Legile Snell-Descartes

De Legile lui Snell descriu comportamentul luminii la interfața a două medii. Aceste legi sunt patru la număr, două pentru reflecție și două pentru refracție . Odată cu propagarea rectilinie a luminii în medii omogene și izotrope, aceste legi stau la baza opticii geometrice . Numele lor se referă la Willebrord Snell și René Descartes , care a descoperit în același timp , dar în mod independent , aceste legi în al XVII - lea secol .

Profilul celerimetric și legile lui Snell determină traiectoria razelor din apă. Aceleași legi permit determinarea curburii ideale a corneei unui ochi în atmosferă sau în mediul acvatic. Una dintre aceste legi explică, de asemenea, relația matematică simplă care există între unghiul de incidență al unei raze de lumină și unghiul acesteia refractat de apă sau fenomenul cunoscut sub numele de fereastra lui Snell .

Istoric

Descoperirea legilor refracției este atribuită lui Ibn Sahl (c. 940-1000) în 983. Aceste legi sunt reprezentate în figura opusă de cele două triunghiuri din stânga sus. Ibn Sahl a folosit aceste legi pentru a proiecta o lentilă de formă hiperbolică, cu focalizare perfectă (un fascicul de raze paralele converge apoi exact în același punct: focalizarea).

Cu toate acestea, tratatul lui Ibn Sahl rămâne enigmatic, deoarece relația apare fără date experimentale sau fundamentare teoretică. În plus, nu este definită o constantă echivalentă cu indicele optic . Mai mult, este greu de crezut că Ibn al-Haytham (Alhazen) nu a preluat descoperirea fundamentală a maestrului său Ibn Sahl. Relația pare să fi fost uitată. O posibilă interpretare este că acesta este un exercițiu de proiectare a lentilelor, considerat în domeniul pur geometric, fără ca legea fizică să fie stabilită.

Mai târziu, teoria curcubeului este cunoscută în lumea musulmană ( Al Farisi ).

Apoi, prin traducerea latină a tratatului optic al lui Ibn al-Haytham , optica se răspândește în Europa: Oxford ( Robert Grosseteste , Roger Bacon ), Paris, Praga. Legea unghiurilor mici este cunoscută: Witelo (alias Vitellion ) ar fi luat tabelele experimentale de deviere stabilite de Ptolemeu , dar atunci Kepler a fost cel care, în Paralipomena la Vitellion , a declarat explicit relația dintre unghiurile de incidență (mici). și refracție. Lui Thomas Harriot i se atribuie stabilirea meselor prin legea sinilor (1601) și explicarea curcubeului (1606); dar nu publică.

Snell și-a dezvoltat opera în același timp în care și-a publicat masa cu sinele (1621).
Descartes a publicat legea în 1637 în tratatul său La Dioptrique (în apendicele Discursului despre metodă ).
Legile lui Snell pot fi deduse pe deplin din principiul lui Fermat , iar fizica modernă a ecuațiilor Maxwell ale electromagnetismului .

În Europa de Vest, cearta prioritară - Snell sau Descartes? - a fost amplu dezbătut; având în vedere Ibn Sahl, Harriot, Kepler, este o ceartă „veche” (vezi controversele despre cartezianism , dioptric).

Vechea ceartă

În Europa de Vest, declarația legii sinelor este atribuită atât lui Descartes, cât și lui Snell , iar acest fapt va face obiectul unei ceartă prioritară atât de frecventă în acest moment (începutul secolului al XVII-lea): controversa asupra problemei dacă Descartes el însuși a descoperit această lege sau pur și simplu a avut cunoștință despre aceea stabilită cu puțin timp înainte de Snell, acesta din urmă murind fără să o fi publicat. Dacă Leibniz și Huygens au considerat că într-adevăr Descartes nu ar fi putut fi fără să cunoască legea enunțată de Snell, opiniile istoricilor nu sunt atât de clare. B. Maitte evocă cunoștințele pe care Descartes le-ar fi avut despre manuscrisul nepublicat al lui Snell (care, potrivit lui J.-P. Maury, ar fi fost încredințat lui Rivet, profesor de teologie în relație cu Mersenne , el însuși corespunzând foarte mult cu Descartes) . Dar, potrivit lui P. Costabel, nu există nicio dovadă în starea actuală a documentației istorice cu privire la faptul că Descartes a comunicat rezultatul lui Snell. Alți autori evocă anterioritatea lui Harriot care ar fi găsit legea menționată, dar i-ar fi furnizat lui Kepler doar tabelele măsurătorilor fără interpretare.

