimbând semnul primei sume și luând în considerare doar singularitățile pur complexe din acest semiplan.

Demonstrație

Să fie conturul ilustrat în figura 3, se poate descompune acest contur în părțile sale principale: să remarcăm semicercului de rază , - lea semi-cerc de rază ocolind singularitatea reală și , în final , setul de segmente situat pe ax real. γR,ε{\ displaystyle \ gamma _ {R, \ varepsilon}}ΓR{\ displaystyle \ Gamma _ {R}}R{\ displaystyle R}γε,j{\ displaystyle \ gamma _ {\ varepsilon, j}}j{\ displaystyle j}ε{\ displaystyle \ varepsilon}Xj{\ displaystyle x_ {j}}σR,ε{\ displaystyle \ sigma _ {R, \ varepsilon}}

În cele din urmă, când și , avem: R→∞{\ displaystyle R \ to \ infty}ε→0{\ displaystyle \ varepsilon \ to 0}

∫σR,εf(z) dz→v.p.∫-∞+∞f(X) dX{\ displaystyle \ int _ {\ sigma _ {R, \ varepsilon}} f (z) ~ \ mathrm {d} z \ to \ mathrm {vp} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ~ \ mathrm {d} x}

Conform teoremei reziduurilor, avem, pentru suficient de mare și suficient de mic: R>0{\ displaystyle R> 0}ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}

∫γR,εf(z) dz=2euπ∑ℑ(zj)>0Res(f,zj){\ displaystyle \ int _ {\ gamma _ {R, \ varepsilon}} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2i \ pi \ sum _ {\ Im (z_ {j})> 0} \ mathrm { Res} (f, z_ {j})}

și avem, de asemenea:

∫σR,εf(z) dz=∫γR,εf(z) dz-∑j=1nu∫γε,jf(z) dz-∫ΓRf(z) dz.{\ displaystyle \ int _ {\ sigma _ {R, \ varepsilon}} f (z) ~ \ mathrm {d} z = \ int _ {\ gamma _ {R, \ varepsilon}} f (z) ~ \ mathrm {d} z- \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ int _ {\ gamma _ {\ varepsilon, j}} f (z) ~ \ mathrm {d} z- \ int _ {\ Gamma _ {R}} f (z) ~ \ mathrm {d} z.}

Se arată într-un mod identic cu cele două tipuri anterioare de integrări că, în cele din urmă, integralul tinde spre zero în cele două cazuri luate în considerare. ΓR{\ displaystyle \ Gamma _ {R}}

Prin urmare, trebuie să calculăm integralele de-a lungul semicercurilor . În vecinătatea unui adevărat stâlp simplu , admite o dezvoltare a lui Laurent pe un disc contondent centrat în . Deoarece este vorba despre un pol simplu, singurul coeficient diferit de zero al părții singulare a dezvoltării este . γε,j{\ displaystyle \ gamma _ {\ varepsilon, j}}Xj{\ displaystyle x_ {j}}f{\ displaystyle f}Xj{\ displaystyle x_ {j}}La-1,j{\ displaystyle a _ {- 1, j}}

Cu alte cuvinte, în acest cartier, putem scrie:

f(z)=La-1,jz-Xj+hj(z){\ displaystyle f (z) = {a _ {- 1, j} \ over z-x_ {j}} + h_ {j} (z)}

cu o serie întreagă (deci o funcție holomorfă). hj{\ displaystyle h_ {j}}

Deci avem :

∫γε,jf(z) dz=∫γε,jLa-1,jz-Xj dz+∫γε,jhj(z) dz.{\ displaystyle \ int _ {\ gamma _ {\ varepsilon, j}} f (z) ~ \ mathrm {d} z = \ int _ {\ gamma _ {\ varepsilon, j}} {a _ {- 1, j} \ over z-x_ {j}} ~ \ mathrm {d} z + \ int _ {\ gamma _ {\ varepsilon, j}} h_ {j} (z) ~ \ mathrm {d} z.}

A doua integrală tinde la zero atunci când este holomorfă. Prin explicarea integralei rămase, avem în vedere următoarea parametrizare a semicercurilor: ε→0{\ displaystyle \ varepsilon \ to 0}hj{\ displaystyle h_ {j}}

γε,j:[0,π]→VS,γε,j(t)=Xj+εeeu(π-t){\ displaystyle \ gamma _ {\ varepsilon, j}: [0, \ pi] \ to \ mathbb {C}, \ gamma _ {\ varepsilon, j} (t) = x_ {j} + \ varepsilon \ mathrm { e} ^ {i (\ pi -t)}}

