Baza exponențială $a$

Funcția exponențială de bază

a

Reprezentarea grafică a funcției exponențiale a bazei e (în negru), a bazei 10 (în roșu) și a bazei 1/2 (în albastru).

Evaluare	${\ displaystyle \ exp _ {a} (x)}$ sau $a ^ {x}$
Reciproc	$\ log _ {a} (x)$ sau ${\ displaystyle {\ frac {\ ln (x)} {\ ln (a)}}}$
Derivat	${\ displaystyle \ ln (a) \ exp _ {a} (x)}$
Primitive	${\ displaystyle {\ frac {\ exp _ {a} (x)} {\ ln (a)}} + C}$

Principalele caracteristici

Set de definiții	$\ mathbb {R}$
Set de imagini	$\ R _ + ^ *$

Valori speciale

Valoare zero	1
Limită în + ∞	$+ \ infty$ dacă dacă ${\ displaystyle a> 1}$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle a <1}$
Limită în −∞	${\ displaystyle 0}$ dacă dacă ${\ displaystyle a> 1}$ $+ \ infty$ ${\ displaystyle a <1}$

În analiza reală , baza exponențială $a$ este funcția notată $exp a$ care, la orice $x$ real , asociază realul $a$ $x$ . Ea are sens doar pentru o strict pozitivă reală $a$ . Se extinde la setul de reali funcția, definită peste mulțimea numerelor naturale , care la întregul $n$ asociază $a$ $n$ . Prin urmare, este versiunea continuă a unei secvențe geometrice .

Se exprimă folosind funcțiile logaritmice exponențiale și naturale obișnuite în formă

{\ displaystyle \ exp _ {a} (x) = a ^ {x} = {\ rm {e}} ^ {x \ ln (a)}.}

Poate fi definit ca singura funcție continuă pe ℝ, luând valoarea $a$ în $1$ și transformând o sumă într-un produs.

Pentru $un$ diferit de $1$ , este reciproca a funcției logaritm de bază $A$ . Aceste funcții sunt numite uneori și funcții antilogaritme . Cazul $a = e$ corespunde funcțiilor logaritmice exponențiale și naturale.

Funcțiile exponențiale sunt singurele funcții derivabile pe ℝ, proporționale cu derivata lor și luând valoarea $1$ în $0$ . Acestea fac posibilă modelarea fenomenelor fizice sau biologice în care rata de creștere este proporțională cu dimensiunea populației.

De asemenea, găsim termenul funcții exponențiale pentru funcții a căror expresie este $N a x$ .

De la putere la exponențial

Considerăm că o strict pozitivă reală $a$ ; este ușor să definiți $un n$ ca produsul lui $a$ în sine de $n$ ori pentru orice număr întreg $n$ mai mare sau egal cu $1$ ,

\ exp _ {a} (n) = a ^ {n} = {\ underset {n {\ text {times}}} {\ underbrace {a \ times a \ times \ cdots \ times a}}}

apoi definiți $un 0 = 1$ și $un -n = 1 / a n$ . Demonstrăm cu ușurință proprietatea $a n + m = a n \times a m$ . Această construcție, destul de naturală, corespunde așa-numitelor fenomene de creștere sau scădere exponențială .

Exemplul 1: imaginați-vă o populație a cărei dimensiune crește cu 30% la fiecare 10 ani. Dacă denotăm populația în 1900 cu $N$ , este ușor să calculăm populația în 1910, 1920 ... care va fi $N \times 1,3$ , apoi $N \times 1,3 2$ ... pentru a ajunge la sfârșitul n deceniilor la $N \times 1,3 n$ . Este chiar posibil să se determine populația în 1890, 1880 ... care va fi $N \times 1,3 -1$ , $N \times 1,3 -2$ ...
Exemplul 2: carbonul 14 are o dezintegrare radioactivă de perioada $T = 5 730 de$ ani ceea ce înseamnă că la fiecare $T$ ani, numărul de particule radioactive a fost împărțit la 2. Dacă măsurăm, la un moment dat, numărul $N$ de particule radioactive, după $n$ perioade, numărul de particule radioactive este doar $N \times (1/2) n$ .

