Scara logaritmică
O scară logaritmică este un sistem de gradare în progresie geometrică . Fiecare pas înmulțește valoarea cu o constantă pozitivă . Prin urmare, poziția pe axa unei valori este proporțională cu logaritmul acesteia .
O scară logaritmică este potrivită în special pentru contabilizarea ordinelor de mărime în aplicații. Arată într-un spațiu mic o gamă largă de valori, cu condiția să fie diferite de zero și de același semn.
Scalele logaritmice sunt utilizate fie pentru a efectua calcule analogice, fie pentru a prezenta rezultate pe grafice .
Definiție
Scara logaritmică plasează valori pe axa în creștere exponențială . Punctele separate de aceeași distanță reprezintă valori în același raport.
Scara logaritmică este definită numai pentru valori strict pozitive.
Compararea unei scări liniare și a unei scări logaritmice
Ilustrația de mai sus prezintă cele două tipuri de scale:
- Cu scala liniară , două gradații a căror diferență este 10 sunt la o distanță constantă.
- Cu scala logaritmică , două gradații al căror raport este 10 sunt la distanță constantă.
Pe scara logaritmică, numerele mari sunt comprimate, apropiate de 1 și ușor de reprezentat, în timp ce numerele mai mici de 1 sunt extinse și foarte repede revenite la infinit negativ.
Unități logaritmice
Uneori se folosesc unități logaritmice, adică a căror valoare este logaritmul raportului dintre două valori ale unei mărimi. Logaritmică bază aleasă depinde de obiceiurile de disciplina pe care le utilizează:
- logaritmul natural , a cărui bază este de zero , facilitează anumite calcule și se evaluează mai direct datorită seriei Taylor , dar nu permite accesul intuitiv la ordinul de mărime zecimal. Neper este logaritmul natural al raportului dintre două puteri.
- logaritmul zecimal (baza 10) oferă în mod direct o noțiune de ordinul mărimii, deoarece caracteristica , adică semnul și partea dinaintea virgulei, o dă direct. Citibilitatea sa îl face util în multe domenii ale tehnologiei , deși într-o formă modificată. Este folosit în statistici , iar în chimie definește pH - ul .
- Decibel , utilizate în mod obișnuit în telecomunicații , electronicii și acustică este definită ca fiind de 10 ori logaritmul zecimal al raportului dintre două puteri; dar dacă tabelele logaritmilor și ulterior, calculatoarele de buzunar nu ar fi dat acces mai ușor la logaritmul zecimal, am spune cu rigurozitate că decibelul este logaritmul de bază 10 0,1 (sau aproximativ 1,26) al relației dintre două puteri. Într-adevăr, acest multiplicator corespunde unui decibel.
- logaritmul de bază 2 este utilizat în calcul , cu biți și în muzică , cu octave .
- De asemenea, semiton a scalei călită în muzică, care este a douăsprezecea parte a unei octave, este logaritmul bază 2 1 ÷ 12 (sau circa 1,06) a frecvenței .
O scară liniară gradată într-o unitate logaritmică este echivalentă cu o scară logaritmică, din punctul de vedere al cantității luate în considerare.
Utilizare
Regula de diapozitive profită de proprietățile scară logaritmică pentru a permite multiplicarea.
Graficele în cadru semi-logaritmic sunt utilizate pentru a arăta evoluția cantităților dintre care una are o evoluție liniară (în general, variabila independentă pe axa x), iar cealaltă o evoluție exponențială.
Exemplu: evoluția prețului:În economie , valorile monedelor internaționale, stocurilor , mărfurilor și altor produse comerciale, supuse inflației prețurilor, sunt înscrise într-o scară logaritmică pe axa y, în timp ce timpul este înscris în axa y. Liniar pe x -axă.
Exemplu: Răspuns în frecvență:În electronică , răspunsul de frecvență al unui sistem, și în special al unui filtru , este reprezentat în general pe o diagramă semi-logaritmică, cu o scară logaritmică pentru frecvențele de pe abscisă și o scară liniară pe axa ordonată, gradată în decibeli , relativă la tensiunea obținută la o anumită frecvență (de exemplu, 1000 Hz ).
Deoarece decibelii sunt o unitate logaritmică, în ceea ce privește tensiunea electrică sau raporturile de tensiune , scara este, de asemenea, logaritmică, ceea ce permite, în Diagrama Bode , graficele asimptotice, în linii drepte.
Graficele în semn logaritmic de pe ambele axe sunt potrivite pentru dimensiuni, inclusiv variabila independentă, deoarece variabila dependentă poate lua valori extrem de diferite. Când una este proporțională cu cota celeilalte la o putere , graficul trasează o linie a cărei pantă este proporțională cu exponentul.
Construcție scară
Știm minim x min și maxime x max valorile care trebuie să fie reprezentate, iar lungimea L a scalei între aceste două valori.
Lungimea l corespunde unei înmulțiri cu r = x max ÷ x min .