în cazul în care termenul provine din faptul că aceste contururi sunt traversate în direcția anti-trigonometrică, π-t{\ displaystyle \ pi -t}

∫γε,jf(z) dz=La-1,j∫0π-euεeeu(π-t)εeeu(π-t) dt=-euπLa-1,j.{\ displaystyle \ int _ {\ gamma _ {\ varepsilon, j}} f (z) ~ \ mathrm {d} z = a _ {- 1, j} \ int _ {0} ^ {\ pi} {- i \ varepsilon \ mathrm {e} ^ {i (\ pi -t)} \ over \ varepsilon \ mathrm {e} ^ {i (\ pi -t)}} ~ \ mathrm {d} t = -i \ pi a_ {-1, j}.}

Coeficientul este prin definiție reziduul funcției în . În cele din urmă, când și , prin urmare, avem: La-1,j{\ displaystyle a _ {- 1, j}}Xj{\ displaystyle x_ {j}}R→∞{\ displaystyle R \ to \ infty}ε→0{\ displaystyle \ varepsilon \ to 0}

v.p.∫-∞+∞f(X) dX=2euπ∑ℑ(zj)>0Res(f,zj)+euπ∑XjRes(f,Xj).{\ displaystyle \ mathrm {vp} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ~ \ mathrm {d} x = 2i \ pi \ sum _ {\ Im (z_ {j})> 0} \ mathrm {Res} (f, z_ {j}) + i \ pi \ sum _ {x_ {j}} \ mathrm {Res} (f, x_ {j}).} Exemplu

Problemă  : calculați, pentru și real cu  : La{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}b>0{\ displaystyle b> 0}

Eu∗=v.p.∫-∞+∞eeubXX-La dX.{\ displaystyle I ^ {*} = \ mathrm {vp} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {e ^ {ibx} \ over xa} ~ \ mathrm {d} x.}

Soluție  : prin aplicarea rezultatului de mai sus, obținem că:

Eu∗=euπcos⁡(Lab)-πpăcat⁡(Lab). {\ displaystyle I ^ {*} = i \ pi \ cos (ab) - \ pi \ sin (ab). ~}

Notă: luând în considerare respectiv partea reală și imaginară a integralei obținem:

v.p.∫-∞+∞cos⁡(bX)X-La dX=-πpăcat⁡(Lab){\ displaystyle \ mathrm {vp} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ cos (bx) \ over xa} ~ \ mathrm {d} x = - \ pi \ sin (ab)} v.p.∫-∞+∞păcat⁡(bX)X-La dX=πcos⁡(Lab){\ displaystyle \ mathrm {vp} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ sin (bx) \ over xa} ~ \ mathrm {d} x = \ pi \ cos (ab)}

iar în cazul particular și , a doua integrală este integrala funcției sinus cardinale (prima definiție) și merită . Mai mult decât atât, nu este vorba de o integrală necorespunzătoare, deoarece funcția sinc este definită peste tot. La=0{\ displaystyle a = 0}b=1{\ displaystyle b = 1}π{\ displaystyle \ pi}

Dezvoltare  : funcția are un pol simplu și reziduul în acest moment este: X1=La{\ displaystyle x_ {1} = a}

Res(f,La)=eeuLab=cos⁡(Lab)+eupăcat⁡(Lab). {\ displaystyle \ mathrm {Res} (f, a) = \ mathrm {e} ^ {iab} = \ cos (ab) + i \ sin (ab). ~}

Prin aplicarea formulei, prin urmare, avem:

Eu∗=euπcos⁡(Lab)-πpăcat⁡(Lab). {\ displaystyle I ^ {*} = i \ pi \ cos (ab) - \ pi \ sin (ab). ~}

Aplicarea la calculele sumelor

Teorema reziduurilor ne permite, de asemenea, să calculăm anumite sume infinite. Fie o funcție având pentru fiecare număr întreg un reziduu egal cu al i - lea termen general al unei sume infinite , precum și un set de reziduuri corespunzătoare altor puncte. Să presupunem că integralul acestei funcții de-a lungul unei bucle rectificabile infinit de mari este zero. Apoi avem după teorema reziduurilor: g{\ displaystyle g}nu{\ displaystyle n}nu{\ displaystyle n}S{\ displaystyle S}E{\ displaystyle E}γ{\ displaystyle \ gamma}