Documentele istorice găsite în prezent nu ne permit să cunoaștem abordarea lui Snell. În ceea ce privește Descartes, unele indicații conduc la considerarea faptului că ideea sinelor a fost direct legată de căutarea formei unui așa-numit obiectiv „perfect”, adică capabil să convergă exact într-un punct. un fascicul de raze paralele. Profilul anticipat al dioptriului a fost cel al unei hiperbole și este studiul geometric al acestui profil - calificat ca anaclastic - care a confirmat Descartes în valabilitatea unei legi sine: convingerea, ca să nu spunem dovada, a rezultat dintr-o un set de considerații, experimental (producția la limita posibilului unei astfel de lentile de către Ferrier) și teoretic (demonstrație că forma hiperbolică corespundea bine unei relații între sinele unghiurilor de către geometrul Mydorge și de matematicianul Beeckman ). Să adăugăm aici că această preocupare a apărut din invenția telescopului, un telescop îmbunătățit de Galileo și transmis lui Kepler, care a dat o primă explicație.

Legile Snell-Descartes pentru reflecție

Se spune că raza de lumină este incidentă înainte de a întâlni suprafața reflectantă, se spune că se reflectă ulterior.

Punctul de întâlnire al razei incidente și suprafața reflectorizantă se numește punctul de incidență .

Linia ortogonală la suprafața reflectorizantă la punctul de incidență se numește normală (la suprafața reflectantă).

Planul care conține raza incidentă și normalul la suprafața reflectantă la punctul de incidență se numește plan de incidență .

Unghiul orientat θ 1 luată de perpendiculara în punctul de incidență și raza incidentului se numește unghiul de incidență .

Unghiul orientat θ 2 luat între normal la punctul de incidență și raza reflectată se numește unghiul de reflexie .

Unghiurile θ 1 și θ 2 sunt pozitive dacă sunt orientate în sens invers acelor de ceasornic , negativ în caz contrar. Vă rugăm să rețineți: unii autori folosesc alte convenții.

Legile reflecției sunt enunțate după cum urmează:

raza reflectată, raza incidentă și normalul (către dioptrii) sunt conținute în planul incidenței;
unghiurile incidente și reflectate sunt egale în valori absolute; θ 1 și θ 2 verifică: θ 2 = - θ 1 .

Legile Snell-Descartes pentru refracție

Legile refracției Snell-Descartes exprimă schimbarea direcției unui fascicul de lumină atunci când traversează un perete, separând două medii diferite. Fiecare mediu se caracterizează prin capacitatea sa de a „încetini” lumina, modelată de indicele său de refracție n care se exprimă sub forma:

nu=vs.v{\ displaystyle n = {\ frac {c} {v}}} ${\ displaystyle n = {\ frac {c} {v}}}$ sau:

v este viteza luminii în acest mediu;
aceasta este viteza luminii în vid.

Se spune că raza de lumină este incidentă înainte de a întâlni suprafața de refractare (numită dioptru), se spune că este refractată după aceea.

Punctul de întâlnire al razei incidente și al dioptriei se numește punctul de incidență.

Planul care conține raza incidentă și normalul către dioptrii, la punctul de incidență, se numește planul de incidență.

Unghiul orientat θ 1 luat între normal la punctul de incidență și raza incidentă se numește unghiul de incidență.

Unghiul orientat θ 2 luat între normal la punctul de incidență și raza refractată se numește unghiul de refracție.

Unghiurile θ 1 și θ 2 sunt pozitive dacă sunt orientate în sens invers acelor de ceasornic, negative în caz contrar.

Fie n 1 indicele de refracție al mediului în care se propagă raza incidentă și n 2 cel al mediului în care se propagă raza refractată.

