Arc (mecanică elementară)

De izvoare sunt frecvent utilizate pentru predarea elementară a mecanicii . Suntem interesați în special de arcuri a căror alungire este proporțională cu forța la care sunt supuși. În cazul general, deformarea unui arc nu este proporțională cu stresul, dar acest caz particular prezintă interes educațional, deoarece permite un studiu simplu.

Acest model este, de asemenea, utilizat în modelarea comportamentului dinamic al solidelor și în special al tulpinilor: în sistemele care implică accelerații semnificative , tensiunea elastică a pieselor nu mai poate fi neglijată . Apoi se modelează frecvent un ansamblu rigid ( clasă de echivalență cinematică ) sub forma unui lanț masă-arc.

De obicei se folosește un arc de tensionare și uneori un arc de compresie sau un arc de torsiune .

Caz de arc de tensionare sau arc de compresie

Arcul are o lungime goală $l 0$ . Dacă vrem să-l alungim (arc de tensionare) sau să-l scurtăm (arc de compresie) cu o lungime $x$ numită alungire sau alungire , trebuie să exercităm două forțe egale și opuse la capetele sale; forța la un capăt este orientată în axa arcului și intensitatea sa este egală , unde $k$ este constanta proporționalității, numită „ constanta de rigiditate ” sau constantă de revenire a arcului, exprimată în newtoni pe metru ( N / m sau N m −1 ). ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ mathrm {ext}}}$ ${\ displaystyle \ | {\ vec {F}} _ {\ mathrm {ext}} \ | = F_ {ext} = k \, | x |}$

Conform principiului acțiunilor reciproce ( 3 e legea lui Newton ), forța exercitată de arc este: ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ mathrm {res}}}$

{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ mathrm {res}} = - {\ vec {F}} _ {\ mathrm {ext}}}

Alungirea $x$ este o lungime algebrică ; prin convenție, se ia pozitiv în cazul alungirii și negativ în cazul compresiei: lungimea finală a arcului merită . ${\ displaystyle l = l_ {0} + x}$

Prin convenție, intensitatea forței exercitate de arc este, de asemenea, o valoare algebrică , luată pozitiv în cazul compresiei și negativă în cazul tracțiunii. Prin urmare, avem în general: ${\ displaystyle F _ {\ mathrm {res}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ mathrm {res}}}$

{\ displaystyle F _ {\ mathrm {res}} = - k \, x}

În acest studiu elementar, nu distingem arcul de tensiune de arcul de compresie, în timp ce din punct de vedere tehnologic cele două sunt destul de distincte. Prin urmare, lucrăm cu următoarele ipoteze:

în spirele nu sunt învecinate;
nu există risipă de energie (forța este conservatoare );
unul rămâne într-un câmp în care răspunsul este întotdeauna liniar (tensiunea este limitată).

Lucrarea forței externe de a trece de la o alungire zero la o alungire $X$ este

{\ displaystyle W _ {{\ vec {F}} _ {\ mathrm {ext}}} = \ int _ {0} ^ {X} -F _ {\ mathrm {ext}} \, \ mathrm {d} x = - \ int _ {0} ^ {X} k \, x \, \ mathrm {d} x}

de unde :

{\ displaystyle W _ {{\ vec {F}} _ {\ mathrm {ext}}} = - {\ frac {1} {2}} \, k \, X ^ {2}}

Putem astfel defini energia potențială elastică $E pe$ a unui arc de extensie $X$ :

{\ displaystyle E_ {pe} = {\ frac {1} {2}} \, k \, X ^ {2}}

Studiu de primăvară și balistică

Luăm adesea cazul unei mingi propulsate de un arc; în acest caz este un arc de compresie (cu viraje necontinue). Dacă fricțiunea este neglijată, acest sistem face posibilă notarea conservării energiei mecanice , ceea ce face posibilă determinarea vitezei mingii la ieșirea din arc, apoi efectuarea studiului clasic de cădere liberă .

Pendul greu

Pendulul grea este un arc de tracțiune la capătul care este atașată o masă; când sistemul este în repaus (masa este staționară în cadrul de referință al laboratorului), arcul are o alungire diferită de zero, virajele nu sunt contigue. În comparație cu această poziție de repaus, putem deci întinde sau comprima sistemul (dar arcul va rămâne în tensiune).

Dacă tragem masa în jos și apoi o lăsăm, sistemul va oscila. Acest lucru face posibilă abordarea oscilațiilor armonice și a ecuațiilor diferențiale care permit acest studiu.

O tensiune periodică poate fi plasată în partea superioară a arcului, de exemplu un sistem rotativ cu manivelă care impune o forță a cărei intensitate variază în timp în conformitate cu o lege sinusoidală . Putem astfel studia oscilațiile forțate .

Putem scufunda masa într-un recipient cu apă pentru a crește fricțiunea și a studia astfel oscilațiile amortizate sau oscilațiile forțate cu disipare.

Carcasă cu arc de torsiune

Răsucirea unui fir este frecvent studiată ; luăm firul vertical pentru a nu trebui să ținem cont de greutate . Atâta timp cât tensiunea rămâne redusă, cuplul $Γ$ care trebuie aplicat este proporțional cu unghiul de torsiune $θ$ :

{\ displaystyle \ Gamma = -C \, \ theta}

unde $C$ este rigiditatea arcului.

Putem folosi acest sistem pentru a studia forțele electrostatice ( echilibrul de torsiune ) sau oscilațiile ( pendulul de torsiune ). Este, de asemenea, un echilibru de torsiune care a făcut posibilă determinarea constantei universale a gravitației ( experimentul Cavendish ).

Este, de asemenea, modelul pentru o serie de dispozitive, cum ar fi așa- numitul ampermetru „balistic” .

Modelul de deformare dinamică a unui mecanism

Un mecanism este un ansamblu de piese, dintre care mai multe sunt în mișcare. Această mișcare este creată datorită unui efort ( principiul fundamental al dinamicii ), iar acest efort este variabil (deoarece mișcarea are un început și un sfârșit). Prin urmare, piesele vor suferi acțiuni mecanice de intensitate variabilă și, prin urmare, deformarea lor elastică va varia.

Pentru a studia influența acestor deformări elastice și, în special, schimbarea de fază (întârziere între legea de intrare și legea de ieșire) și vibrațiile, fiecare parte este înlocuită frecvent cu un sistem cu arc de masă. Prin urmare, alegem un arc echivalent:

se selectează modul principal de deformare a piesei;
din acesta se deduce un tip de arc (tracțiune / compresie, îndoire, torsiune);
se determină rigiditatea acestuia, prin încercare mecanică sau prin calcul prin elemente finite .

Vezi și tu