∫γg(z) dz=2euπ[S+∑zk∈ERes(g;zk)]=0.{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} g (z) ~ \ mathrm {d} z = 2i \ pi \ left [S + \ sum _ {z_ {k} \ in E} \ mathrm {Res} (g; z_ {k}) \ right] = 0.}

Prin urmare, putem exprima suma infinită printr-o altă sumă (de obicei finită) a reziduurilor:

S=-∑zk∈ERes(g;zk).{\ displaystyle S = - \ sum _ {z_ {k} \ în E} \ mathrm {Res} (g; z_ {k}).}

Afirmațiile de mai jos oferă exemple mai generale de cazuri în care această metodă este aplicabilă:

• sume de „primul tip”  :;∑f(nu){\ displaystyle \ sum f (n)}
• sumele „celui de-al doilea tip” .∑(-1)nuf(nu){\ displaystyle \ sum (-1) ^ {n} f (n)}

Primul tip

Fie calculul următoarei sume:

S=∑-∞,nu∉E∞f(nu){\ displaystyle S = \ sum _ {- \ infty, n \ notin E} ^ {\ infty} f (n)}

cu a avea un set de singularități izolate. Să presupunem că este îndeplinită următoarea condiție: f{\ displaystyle f}E{\ displaystyle E}

există și astfel încât pentru orice complex de modul mai mare sau egal cu .M,R>0{\ displaystyle M, R> 0}α>1{\ displaystyle \ alpha> 1}|f(z)|≤M|z|α{\ displaystyle | f (z) | \ leq {M \ over | z | ^ {\ alpha}}}z{\ displaystyle z}R{\ displaystyle R}

Deci avem:

∑-∞,nu∉E∞|f(nu)|<+∞{\ displaystyle \ sum _ {- \ infty, n \ notin E} ^ {\ infty} | f (n) | <+ \ infty}

și

∑-∞,nu∉E∞f(nu)=-∑zk∈ERes(f(z)πcost⁡(πz);zk).{\ displaystyle \ sum _ {- \ infty, n \ notin E} ^ {\ infty} f (n) = - \ sum _ {z_ {k} \ in E} \ mathrm {Res} \ left (f (z ) \ pi \ cot (\ pi z); z_ {k} \ right).} Demonstrație

• Noi avem

∑nu≥R,nu∉E|f(nu)|≤M∑nu≥R,nu∉E1|z|α.{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq R, n \ notin E} | f (n) | \ leq M \ sum _ {n \ geq R, n \ notin E} {1 \ over | z | ^ {\ alfa}}.}

Folosind testul integral al convergenței se observă că această sumă converge. Folosim același argument pentru a arăta că suma converge. Pe măsură ce evităm setul de singularități din sumă, avem asta ∑nu≤-R,nu∉E|f(nu)|{\ displaystyle \ sum _ {n \ leq -R, n \ notin E} | f (n) |}E{\ displaystyle E}f{\ displaystyle f}

∑nu≥-R,nu∉Enu≤R|f(nu)|<+∞{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq -R, n \ notin E} ^ {n \ leq R} | f (n) | <+ \ infty} (suma finită a termenilor delimitați) și, prin urmare, în cele din urmă: ∑-∞,nu∉E∞|f(nu)|<+∞.{\ displaystyle \ sum _ {- \ infty, n \ notin E} ^ {\ infty} | f (n) | <+ \ infty.}

• Trebuie să găsim o funcție ale cărei reziduuri sunt . Să presupunem că , atunci, funcția trebuie să aibă un pol simplu cu reziduul 1 la fiecare număr întreg. O funcție care are această proprietate este dată de:g{\ displaystyle g}{f(nu),nu∈Z}{\ displaystyle \ left \ {f (n), n \ in \ mathbb {Z} \ right \}}g(z)=f(z)φ(z){\ displaystyle g (z) = f (z) \ varphi (z)}φ{\ displaystyle \ varphi}

φ(z)=πcos⁡(πz)păcat⁡(πz)=πcost⁡(πz).{\ displaystyle \ varphi (z) = \ pi {\ cos (\ pi z) \ over \ sin (\ pi z)} = \ pi \ cot (\ pi z).}

Într-adevăr, admite un singur zero pentru fiecare număr întreg și păcat⁡(πz){\ displaystyle \ sin (\ pi z)}z{\ displaystyle z}

Res(πcos⁡(πz)păcat⁡(πz);nu)=πcos⁡(πnu)πpăcat′⁡(πnu)=cos⁡(πnu)cos⁡(πnu)=1{\ displaystyle \ mathrm {Res} \ left (\ pi {\ cos (\ pi z) \ over \ sin (\ pi z)}; n \ right) = {\ pi \ cos (\ pi n) \ over \ pi \ sin '(\ pi n)} = {\ cos (\ pi n) \ over \ cos (\ pi n)} = 1}

unde formula de reziduu a fost utilizată pentru o fracție având un singur zero în numitor.