Punctul plasat în mijloc este la aceeași distanță de x min și x max . Valoarea care corespunde punctului de mijloc este media geometrică a valorilor extreme .
În loc să calculăm acest pas cu pas, folosim proprietatea fundamentală a logaritmilor:
log ( a × b ) = log ( a ) + log ( b )Putem calcula rapoartele valorilor datorită funcției exponențiale , care este funcția reciprocă a funcției logaritmice.
Pentru a scala axa în funcție de nevoile dvs., puteți calcula raportul valorii pe unitate de lungime pe axă. Logaritmul progresiei pe unitatea de lungime este obținut printr-o împărțire simplă: log ( r ) ÷ l și valoarea progresiei este r 1 / l .
În acest fel, dacă împărțim distanța l în n segmente egale, raportul valorilor care corespunde fiecărui segment este r 1 / n . Lungimea totală, corespunzătoare diferenței dintre x min și x max , corespunde astfel bine unei înmulțiri cu r , în timp ce lungimea fiecărui segment corespunde unei înmulțiri cu aceeași cantitate.
Punctele la distanțe egale denotă valori în progresia geometrică .
Exemplu de construcție a unei scări logaritmice:
- Valoare minimă: 0,1
- Valoare maximă: 100
- deviație relativă: r = 100 ÷ 0,1 = 1000
- lungimea axei: 600 pixeli
Vrem să fie indicați multiplii de 10. Pentru raportul 1000, există trei înmulțiri cu 10, corespunzătoare a trei module de 600 ÷ 3 = 200 pixeli lungime.
În cadrul acestor module, dorim să indicăm locația fiecărei valori, de la 2 la 9.
- Înmulțirea cu 2 corespunde distanței dintre 0,1 și 0,2, 1 și 2, 10 și 20. Lungimea corespunzătoare se obține printr-o regulă de trei pe logaritmi:, care dă 60,2 pixeli.
- La fel, înmulțirea cu 3, dă 95,4 pixeli între 0,1 și 0,3, 1 și 3 și 10 și 30. Trebuie să rotunjim, evident.
- Multiplii lor se obțin cu ușurință: distanța dintre 1 și 4 este cea a două înmulțiri cu două, deci 120,4 pixeli; între 1 și 8, cea a trei înmulțiri cu două, adică 180,6; între 1 și 6 cea a unei înmulțiri cu trei și a unei înmulțiri cu doi, adică 95,4 + 60,2 = 155,6 pixeli; și între 1 și 9, cea a două înmulțiri cu 3, adică 190,8 pixeli.
- Gradarea 5 se obține cu ușurință: deoarece de două ori cinci este zece, lungimea de la 0,5 la 1, de la 5 la 10, de la 50 la 100, este de 60,2 pixeli (prin urmare, putem observa că înmulțirea cu 5 corespunde unei lungimi de 200 - 60,2 = 139,8 pixeli).
- Rămân doar 7 pentru a fi plasat, prin aceeași procedură de regulă a trei pe logaritmi.
- Lungimea acestor segmente este valabilă atât pentru înmulțiri, cât și pentru diviziuni.
- O deplasare de un pixel la dreapta corespunde unei creșteri a exp (log (1000) ÷ 600) ≈ 1.0115795
Fiecare dintre module este reprodus de trei ori, forma este invariabilă, doar legenda punctelor se schimbă.
Notă: Baza logaritmului în care se efectuează calculele este irelevantă.Construcție fără mașină de calculat
- 2 înmulțit de zece ori de la sine dă 1024. Există, prin urmare, până la cel mai apropiat 2%, de zece ori lungimea segmentului corespunzător înmulțirii cu 2 între cele două capete ale scalei de la 0,1 la 100 și, prin urmare, acest segment măsoară 600 ÷ 10 ≈ 60 pixeli. Cu această lungime, putem plasa 2, 4, 5 și 8 așa cum se arată mai sus.
- 7 × 7 este 49, sau 50 până la 2%. Lungimea pentru 100 este de două module de 200 pixeli, adică 400 pixeli, scădem lungimea pentru 2 deoarece este necesar să împărțim valoarea la doi, restul 339,8; iar valoarea pentru 7 este jumătate sau 169,9, care este rotunjită la 169, deoarece 7 × 7 este puțin mai mică de 50.
- 3 × 3 este 9. Știm lungimea care corespunde la 8, 3 × 60,2 = 180,6 pixeli, cea care corespunde la 10, 200 pixeli, lungimea corespunzătoare 9 este între cele două, (180,6 + 200) ÷ 2 = 190,3; cel corespunzător lui 3 este jumătate, care se rotunjește la 95.
Când o anumită valoare este luată ca referință (de exemplu, 1), distanța de la un punct care reprezintă un număr la cea care reprezintă acea valoare se numește coordonata sa logaritmică .
Vezi și tu
Articole similare
linkuri externe
- Planetariul Aix-en-Provence : Logaritmi
- (ro) Semi-log hârtie goală