Simbolul Jacobi

Simbolul Jacobi este folosit în matematică în domeniul teoriei numerelor . Este numit în cinstea matematicianului prusac Charles Gustave Jacob Jacobi . Este o generalizare a simbolului lui Legendre .

Definiție

Simbolul Jacobi este definit pentru orice număr întreg relativ și orice număr natural impar ca produs al simbolurilor Legendre, utilizând factorizarea primă a : pentru toate și toate numerele prime impare (nu neapărat distincte), $\ left (\ frac an \ right)$ $la$ $nu$ $nu$ $k \ in \ N$ ${\ displaystyle p_ {1}, \ dots, p_ {k}}$

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {\ prod _ {1 \ leq i \ leq k} p_ {i}}} \ right) = \ prod _ {1 \ leq i \ leq k} \ left ( {\ frac {a} {p_ {i}}} \ right)}

Proprietăți

Fie ca impar și întreg pozitiv să fie arbitrare. Asa de : ${\ displaystyle m, n}$ $a, b$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {1}} \ right) = 1}$ ;
dacă este prim, simbolul lui Jacobi este pur și simplu simbolul lui Legendre; $nu$ $\ left (\ frac an \ right)$
dacă și nu sunt relativ prim , ; $la$ $nu$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) = 0}$
dacă și sunt primele între ele ,; $la$ $nu$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) = \ pm 1}$
${\ displaystyle \ left ({\ frac {ab} {n}} \ right) = \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) \ left ({\ frac {b} {n}} \ dreapta)}$ ;
${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) \ left ({\ frac {a} {m}} \ right) = \ left ({\ frac {a} {mn}} \ dreapta)}$ ;
dacă $a \equiv b ( mod n )$ atunci ; ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) = \ left ({\ frac {b} {n}} \ right)}$
generalizarea legii reciprocității pătratice :
- teorema fundamentală , ${\ displaystyle \ left ({\ frac {m} {n}} \ right) = \ left ({\ frac {n} {m}} \ right) (- 1) ^ {\ frac {(m-1) (n-1)} {4}}}$
- prima lege suplimentară: , ${\ displaystyle \ left ({\ frac {-1} {n}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {n-1} {2}}}$
- a doua lege suplimentară: . ${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {n}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {n ^ {2} -1} {8}}}$

Reziduuri

Afirmațiile generale privind reziduurile pătratice care implică simbolul Legendre nu se extind la simbolul Jacobi: dacă atunci $a$ nu este un $mod$ $n$ pătrat, dar dacă , $a$ nu este neapărat un $mod$ $n$ pătrat . De exemplu: dar $2$ nu este un $mod$ pătrat $9$ (nici măcar $mod 3$ ). ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) = - 1}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) = 1}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {9}} \ right) = \ left ({\ frac {2} {3}} \ right) ^ {2} = (- 1) ^ {2} = 1}$

Note și referințe

(în) CGJ Jacobi, " Uber die ihre Anwendung und Kreisteilung auf die Zahlentheorie " , Bericht Ak. Wiss. Berlin ,1837, p. 127-136.
Vezi de exemplu:
- (ro) Tom M. Apostol , Introducere în teoria numerelor analitice , Springer ,1976, p. 188-190 ;
- (ro) Kenneth Ireland și Michael Rosen , A Classical Introduction to Modern Number Theory , Springer, col. „ GTM ” ( nr . 84);1990( citiți online ) , p. 56-57 ;
- link - ul de mai jos pentru a Wikiversitate .

Vezi și tu

Simbolul Kronecker (aritmetică) (ro)