Să luăm pentru contur cercul centrat la originea și raza cu și creșterea unei jumătăți arătând că se evită polii situați în . R=NU+0,5{\ displaystyle R = N + 0,5}NU∈NU{\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}±NU{\ displaystyle \ pm N}

În cele din urmă, teorema reziduurilor dă:

limNU→∞∫VS(0,R)f(z)πcost⁡(πz) dz=2πeulimNU→∞[∑-NU,nu∉ENUf(nu)+∑zk∈ERes(f(z)πcost⁡(πz);zk)].{\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} \ int _ {C (0, R)} f (z) \ pi \ cot (\ pi z) ~ \ mathrm {d} z = 2 \ pi i \ lim _ {N \ to \ infty} \ left [\ sum _ {- N, n \ notin E} ^ {N} f (n) + \ sum _ {z_ {k} \ in E} \ mathrm {Res} \ left (f (z) \ pi \ cot (\ pi z); z_ {k} \ right) \ right].}

Acum trebuie să arătăm că această limită este zero pentru a obține rezultatul dorit. Folosind lema de estimare , avem:

THE=limNU→∞|∫VS(0,R)f(z)πcost⁡(πz) dz|≤limNU→∞(2πR⋅max|z|=R|πf(Reeut)cost⁡(πReeut)|).{\ displaystyle L = \ lim _ {N \ to \ infty} \ left | \ int _ {C (0, R)} f (z) \ pi \ cot (\ pi z) ~ \ mathrm {d} z \ dreapta | \ leq \ lim _ {N \ to \ infty} \ left (2 \ pi R \ cdot \ max _ {| z | = R} \ left | \ pi f (R \ mathrm {e} ^ {it} ) \ cot ({\ pi R \ mathrm {e} ^ {it}}) \ right | \ right).}

Modulul funcției este delimitat de o anumită constantă pe contur, întrucât numerele întregi ale axei reale sunt evitate prin alegerea conturului, partea dreaptă a inegalității de mai sus este, prin urmare, mărginită de cost{\ displaystyle \ cot}K>0{\ displaystyle K> 0}

THE≤limNU→∞2πRMKRα=0{\ displaystyle L \ leq \ lim _ {N \ to \ infty} {2 \ pi RMK \ over R ^ {\ alpha}} = 0}

unde am folosit faptul că . Deoarece limita este într-adevăr zero, rezultatul este demonstrat. α>1{\ displaystyle \ alpha> 1}

Exemplu

Problemă  : calculați următoarea sumă:

S=∑-∞∞1nu2+La2{\ displaystyle S = \ sum _ {- \ infty} ^ {\ infty} {1 \ over n ^ {2} + a ^ {2}}}pentru real non-zero.La{\ displaystyle a}

Soluție  : prin aplicarea rezultatului de mai sus, obținem că:

S=πcoth⁡(πLa)La.{\ displaystyle S = {\ pi \ coth (\ pi a) \ over a}.}

Dezvoltare  : funcția îndeplinește în mod clar condițiile și are doi poli simpli , așa că avem: ±Laeu{\ displaystyle \ pm ai}

S=-(Res(πcost⁡(πz)z2+La2;+Laeu)+Res(πcost⁡(πz)z2+La2;-Laeu)).{\ displaystyle S = - \ left (\ mathrm {Res} \ left ({\ pi \ cot (\ pi z) \ over z ^ {2} + a ^ {2}}; + ai \ right) + \ mathrm {Res} \ left ({\ pi \ cot (\ pi z) \ over z ^ {2} + a ^ {2}}; - ai \ right) \ right).}

Reziduurile se calculează ușor, deoarece sunt poli simpli și avem:

Res(πcost⁡(πz)z2+La2;±Laeu)=limz→±Laeu((z∓Laeu)⋅πcost⁡(πz)z2+La2)=πcos⁡(Laπeu)2Laeupăcat⁡(Laπeu).{\ displaystyle \ mathrm {Res} \ left ({\ pi \ cot (\ pi z) \ over z ^ {2} + a ^ {2}}; \ pm ai \ right) = \ lim _ {z \ to \ pm ai} \ left ((z \ mp ai) \ cdot {\ pi \ cot (\ pi z) \ over z ^ {2} + a ^ {2}} \ right) = {\ pi \ cos (a \ pi i) \ over 2ai \ sin (a \ pi i)}.}

Deci avem

S=-πcos⁡(Laπeu)Laeupăcat⁡(Laπeu)=-πLaeu⋅eeu(Laeuπ)+eeu(-Laeuπ)2⋅2eueeu(Laeuπ)-eeu(-Laeuπ)=πLa⋅e-Laπ+eLaπeLaπ-e-Laπ{\ displaystyle S = - {\ pi \ cos (a \ pi i) \ over ai \ sin (a \ pi i)} = - {\ pi \ over ai} \ cdot {\ mathrm {e} ^ {i ( ai \ pi)} + \ mathrm {e} ^ {i (-ai \ pi)} \ over 2} \ cdot {2i \ over \ mathrm {e} ^ {i (ai \ pi)} - \ mathrm {e } ^ {i (-ai \ pi)}} = {\ pi \ over a} \ cdot {e ^ {- a \ pi} + e ^ {a \ pi} \ over e ^ {a \ pi} -e ^ {- a \ pi}}}

și, în sfârșit

S=πcoth⁡(Laπ)La{\ displaystyle S = {\ pi \ coth (a \ pi) \ over a}}

unde am folosit formula lui Euler pentru a merge de la funcții trigonometrice la exponențiale complexe, precum și definiția funcției cotangente hiperbolice .

Notă  : prin simetrie, avem că:

∑-∞-11nu2+La2=∑1∞1nu2+La2=12(πcoth⁡(Laπ)La-1La2){\ displaystyle \ sum _ {- \ infty} ^ {- 1} {1 \ over n ^ {2} + a ^ {2}} = \ sum _ {1} ^ {\ infty} {1 \ over n ^ {2} + a ^ {2}} = {1 \ over 2} \ left ({\ pi \ coth (a \ pi) \ over a} - {1 \ over a ^ {2}} \ right)}

adică jumătate din suma calculată anterior minus termenul pentru . Revenind la limita atunci când o apropie de 0, și folosind dezvoltarea limitată , există rezultatul Euler  : . nu=0{\ displaystyle n = 0} coth⁡X=1X(1+X23)+o(X){\ displaystyle \ coth x = {\ frac {1} {x}} \ left (1 + {\ frac {x ^ {2}} {3}} \ right) + o (x)}ζ(2)=∑nu=1+∞1nu2=π26{\ displaystyle \ zeta (2) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} { 6}}}

O altă metodă de calcul al acestor sume poate fi găsită în articolul Funcția Digamma .

Al doilea tip

Fie calculul următoarei sume:

S=∑-∞,nu∉E∞(-1)nuf(nu){\ displaystyle S = \ sum _ {- \ infty, n \ notin E} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} f (n)}

cu a avea un set de singularități izolate. Să presupunem că îndeplinește aceeași condiție ca și pentru sumele de primul tip și anume: f{\ displaystyle f}E{\ displaystyle E}f{\ displaystyle f}

există ca de exemplu pentru orice complex de modul mai mare sau egal cu .M,R>0,α>1{\ displaystyle M, R> 0, \ alpha> 1}|f(z)|≤M|z|α{\ displaystyle | f (z) | \ leq {M \ over | z | ^ {\ alpha}}}z{\ displaystyle z}R{\ displaystyle R}

Deci, suma converge absolut și avem:

∑∞,nu∉E∞(-1)nuf(nu)=-∑zk∈ERes(f(z)πcsc⁡(πz);zk).{\ displaystyle \ sum _ {\ infty, n \ notin E} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} f (n) = - \ sum _ {z_ {k} \ in E} \ mathrm {Res } \ left (f (z) \ pi \ csc (\ pi z); z_ {k} \ right).} Demonstrație

Dovada este identică cu cea a primului tip, este suficient să se arate că funcția are pentru reziduuri . πcsc⁡(πz){\ displaystyle \ pi \ csc (\ pi z)}{(-1)nu;nu∈Z}{\ displaystyle \ left \ {(- 1) ^ {n}; n \ in \ mathbb {Z} \ right \}}