Întrebarea care se pune este de a determina mărimea populației sau numărul de particule radioactive între două măsurători (deceniul pentru populație sau perioada pentru particulă). Prin urmare, este vorba de „umplerea golurilor dintre numerele întregi”. O încercare poate fi făcută prin rădăcina a $n-$ a : dacă populația s-a înmulțit cu 1,3 în 10 ani, trebuie determinată de modul în care se înmulțește în fiecare an. Se înmulțește cu un $q$ real astfel încât $q 10 = 1,3$ , adică $q = 10 \sqrt 1,3 pe$ care îl notăm cu $1,3 1/10$ .

Prin urmare, suntem capabili să definim $un r$ pentru exponenți care nu sunt întregi :

\ exp _ {a} (1 / q) = a ^ {{1 / q}} = {\ sqrt [{q}] a}

\ exp _ {a} (p / q) = a ^ {{p / q}} = ({\ sqrt [{q}] a}) ^ {p} = {\ sqrt [{q}] {a ^ {p}}}

Astfel am „completat golurile” și am definit $un r$ pentru orice $r$ rațional . Pentru a defini $un x$ pentru orice $x$ real , trebuie să adăugăm un argument de continuitate : orice $x$ real este „cât de aproape ne dorim” de un $p / q$ rațional ; valoarea $unui x$ va fi apoi „aproape de” $a p / q$ .

Această idee intuitivă a ceea ce ar putea fi $o x$ apare foarte devreme - împreună cu notație exponențială, adică din al XVII - lea secol . Dar va fi necesar să așteptați secolele următoare pentru a vedea în $x \mapsto a x$ :

o functie;
verificarea $a x + y = a x a y$ , adică transformarea unei sume într-un produs;
continua sa mergi ;
reciproc al unei funcții de logaritm (care transformă un produs într-o sumă);
derivabilă și a cărei derivată este proporțională cu funcția.

Definiții

Există mai multe puncte de intrare posibile pentru definirea funcției exponențiale: prin proprietățile sale algebrice (transformă o sumă într-un produs), prin proprietatea derivatei sale (derivată proporțională cu funcția) sau prin relațiile sale cu funcția exponențială și funcția logaritm natural .

Prin proprietatea algebrică

Definiție - Numim o funcție exponențială reală, orice funcție de la R la R , care nu este identică zero și continuă în cel puțin un punct, transformând o sumă într-un produs, adică verificarea ecuației funcționale

{\ displaystyle \ forall u, v \ in \ mathbb {R} \ quad f (u + v) = f (u) \ times f (v).}

O astfel de funcție $f$ este continuă și strict pozitivă și pentru orice real $a > 0$ , unicul $f$ astfel încât $f (1) = a$ se numește exponențial cu baza $a$ și este notat cu $exp a$ .

Cu alte cuvinte: aceste funcții sunt morfisme continue de la ( R , +) în ( R + *, ×) și sunt în bijecție cu R + * prin $f \mapsto f (1)$ .

Relația

f (u) = f \ left (2 {\ frac u2} \ right) = \ left [f \ left ({\ frac u2} \ right) \ right] ^ {2}

asigură că funcția are valori pozitive.

Ecuația funcțională garantează în plus că toate aceste valori sunt diferite de zero de îndată ce una dintre ele este.

Apoi, considerații similare celor dezvoltate în secțiunea anterioară asigură existența și unicitatea, pentru orice real $a > 0$ , a unei funcții $f$ definite pe raționale , verificând ecuația funcțională și luând în 1 valoarea $a$ .

Demonstrăm continuitatea și - prin densitatea lui ℚ în ℝ - unicitatea unei funcții care îndeplinește ecuația funcțională, luând în $1$ valoarea $a$ și continuând cel puțin un punct. Existența sa se obține prin prelungire prin continuitate :

Detalii

Se verifică cu ușurință dacă funcția $x \mapsto a x$ (definită pentru moment doar pe rațional) este monotonă și că secvența $a 1/2 n$ converge la 1. Aceasta, alăturată ecuației funcționale, permite să arate că funcția este Cauchy -continuu pe ℚ, deci extensibil prin continuitate la ℝ. Prin continuitate și densitate, această prelungire la ℝ verifică încă ecuația funcțională.