Legile refracției sunt enunțate după cum urmează:

raza refractată, raza incidentă și normalul (către dioptrii) se află în același plan, planul de incidență;
relația care leagă indicii de refracție n 1 și n 2 a fiecăruia dintre medii și unghiurile incidente θ 1 și refractate θ 2 , numită relația Snell-Descartes, este scrisă:

nu1păcat⁡θ1=nu2păcat⁡θ2{\ displaystyle n_ {1} \, \ sin \ theta _ {1} = n_ {2} \, \ sin \ theta _ {2}} ${\ displaystyle n_ {1} \, \ sin \ theta _ {1} = n_ {2} \, \ sin \ theta _ {2}}$

Pentru n 1 > n 2 (și respectiv n 1 < n 2 ) raza refractată (sau incidentă) se apropie de dioptrii mai rapid decât raza incidentă (sau refractată). Când raza refractată (sau incidentă) se găsește matematic pe dioptră (limita sa) există atunci o reflexie totală .

Legile empirice ale reflecției și refracției pot fi interpretate prin diferite modele: modelul de undă Huygens ( principiul Huygens ), modelul de acțiune Fermat minimum ( principiul Fermat ), modelul de undă electromagnetică Maxwell.

Legile Snell-Descartes sunt, de asemenea, utilizate în reflexia cu ultrasunete.

Legile Snell-Descartes și relativitatea lui Galileo

Legile lui Snell-Descartes sunt, de fapt, o consecință, directă, dar nu banală, a principiului relativității lui Galileo , adică a invarianței legilor fizicii în timpul unei traduceri în spațiu sau în timp.

Demonstrație

Fie o undă plană monocromatică (scrisă în formă complexă ), iar unda transmisă (sau altfel reflectată pe) un plan infinit P care separă două medii liniare și omogene. Legile care prescriu unda transmisă și unda reflectată trebuie să fie invariante în timpul unei traduceri temporale ( ) și spațiale ( ), unde este paralel cu P (astfel încât planul să rămână invariant). Atunci se înmulțește cu și cu . Invarianța legilor fizice în timpul unei traduceri spațio-temporale impune ca acesta să fie neschimbat, prin urmare , indiferent de traducere: ${\ displaystyle \ psi _ {0} = A_ {0} \ exp \ left [\ mathrm {i} \, ({\ vec {k}} _ {0} \ cdot {\ vec {r}} - \ omega _ {0} t) \ dreapta]}$ ${\ displaystyle \ psi = A \ exp \ left [\ mathrm {i} \, ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}} - \ omega t + \ varphi) \ right]}$ ${\ displaystyle t \ rightarrow t- \ tau}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} \ rightarrow {\ vec {r}} - {\ vec {a}}}$ ${\ vec a}$ ${\ displaystyle \ psi _ {0}}$ ${\ displaystyle C_ {0} = \ exp [\ mathrm {i} \, (\ omega _ {0} \ tau - {\ vec {k}} _ {0} \ cdot {\ vec {a}})] }$ $\ psi$ ${\ displaystyle C = \ exp [\ mathrm {i} \, (\ omega \ tau - {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {a}})]}$ ${\ displaystyle A / {A_ {0}}}$ $C = C_ {0}$

${\ displaystyle \ omega = \ omega _ {0}}$ , transmisia și reflexia conservă frecvența ;
${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {\ parallel} = {\ vec {k}} _ {0 \ parallel}}$ (proiecțiile lui și pe plan), din care se deduce cu ușurință că planurile de refracție și reflexie (definite de și , componenta perpendiculară pe plan) coincid cu planul de incidență (definit de și ); ${\ vec k}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {\ parallel}}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {\ perp}}$ ${\ vec k}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {0 \ parallel}}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {0 \ perp}}$
${\ displaystyle {\ frac {\ sin \ theta} {c}} = {\ frac {\ sin \ theta _ {0}} {c_ {0}}}}$ unde și sunt , respectiv unghiul de incidență și viteza undelor în primul mediu, și și unghiul de refracție și viteza de al doilea mediu (sau unghiul de reflexie și viteza primului mediu); această relație rezultă din relația care leagă și (sau și ) : (și prin geometrie simplă ). $\ theta _ {0}$ $c_ {0}$ $\ theta$ $vs.$ ${\ displaystyle \ | {\ vec {k}} \ |}$ $vs.$ ${\ displaystyle \ | {\ vec {k}} _ {0} \ |}$ $c_ {0}$ ${\ displaystyle c \ | {\ vec {k}} \ | = \ omega = \ omega _ {0} = c_ {0} \ | {\ vec {k}} _ {0} \ |}$ ${\ displaystyle \ | {\ vec {k}} \ | \ sin \ theta = \ | {\ vec {k}} _ {\ parallel} \ | = \ | {\ vec {k}} _ {0 \ parallel } \ | = \ | {\ vec {k}} _ {0} \ | \ sin \ theta _ {0}}$