Avem un singur pol la fiecare punct întreg. csc⁡(πz)=1păcat⁡(πz){\ displaystyle \ csc (\ pi z) = {1 \ over \ sin (\ pi z)}}

Reziduul unei fracții cu un singur zero în numitor este dat de:

Res(πpăcat⁡(πz);nu)=πpăcat′⁡(nuπ)=ππcos⁡(nuπ)=(-1)nu{\ displaystyle \ mathrm {Res} \ left ({{\ pi \ over \ sin (\ pi z)}; n} \ right) = {\ pi \ over \ sin '(n \ pi)} = {\ pi \ over \ pi \ cos (n \ pi)} = (- 1) ^ {n}}

care încheie demonstrația.

Exemplu

Problemă  : calculați următoarea sumă:

S=∑nu=1∞(-1)nupăcat⁡(nuθ)nu3,(-π≤θ≤π).{\ displaystyle S = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {n} \ sin (n \ theta) \ over n ^ {3}}, \ quad (- \ pi \ leq \ theta \ leq \ pi).}

Soluție  : folosind rezultatul de mai sus, avem:

S=θ(θ2-π2)12.{\ displaystyle S = {\ theta (\ theta ^ {2} - \ pi ^ {2}) \ peste 12}.}

Dezvoltare  : funcția îndeplinește în mod clar condițiile și are un triplu pol la origine. Cel mai simplu mod de a obține reziduul este să folosiți o expansiune în serie în jurul originii:

1z3⋅păcat⁡(zθ)⋅πpăcat⁡(πz)=1z3⋅(zθ-z3θ36+...)⋅(1z+π2z6+...).{\ displaystyle {1 \ over z ^ {3}} \ cdot \ sin (z \ theta) \ cdot {\ pi \ over \ sin (\ pi z)} = {1 \ over z ^ {3}} \ cdot \ left (z \ theta - {z ^ {3} \ theta ^ {3} \ over 6} + \ dots \ right) \ cdot \ left ({1 \ over z} + {\ pi ^ {2} z \ peste 6} + \ dots \ right).}

Reziduul este, prin definiție, coeficientul termenului din dezvoltarea de mai sus, adică: z-1{\ displaystyle z ^ {- 1}}

Res(păcat⁡(zθ)πz3păcat⁡(πz);0)=π2θ6-θ36=θ6(π2-θ2).{\ displaystyle \ mathrm {Res} \ left ({\ sin (z \ theta) \ pi \ over z ^ {3} \ sin (\ pi z)}; 0 \ right) = {\ pi ^ {2} \ theta \ over 6} - {\ theta ^ {3} \ over 6} = {\ theta \ over 6} (\ pi ^ {2} - \ theta ^ {2}).}

Deci avem :

∑-∞,nu≠0∞(-1)nupăcat⁡(nuθ)nu3=θ6(θ2-π2)=2S{\ displaystyle \ sum _ {- \ infty, n \ neq 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ sin (n \ theta) \ over n ^ {3}} = {\ theta \ peste 6} (\ theta ^ {2} - \ pi ^ {2}) = 2S}

unde ultima egalitate se obține considerând simetria sumei.

Prin urmare, avem:

S=θ(θ2-π2)12.{\ displaystyle S = {\ theta (\ theta ^ {2} - \ pi ^ {2}) \ peste 12}.}

Vezi și tu

• Funcție cu mai multe valori
• Principiul argumentului
• Lema lui Jordan
• Lema de estimare
• Metode de calcul a integralelor de contur
• Contour Hankel  (ro)

Note și referințe

1. Henri Cartan , Teoria elementară a funcțiilor analitice a uneia sau mai multor variabile complexe [ detaliul ediției ], p. 93.

• Murray R. Spiegel  (ro) , Variabile complexe , Schaum ( ISBN  2-7042-0020-3 )
• (în) Serge Lang , Analiza complexă , ediția a IV- a , Springer, 1999 ( ISBN  0-387-98592-1 )
• (în) Joseph Bak și Donald J. Newman  (în) , Analiza complexă , ediția a II- a , Springer, 1997 ( ISBN  0-387-94756-6 )
• Ernst Lindelöf , Calculul reziduurilor și aplicațiile sale la teoria funcției , Gauthier-Villars, Paris, 1905

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">