Drept afinar

O lege afină este o lege fizică sau matematică care leagă două mărimi x și y sub forma unei funcții afine  :

y = ƒ ( x )

cu

ƒ ( x ) = ax + b

coeficienții a (panta) și b (interceptarea y) fiind constante.

Când interceptarea b este zero,

ƒ ( x ) = topor

vorbim de lege liniară sau de lege proporțională .

Importanța legilor afine

Luați în considerare două fenomene a căror intensitate variază; denotați x intensitatea unuia și y intensitatea celuilalt. Dacă x și y variază în același timp, putem estima că cantitățile sunt corelate, se spune că variațiile lor sunt corelate  ; este apoi tentant să vrei să te conectezi printr-o lege de tip

y = ƒ ( x )

Cea mai simplă lege pentru a descrie o variație corelată este legea afină: se estimează că variațiile intensităților sunt proporționale sau chiar că intensitățile sunt proporționale (legea liniară).

Pot apărea patru cazuri:

• în matematică,
  • se arată că două mărimi sunt legate printr-o lege afină sau liniară; aceasta este o lege exactă;
    de exemplu, perimetrul p al unui cerc este proporțional cu raza sa r  : p = 2π r  ;
  • legea care leagă cele două dimensiuni este mai complexă, dar, ca o primă aproximare , ne putem reduce la o lege afină, de obicei prin efectuarea unei extinderi limitate la ordinul 1; acest lucru permite în unele cazuri să tragă concluzii interesante într-un mod simplu, a se vedea comparația asimptotică  ;
• în științe experimentale  :
  • teoria dezvoltată arată că două mărimi sunt legate printr-o lege afină sau liniară;
    de exemplu, pentru o mișcare rectilinie uniformă pe axa absciselor, poziția x variază într-o manieră afină în raport cu timpul t  : x = x 0 + vt  ;
    observațiile sau experimentările fac posibilă validarea sau invalidarea acestei legi;
  • teoria oferă o lege complexă, dar care, la fel ca în matematică, poate fi considerată ca o primă aproximare ca afină;
    de exemplu, legea lui Hooke este o lege liniară pentru tulpinile mici; în deformări mari, devine asimetric;
  • teoria oferă o așa-numită   lege a „ puterii ”, de tip y = a⋅x α  ; trasată într-o diagramă log-log , obținem o lege liniară, ln ( y ) = ln ( a ) + α⋅ln ( x );
    vezi, de exemplu, pH - ul în chimie sau conceptul de decibel pentru filtrele din electronică;
    la nivel global, transformarea uneia dintre variabile poate face posibilă reducerea la un studiu liniar;
  • nu avem o teorie care să ofere o lege; legea afină este prima lege care este testată.

Marea diferență dintre legile matematicii și legile științelor experimentale este eroarea de măsurare . Determinarea experimentală a coeficienților se face prin regresie liniară  ; verificarea relevanței legii (este legitimă utilizarea unei legi afine) se face prin calcularea coeficientului de corelație liniară.

Legile afine sunt, de asemenea, de o importanță capitală pentru interpolare sau extrapolare . Într-adevăr, atunci când cineva nu cunoaște legea care leagă două dimensiuni și care are câteva puncte, „cel mai rezonabil” este să presupunem că legea este rafinată local. Eroarea pe care o comite este apoi moderată atâta timp cât legea reală este monotonă în zona luată în considerare și cu atât mai mult cu cât curbura legii este slabă - adică în prima aproximare că | ƒ | este slab.

Rețineți că noțiunea de linearitate a legii depinde de punctul de vedere. De exemplu, în electricitate, legea referitoare la intensitatea curentului la tensiunea de la bornele unui dipol pasiv

I = U / R

este liniar în U, coeficientul de proporționalitate fiind 1 / R; dar este o lege inversă în R.

Exemple de drept afin

Legi liniare în geometrie

Calculul perimetrului p al unui poligon echilateral  :

• triunghi echilateral cu latura a  : p = 3 a  ;
• pătratul laturii a  : p = 4 a  ;
• poligon regulat (și mai general echilateral) cu n laturi de lungime a  : p = na .

Calculul lungimii dezvoltate L a unui arc al unui cerc cu raza r și unghiul θ (în radiani ):

• L = θ r  ;
• perimetrul cercului: P = L (2π) = 2π r .

Legi afine în mecanică

Amplitudinea unei mișcări într-un cadru de referință galilean  :

• mișcare rectilinie uniformă (accelerație zero) de-a lungul axei absciselor: relația dintre poziția x și instant t '( viteza instantanee constantă v )
  x = x 0 + vt  ;
• mișcare de rotație uniformă (accelerație unghiulară zero) în jurul unei axe fixe: relația dintre orientarea θ și instant t ( viteza unghiulară constantă ω)
  θ = θ 0 + ω t  ;
• rulment antiderapant: relația dintre viteza instantanee v a vehiculului și viteza unghiulară instantanee ω a roții cu spițe r
  v = r ω.

Tulpina elastică  :

• legea ideală a arcurilor pentru tracțiune sau compresiune, raportând forța exercitată la alungirea Δ x , pentru un arc de rigiditate k
  F = k Δ x
• legea arcurilor de tensiune pentru deformări mici
  F = F 0 + k Δ x
• Legea lui Hooke legând alungirea relativă ε la tensiunea (forța pe unitate de suprafață) σ a unui material de modulul lui Young E (rigiditate)
  σ = Eε

Legile liniare în electricitate

• Legea lui Ohm

Legi liniare în termodinamică

• relația dintre căldura dQ absorbită de un sistem de masă m și capacitatea de căldură la presiune constantă C p , în funcție de variația temperaturii dT
  dQ = m C p dT
• legea lui Charles
• Legea Gay-Lussac

Legile afine în chimie

Care este cea mai potrivită lege afină?

Pe lângă faptul că „reprezintă” bine comportamentul anumitor sisteme, legea afină este o lege ușor de manevrat. În special, este ușor de inversat . Atunci când efectuați calcule complexe, poate fi interesant să înlocuiți o funcție cu o funcție afină pentru a ajunge la un rezultat mai rapid și mai sigur. Acest rezultat poate fi luat ca atare sau poate fi folosit ca bază pentru un calcul mai precis.

Atunci când legea „reală” ƒ nu este clar rafinată, aceasta ridică întrebarea: ce lege rafină ƒ a fost folosită în locul legii actuale?

Răspunsul la această întrebare depinde de contextul calculului și de rezultatul scontat.

Dacă lucrăm pe o gamă întreagă [ x 1  ; x 2 ], atunci funcția afină adaptată va fi probabil regresia liniară a legii reale pe acest interval. Astfel, minimizăm abaterea pătratică dintre punctul real y = ƒ ( x ) și punctul aproximativ y a = ƒ a ( x ) (sau altfel x a = ƒ a -1 ( y )).

Dacă avem un „punct de operare” ( x 0 , ƒ ( x 0 )), va fi avantajos să lucrăm cu tangenta la curbă în acest punct: acest lucru face posibilă reducerea la minimum a diferenței absolute dintre punctul real și punct abordat. Prin urmare, ƒ a va fi expansiunea limitată de ordinul întâi a ƒ în x 0 .

Dacă, pe de altă parte, calculul constă în a ajunge la punctul de operare pornind de la un punct de plecare dat x d (de obicei x d = 0), va fi avantajos să luați cablul de conectare ( x d , ƒ ( x d ) ) la ( x 0 , ƒ ( x 0 )). Astfel, suntem siguri că calculele sunt apropiate de realitate în jurul punctelor de plecare și de sosire.