Aceste relații (și în special a treia) rămân valabile atunci când există mai multe unde reflectate și transmise (cazul undelor seismice ), atunci când mediile sunt anizotrope și chiar atunci când unda transmisă este evanescentă ( reflexie „totală” , imaginar pur ). ${\ displaystyle k _ {\ perp}}$

Forma vectorială a legilor Snell-Descartes

Forma vectorială face posibilă exprimarea vectorilor de direcție ai razelor reflectate și refractate din vectorul de direcție al razei incidente. Rezultatul este același ca și pentru formele scalare , dar ca vectori în loc de unghiuri.

Având în vedere vectorul director al razei incidente (provenind de la o sursă de lumină și în direcția dioptrii) și vectorul normal către planul incident, avem: ${\ displaystyle {\ vec {I}}}$ ${\ vec {n}}$

{\ displaystyle \ cos \ theta _ {1} = {\ vec {n}} \ cdot (- {\ vec {I}})}

{\ displaystyle \ cos \ theta _ {2} = {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ right) ^ {2} \ left (1- \ cos ^ {2} \ theta _ {1} \ right)}}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {r {\ acute {e}} fl {\ acute {e}} chi}} = {\ vec {I}} + \ left (2 \, \ cos \ theta _ {1} \ right) {\ vec {n}}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {r {\ acute {e}} fract {\ acute {e}}}} = \ left ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2 }}} \ right) {\ vec {I}} + \ left ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ cos \ theta _ {1} - \ cos \ theta _ {2} \ dreapta) {\ vec {n}}}

Notă: trebuie să fie pozitiv. În caz contrar, trebuie să utilizați: ${\ displaystyle {\ vec {n}} \ cdot (- {\ vec {I}})}$

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {r {\ acute {e}} fract {\ acute {e}}}} = \ left ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2 }}} \ right) {\ vec {I}} + \ left ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ cos \ theta _ {1} + \ cos \ theta _ {2} \ dreapta) {\ vec {n}}.}

Reflexia totala are loc atunci când radicand formulei pentru cos ( θ 2 ) este negativ.

Generalizarea legilor reflectării și refracției

În octombrie 2011, un grup de cercetători internaționali care lucrează la Universitatea Harvard din Statele Unite au generalizat legile reflecției și refracției. Ideea constă în modificarea interfeței care separă cele două medii astfel încât să se introducă o fază pe fasciculul de lumină care nu mai este uniformă, dar care depinde de spațiu. Pentru a face acest lucru, au decorat interfața cu o matrice de antene plasmonice de dimensiuni nanoscopice, care permit introducerea unui gradient de fază constant de-a lungul interfeței.

Noile legi ale reflecției și refracției sunt obținute luând în considerare principiul lui Fermat , luând în considerare acest gradient de fază. Deoarece dimensiunea antenelor plasmonice utilizate este mult mai mică decât lungimea de undă a luminii, gradientul de fază este introdus brusc la traversarea interfeței, decuplând astfel faza acumulată în timpul propagării și saltului. Fază introdusă de nanostructuri.

Legea generală a refracției este apoi enunțată după cum urmează:

{\ displaystyle n_ {2} \, \ sin \ theta _ {2} -n_ {1} \, \ sin \ theta _ {1} = {\ frac {\ lambda} {2 \, \ pi}} \; {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} x}}}

${\ textstyle {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} x}}}$ reprezintă gradientul de fază introdus brusc la interfață.

