Curbura unui arc

În studiul metric al curbelor în plan și spațiu , curbura măsoară cât de departe o curbă sau un arc geometric se îndepărtează local de o linie dreaptă. Evaluează raportul dintre variația direcției tangentei la curbă și deplasarea unei lungimi infinitesimale pe aceasta: cu cât acest raport este mai important, cu atât este mai importantă curbura. În limbajul pictural, curbura indică cât de mult trebuie rotit volanul unei mașini pentru a intra într-un viraj (volanul a fost rotit moderat pentru o curbură slabă și brusc pentru o curbură puternică).

Mai exact, dacă $Γ$ este o curbă regulată din clasa $C k$ cu $k \geq 2$ - adică o curbă parametrizată de o funcție diferențiată cel puțin de două ori, a cărei primă derivată nu este niciodată zero și a cărei secundă derivată este continuă - știm că $Γ$ are local o parametrizarea normală, adică în vecinătatea unui punct M, există o funcție $g$ parametrizarea $Γ$ și astfel încât $|| g '|| = 1$ . Dacă $g ( s ) = M$ , curbura lui $Γ$ în punctul M este: ${\ displaystyle \ gamma = || g '' (s) ||}$

Dacă curbura din punctul M este diferită de zero, inversul său dă raza cercului osculant , adică raza cercului cel mai apropiat de curba din punctul M.

În cazul unei curbe plane orientate, într-un plan orientat, putem defini o curbură algebrică , care indică nu numai intensitatea curburii, ci și direcția acesteia. Pentru a relua imaginea drumului, într-un plan orientat în direcția trigonometrică, o curbură algebrică pozitivă indică faptul că este necesar să rotiți volanul spre stânga pentru a vă apropia de cot. Curbura algebrică este legată de orientarea curbei, adică direcția de deplasare a acesteia: dacă pentru un șofer, este necesar să se întoarcă la stânga pentru a se apropia de o curbă, pentru mașinile care circulă în direcția opusă, este necesar să se facă dreapta pentru a intra în aceeași curbă.

Dacă $g$ este o parametrizare normală a lui $Γ$ , pentru toate $s$ , există un vector unitate $n ( s )$ astfel încât $( g '( s ), n ( s ))$ este o bază ortonormală directă a planului și există un real funcționează $γ$ astfel încât, pentru toate $s$ , $g "(s) = γ ( s ) n ( s )$ . Valoarea $γ ( s )$ este curbura algebrică a arcului îndreptată către punctul $M = g ( s )$

Valoarea absolută a curburii algebrice dă curbura geometrică.

În cazul unei curbe stângi (adică nu plane), nu este posibil să se definească o curbură algebrică.

Abordarea geometriei elementare

În timpul mișcării unui punct mobil, este posibil să se urmărească evoluția tangentei folosind unghiul $α$ realizat de această tangentă cu o direcție fixă. Curbura măsoară variația unghiului $α în$ raport cu lungimea parcursă. Exemplul cercului, care poate fi tratat printr-un argument de geometrie elementară, servește ca model pentru a introduce curbura unei mișcări mai complexe, a unui grafic sau a unui arc parametrizat.

Cerc de caz

În timpul oricărei mișcări pe un cerc de rază R, lungimea parcursă este $Δ S$ , schimbarea direcției tangențelor este măsurată de unghiul $Δ α$ dintre tangențele de la punctul de pornire și la punctul final. Acest unghi este unghiul din centrul dintre punctul final și punctul de pornire. Avem astfel relația: $Δ α = Δ S / R$ Raportul $Δ α / Δ S$ este constantă și egală cu 1 / R. Este independent de punctele de început și de sfârșit, dar și de modul de traseu ( mișcare uniformă sau nu). Aceasta se numește curbura cercului. Cu cât raza este mai mare, cu atât această curbură este mai mică.

Ideea este de a considera o curbă locală ca un cerc și de a găsi limita raportului anterior pentru o deplasare infinit de mică pe curbă.

Cazul graficului unei funcții

Luați în considerare un plan prevăzut cu un sistem de coordonate ortonormale (0, x , y ) și un arc definit ca graficul unei funcții ƒ, adică definit prin ecuația y = ƒ ( x ).

Dacă acest arc este „suficient de neted”, atunci admite în orice punct x o tangentă, iar panta tangentei este derivata în acest punct, ƒ '( x ).

Dacă acest arc este o linie, tangenta este aceeași peste tot, ƒ 'este constantă. Dacă acest arc are o curbură diferită de zero, se datorează faptului că se abate de la noțiunea de linie dreaptă: derivata sa variază. Intuitiv, vedem că cu cât arcul este mai curbat, cu atât derivatul „variază rapid”.

Putem astfel lega curbura de variația derivatei și, prin urmare, de a doua derivată .