Putem observa că - cu excepția funcției constantă $1$ , ceea ce corespunde $unui = 1$ - toate aceste hărți $f : ℝ \to] 0, + \infty [$ sunt bijectivă. Prin urmare, acestea sunt izomorfisme de la ( R , +) la ( R + *, ×).

Am demonstrat că atunci $f$ este diferențiat și satisface ecuația diferențială :

{\ displaystyle f '(x) = f' (0) \ times f (x) \ quad {\ text {et}} \ quad f (0) = 1.}

Demonstrații

1 st metodă. - Conform paragrafului „Printr-o ecuație diferențială” de mai jos , funcțiile $g k : x \mapsto exp ( kx )$ verifică $g ' k = kg k$ , $g k (0) = 1$ și transformă sumele în produse. Pentru $k = exp -1 ( a )$ , avem $g k (1) = a$ prin urmare prin unicitate, $g k = f$ .

Metoda 2 E. - Pentru a demonstra că o funcție continuă care transformă o sumă într-un produs este neapărat diferențiată, ne putem baza pe faptul că o funcție continuă are primitive . Dacă notăm cu $F$ un antiderivativ al lui $f$ , putem scrie

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} f (x) f (t) \ mathrm {d} t = f (x) \ int _ {0} ^ {1} f (t) \ mathrm {d } t = f (x) (F (1) -F (0))}

dar de asemenea

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} f (x) f (t) \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {1} f (x + t) \ mathrm {d} t = F (x + 1) -F (x).}

Funcția $f$ fiind strict pozitivă, $F$ este strict în creștere și $F (1) - F (0)$ este atunci diferită de zero. Prin compararea celor două egalități, putem scrie

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {F (x + 1) -F (x)} {F (1) -F (0)}},}

ceea ce dovedește că, $f$ exprimat ca o combinație liniară de funcții diferențiate, $f$ este diferențiat.

Prin derivarea egalității

{\ displaystyle f (x + u) = f (x) f (u)}

în ceea ce privește $x$ , obținem

{\ displaystyle f '(x + u) = f' (x) f (u)}

apoi, luând $x$ egal cu $0$ ,

{\ displaystyle f '(u) = f' (0) f (u).}

Folosind funcția exponențială și funcția logaritmului natural

Definiție - Fie $a$ un real strict pozitiv. Noi numim funcția exponențială de bază $o$ funcție definită pe ℝ de

{\ displaystyle f (x) = {\ rm {e}} ^ {x \ ln (a)} \,}

unde $x \mapsto e x$ este funcția exponențială și $ln$ funcția logaritm natural .

Această funcție este într-adevăr continuă, transformă o sumă într-un produs și ia valoarea $a$ în 1.

Printr-o ecuație diferențială

Definiție - Numim o funcție exponențială orice funcție diferențiată care îndeplinește următoarea ecuație diferențială și următoarea condiție inițială:

{\ displaystyle f '= kf \ quad {\ text {și}} \ quad f (0) = 1}

unde $k$ este orice real.

Putem observa că pentru o astfel de funcție, $k$ este valoarea derivatei la 0.

Presupunând doar existența unei soluții pentru $k = 1$ (funcția $exp$ ) , o soluție evidentă pentru orice $k$ este funcția $x \mapsto exp ( kx )$ .

Arătăm că această soluție este singura. Mai mult, soluția transformă orice sumă într-un produs, astfel încât definiția sa coincide cu cea de mai sus „ Prin proprietatea algebrică ”, pentru $a = exp ( k )$ .

