Val plan

Undei plane este un concept derivat din fizica propagării undelor . Este o undă ale cărei fronturi de undă sunt planuri infinite, toate perpendiculare pe aceeași direcție de propagare desemnată de vector . ${\ vec {n}}$

Luând de exemplu în direcția z , atunci această undă nu depinde de coordonatele x și y : ${\ vec {n}}$

{\ displaystyle u (x, y, z, t) = u (z, t)}

. Astfel, cantitatea măsurată depinde doar de timp și de o singură variabilă spațială în coordonate carteziene, dar nu depinde de punctul considerat în niciun plan (P) ortogonal cu direcția de propagare.

t

Unda plan monocromatică

Definiție

O undă este monocromatică atunci când conține o singură culoare , adică o singură frecvență sau, exprimată altfel, un singur impuls . O astfel de undă plană are în fiecare punct o amplitudine de formă sinusoidală în funcție de timp: $\ omega = 2 \ pi f$

{\ displaystyle u ({\ vec {r}}, t) = a \ cos ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}} - \ omega t + \ varphi _ {0})}

În această formulă, reprezintă amplitudinea sau perturbarea undei într-un punct dat din spațiu și timp. u ( , t) poate reprezenta, de exemplu, variația presiunii aerului în comparație cu media, în cazul unei unde sonore. este vectorul de poziție, este vectorul de undă , este pulsul, este faza la origine și este amplitudinea complexă a undei. ${\ displaystyle u ({\ vec {r}}, t)}$ $\ vec {r}$ ${\ vec {r}} = (x, y, z)$ ${\ vec {k}}$ $\omega$ $\ varphi _ {0}$ $la$

Acest tip de undă este deosebit de util în fizică, deoarece este simplu de utilizat și este o bună aproximare a multor unde. În special, atunci când cineva este suficient de departe de o sursă de undă punctuală (un laser, o antenă radio mică), undele sferice concentrice emise de un astfel de dispozitiv sunt bine abordate local de o undă monocromatică plană. Cu toate acestea, nu există unde plane strict monocromatice în natură, deoarece acestea ar trebui să transporte energie infinită, ceea ce este imposibil.

Consecințe

Relația dintre pulsație și vectorul de undă obținut din ecuația undei se numește relația de dispersie . Depinde de caracteristicile fizice ale mediului de propagare și de geometria acestuia. $\omega$ ${\ vec {k}}$
Viteza de fază este definită de $v _ {\ phi} = {\ frac {\ omega} {Re [k]}}$

în timp ce viteza grupului este scrisă $v_ {g} = {\ frac {\ partial \ omega} {\ partial Re [k]}}$

Partea imaginară a lui k nu apare deoarece corespunde atenuării undei.

Aplicații

Aceste unde sunt soluții pentru o ecuație de undă scalară într-un mediu omogen. Pentru ecuațiile de undă vectoriale, cum ar fi cele care descriu radiația electromagnetică sau undele într-un solid elastic, soluția este similară: amplitudinea scalară este pur și simplu înlocuită de un vector constant. De exemplu, în electromagnetism, acest vector este de obicei vectorul câmpului electric, al câmpului magnetic sau al potențialului vectorial. O undă transversală este o undă în care vectorul de amplitudine este ortogonal , ceea ce este cazul undelor electromagnetice într-un mediu izotrop. Pe de altă parte, o undă longitudinală este o undă în care vectorul de amplitudine este paralel cu , de exemplu pentru undele acustice dintr-un gaz sau un fluid. ${\ displaystyle {\ vec {k}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}}}$

Ecuația undei plane funcționează pentru combinații arbitrare de ω și k, dar orice mediu fizic real va permite ca aceste unde să se propage doar pentru combinații de ω și k care satisfac relația de dispersie. Aceasta este adesea exprimată ca o funcție fr ω (k). Raportul ω / | k | dă magnitudinea vitezei de fază, iar dω / dk dă viteza grupului. Pentru electromagnetism într-un mediu izotrop cu indice de refracție n, viteza de fază este c / n, care este egală cu viteza grupului dacă indicele n nu este dependent de frecvență.