Legea generalizată a reflecției este menționată:

{\ displaystyle \ sin \ theta _ {r} - \ sin \ theta _ {i} = {\ frac {\ lambda} {2 \, \ pi \, n_ {i}}} \; {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} x}}}

θ i este unghiul de incidență;
θ r este unghiul de reflexie.

Legea reflexiei este surprinzătoare: unghiul de reflexie nu mai este neapărat egal cu unghiul de incidență.

Vizualizarea legii lui Snell-Descartes: suprafața încetinirii

Vectorul de încetineală este vectorul purtat de direcția de propagare a undei și de modul egal cu inversul vitezei sale de fază în această direcție. Suprafețele lentei sunt locusul extremității acestui vector pentru toate direcțiile de propagare a undelor.

Prin definiție, suprafața de lentoare este locusul capetelor vectorului de lentoare , tras dintr-un punct fix O, când direcția de propagare variază. ${\ displaystyle {\ displaystyle {\ vec {m}}}}$ ${\ displaystyle {\ displaystyle {\ vec {n}}}}$

Vector de încetineală:

{\ displaystyle {\ vec {m}} = {\ frac {\ vec {n}} {V}}}

Direcțiile de propagare a undelor pot fi determinate grafic de pe suprafețele lentei. Într-adevăr, legile Snell-Descartes corespund conservării proiecției pe interfața vectorilor liniți ai tuturor undelor (incidente, reflectate și transmise), așa cum este ilustrat în figura opusă.

Mediu izotrop

În mediile izotrope (solide sau lichide), viteza unei unde fiind aceeași indiferent de direcție, suprafețele lentei sunt sfere; cercuri în planul incidenței (unul pentru undele longitudinale și unul mai mare pentru undele transversale ).

Mediu anizotrop

Pentru un mediu anizotrop, suprafețele de lentoare se abat de la reprezentarea pur sferică referitoare la corpurile izotrope. O secțiune într-un plan a suprafețelor lentei pentru un material anizotrop este dată în figura opusă.

Note și referințe

(în) A. Kwan, JM Dudley, E. Lantz, „Cine a descoperit cu adevărat legea lui Snell?”, Physics World 15 (2002): 64-84. și Roshdi Rashed , Geometry and Dioptrics in Classical Islam (Londra: al-Furqan, 2005), XIII-1178-VI p., ( ISBN 1 873992 99 8 )
(ro) Gorden Videen "A cui lege a refracției?", Optics and Photonics News, publicat de OSA http://www.osa-opn.org/print.aspx?path=%2FArchives%2F0508% 2Fdepartments% 2Fviewpoint.aspx
R. Rashed, „ Modelul sferei transparente și explicația curcubeului: Ibn al-Haytham - al-Farisi ”, Journal of the history of science and their applications , n os 23-2,1970, p. 109-140 ( citește online ).
B. Maitte History of the Rainbow. Paris: Seuil, Open Science, 2005
J.-P. Maury La originea cercetării științifice: Mersenne. Paris: Vuibert, 2003
B. Rochot Corespondența științifică a părintelui Mersenne. Paris: Palatul Descoperirii, 1966.
P. Costabel Abordări originale ale învățatului Descartes. Paris: Vrin, 1982.
Jean-Pierre Provost și Gérard Vallée, Matematica în fizică: fizica prin filtrul matematicii , Paris, Éditions Dunod , col. „Științe Sup”,Martie 2004, 1 st ed. , 331 p. ( ISBN 2-10-004652-7 ) , p. 82-83.
(în) Andrew S. Glassner , An Introduction to Ray Tracing , Morgan Kaufmann,1989, 327 p. ( ISBN 0-12-286160-4 , citit online )
Nanfang Yu, Patrice Genevet, Mikhail Kats, Francesco Aieta, Jean-Philippe Tetienne, Federico Capasso, Zeno Gaburro, Light Propagation with Phase Discontinuities: Generalized Laws of Reflection and Refraction , Science, 334, 333, 2011.
" Propagarea și testarea nedistructivă a solidelor ACO3 "
" PARVIZ NAVI: Proprietăți acustice ale materialelor: Propagarea undelor plane armonice. "