Ca reciproc al funcțiilor logaritmice

Definiție - Fie a $un$ număr real strict pozitiv, diferit de $1$ . Funcția logaritm de bază $A$ este o bijectie de R * + in R . O funcție exponențială de bază $este$ invers bijectie :

{\ displaystyle {\ bigl (} x \ in \ mathbb {R}, \ quad y = \ exp _ {a} (x) {\ bigr)} \ Leftrightarrow {\ bigl (} y \ in \ left] 0, + \ infty \ right [, \ quad x = \ log _ {a} (y) {\ bigr)}.}

Funcția logaritmului fiind continuă, transformând un produs într-o sumă și luând valoarea $1$ în $a$ , bijecția sa reciprocă este continuă, transformă o sumă într-un produs și ia valoarea $a$ în $1$ .

Proprietăți

Proprietăți algebrice

Pentru toate realele strict pozitive $a$ și $b$ și pentru toate realele $x$ și $y$ : ${\ displaystyle a ^ {x} = \ exp (x \ ln (a)) = {\ rm {e}} ^ {x \ ln (a)}, \ quad a ^ {x} = b ^ {x \ log _ {b} (a)}, \ quad a ^ {xy} = \ left (a ^ {x} \ right) ^ {y}.}$
Hărțile $exp a : x \mapsto a x$ sunt morfisme de grup (abelieni) din ( R , +) în ( R + *, ×): ${\ displaystyle a ^ {x + y} = a ^ {x} a ^ {y}, \ quad a ^ {0} = 1, \ quad {\ frac {1} {a ^ {x}}} = a ^ {- x}.}$
Aceste morfisme constituie un grup izomorf la ( R + *, ×) ( printr- $un \mapsto exp a$ ) - deci și la ( R , +) : ${\ displaystyle a ^ {x} b ^ {x} = (ab) ^ {x}, \ quad 1 ^ {x} = 1, \ quad {\ frac {1} {a ^ {x}}} = \ left ({\ frac {1} {a}} \ right) ^ {x}, \ quad a ^ {1} = a.}$

Studiul funcției

Funcția exponențială de bază $a$ este diferențiată în mod nedefinit pe R și derivatul său are pentru exprimare

{\ displaystyle \ exp _ {a} '(x) = \ ln (a) \ exp _ {a} (x).}

Deoarece funcția exponențială este întotdeauna pozitivă, semnul derivatei sale depinde doar de semnul lui $ln ( a )$ . Funcția este, prin urmare, strict în creștere atunci când baza $a$ este strict mai mare decât $1$ ; este strict descrescător când baza este mai mică de $1$ și constantă dacă am luat ca bază $a = 1$ .

Limitele funcției exponențiale de bază $a$ depinde de poziția $unui$ raport cu $1$ :

dacă $a > 1$ atunci ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} a ^ {x} = + \ infty \ quad {\ rm {et}} \ quad \ lim _ {x \ to - \ infty} a ^ {x} = 0 ~;}$
dacă $a <1$ atunci ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} a ^ {x} = 0 \ quad {\ rm {et}} \ lim _ {x \ to - \ infty} a ^ {x} = + \ infty .}$

Funcția exponențială are un comportament previzibil în comparație cu funcția de putere: în caz de nedeterminare în $+ \infty$ , exponențială este cea care câștigă :

pentru toate numerele reale

a > 1

și

b

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {a ^ {x}} {x ^ {b}}} = + \ infty.}

Este atât logaritmic convex (deci convex ), cât și logaritmic concav (în) .

Note și referințe

Leibniz nu ezită să folosească notația $a x$ fără să aibă o idee clară despre ce ar merita $un \sqrt 2$ .
A se vedea, de exemplu, capitolul "funcția rădăcină n " pe Wikiversitate .
Vezi de exemplu acest exercițiu corectat din lecția despre funcția exponențială pe Wikiversitate .
Acest proces se aplică multor ecuații funcționale. Vezi Dominique Hoareau, „ Integrare pentru o mai bună deriva ” , pe MégaMaths .
A se vedea, de exemplu, capitolul „Exponențialul ca soluție a unei ecuații diferențiale” de pe Wikiversitate .
A se vedea de exemplu capitolul "Proprietățile algebrice ale exponențialului" de pe Wikiversitate .

Baza exponențială a