În medii uniforme liniare, o soluție de undă poate fi exprimată ca o suprapunere a undelor plane. Această abordare este cunoscută sub numele de metoda spectrului de undă plană. Forma soluției de undă plană este de fapt o consecință generală a simetriei translaționale. Mai general pentru structurile periodice cu simetrie de translație discretă, soluțiile iau forma undelor Bloch , cel mai faimos în materialele atomice cristaline, dar și în cristalele fotonice și alte ecuații de unde periodice. Ca o generalizare suplimentară, pentru structurile care sunt uniforme doar într-o direcție x (cum ar fi un ghid de undă în direcția x), soluțiile (modurile de ghid de undă) sunt de forma exp [i (kx-ωt)] înmulțit cu un funcția amplitudinii a (y, z). Acesta este un caz special al unei ecuații diferențiale parțiale separabile.

Valul planează în practică

Chiar dacă o undă plană pură nu există în natură, este posibil să o abordăm într-un domeniu limitat al spațiului. Este suficient ca fronturile de undă să fie suficient de plane și paralele în volumul luat în considerare. În plus, o undă plană este rareori monocromatică, deoarece ar avea o extensie temporală infinită.

O undă plană reală poate fi totuși descompusă în unde plane monocromatice, ai căror vectori de undă sunt paraleli cu aceeași direcție:

{\ displaystyle u ({\ vec {r}}, t) = \ int a ({\ vec {k}}, \ omega) e ^ {i ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r }} - \ omega t)} \ mathrm {d} {\ vec {k}} \; \ mathrm {d} \ omega,}

unde este o funcție cu valoare complexă numită spectru de unde plane și poate avea diferite forme ( Gaussian ...). $a ({\ vec {k}}, \ omega)$

Această suprapunere a undelor plane monocromatice face posibilă descrierea oricărei unde plane.

Pentru a obține o undă plană, putem de exemplu să facem lumina să treacă printr-o diafragmă și apoi să o colimăm cu o lentilă convergentă .

Unda electromagnetică plan polarizată

Prima ilustrare din dreapta este o reprezentare a unei unde electromagnetice polarizate liniar . Deoarece este o undă plană, fiecare vector albastru , care indică deplasarea perpendiculară a unui punct de pe axă în afara undei sinusoidale, reprezintă amplitudinea și direcția câmpului electric pentru un întreg plan perpendicular pe axă.

A doua ilustrare prezintă o undă electromagnetică polarizată circular . Fiecare vector albastru care indică deplasarea perpendiculară a unui punct pe axa din afara helixului, reprezintă, de asemenea, magnitudinea și direcția câmpului electric pentru un întreg plan perpendicular pe axă.

În ambele ilustrații, de-a lungul axelor este o serie de vectori albastru mai scurți, care sunt o versiune redusă a vectorilor albaștri mai lungi. Acești vectori albaștri mai scurți sunt extrapolați în blocul de vectori negri care umple un volum de spațiu. Rețineți că pentru un plan dat, vectorii negri sunt aceiași, indicând faptul că amplitudinea și direcția câmpului electric sunt constante de-a lungul acelui plan.

În cazul luminii polarizate liniar, intensitatea câmpului plan-în-plan variază de la un maxim într-o direcție, la zero și apoi la o altă maximă în direcția opusă.

În cazul luminii polarizate circular, intensitatea câmpului este constantă din plan în plan, dar schimbă direcția constant într-un mod rotativ.

În ambele ilustrații, câmpul magnetic corespunzător câmpului electric nu este afișat. Acesta din urmă este proporțional ca mărime cu câmpul electric pentru fiecare punct din spațiu, dar este defazat cu 90 de grade. Ilustrațiile vectorilor câmpului magnetic ar fi practic identice cu acestea, cu excepția faptului că toți vectorii ar fi decalați cu 90 de grade în jurul axei de propagare, astfel încât toți ar fi perpendiculari pe direcția de propagare și pe vectorul câmpului electric.

Raportul amplitudinilor componentelor electrice și magnetice ale unei unde plane în spațiu este cunoscut sub numele de impedanță de vid caracteristică, egală cu 376,730 313 ohmi.

Note și referințe

" Undele electromagnetice-a. Proprietatea caracteristică a unei unde plane ” , pe uel.unisciel.fr (consultat la 19 martie 2017 )