Dacă se urmărește cuantificarea acestei curburi, trebuie să fie interesat de variațiile infinitezimale ale unghiului tangențelor și ale lungimii arcului. Tangenta curbei face un unghi $α ( x ) = arctan ( f '( x ))$ cu axa abscisei . Pentru o variație infinitesimală $d x$ , obținem

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ alpha (x) = {\ frac {f '' (x)} {1 + f '^ {2} (x)}} \ mathrm {d} x}$
${\ displaystyle \ mathrm {d} s (x) = {\ sqrt {1 + f '^ {2} (x)}} \ mathrm {d} x}$

Curbura algebrică este apoi dată de raportul acestor două variații

${\ displaystyle \ gamma (x) = {\ frac {f '' (x)} {(1 + f '^ {2} (x)) ^ {3/2}}}}$

Noțiunea de „suficient de netedă” este înșelătoare. Luați în considerare curba inferioară opusă. Derivata sa este curba de mijloc, o curbă din dinte de ferăstrău. A doua sa derivată este curba superioară, o undă pătrată . Vedem că local - la x = 1, x = 2, ... - nu putem defini o a doua derivată, deoarece aceasta valorează -1 pe o parte și +1 pe cealaltă parte a punctului. Local, arcul are deci o curbură nedefinită.

Curbura algebrică a unui arc plan orientat

Luați în considerare un arc de clasă parametrizat în planul euclidian orientat , presupus a fi regulat (cu un vector derivat care nu este niciodată zero). Putem alege o origine și să luăm ca parametru abscisa curbiliniară corespunzătoare. Aceasta este o setare normală (viteza este de standard constant egal cu 1), ceea ce face posibilă definirea cu ușurință a sistemului de coordonate Frenet : ${\ mathcal {C}} ^ {2}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ $s$ ${\ vec {M}} (s)$

origine: punct ${\ vec {M}} (s)$
primul vector: vectorul tangent unitar , ${\ vec {T}} (s) = {\ frac {{\ mathrm {d}} {\ vec {M}}} {{\ mathrm {d}} s}} (s)$
al doilea vector normal de unitate, completând primul pe o bază ortonormală directă ${\ vec {N}} (s)$

Curbura introdusă din accelerație

Vectorul tangent unitar având o normă constantă, se dovedește că derivata sa este întotdeauna ortogonală pentru el:

\ forall s \ in I, \ \ | {\ vec {T}} (s) \ | ^ {2} \ = \ 1 \ quad \ Rightarrow \ quad \ forall s \ in I, \ {\ frac {{\ mathrm {d}} {\ vec {T}}} {{\ mathrm {d}} s}} (s) \ \ cdot \ {\ vec {T}} (s) \ = \ 0.

Există deci o funcție γ, numită curbură algebrică , astfel încât

{\ frac {{\ mathrm {d}} {\ vec {T}} (s)} {{\ mathrm {d}} s}} \ = \ \ gamma (s) \ {\ vec {N}} ( s) = {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {2} {\ vec {M}}} {{\ mathrm {d}} s ^ {2}}} (s).

În parametrizarea normală, vectorul de accelerație este deci normal (coliniar cu vectorul normal al unității), iar curbura este coordonata acestuia în funcție de vectorul normal al unității.

Semnul curburii informează despre concavitatea curbei, adică semiplanul de margine al tangentei și care conține local curba. Dacă curbura este strict pozitivă, al doilea vector al bazei lui Frenet indică concavitatea curbei, dacă curbura este strict negativă, este opusul celui de-al doilea vector care indică concavitatea curbei.

Caz de orice setare

În orice setare, curbura poate fi obținută și din viteză și accelerație prin formulă

\ gamma (t) = {\ frac {\ det \ left ({\ frac {{\ mathrm {d}} {\ vec {M}}} {{\ mathrm {d}} t}} (t), { \ frac {{\ mathrm {d}} ^ {2} {\ vec {M}}} {{\ mathrm {d}} t ^ {2}}} (t) \ right)} {\ left \ | { \ frac {{\ mathrm {d}} {\ vec {M}}} {{\ mathrm {d}} t}} (t) \ right \ | ^ {3}}}

(unde $det$ reprezintă produsul mixt ).

Această formulă arată că un punct este biregular dacă curbura în acest punct este diferită de zero.

Curbura văzută ca viteză de rotație a cadrului de referință Frenet

Pentru a determina complet vectorii bazei Frenet, este suficient un parametru unghiular α, care este mai formal rulmentul unghiular și care poate fi întotdeauna definit pentru o curbă suficient de regulată, oferind unghiul dintre T și primul vector al bazei fixe ( vectorul abscisei)

\ alpha = \ widehat {(i, T)} \ qquad {\ hbox {or still}} \ qquad T = {\ begin {pmatrix} \ cos \ alpha \\\ sin \ alpha \ end {pmatrix}} \ qquad N = {\ begin {pmatrix} - \ sin \ alpha \\\ cos \ alpha \ end {pmatrix}}

Prin urmare, acest parametru α este interpretat ca unghiul format de baza Frenet cu o direcție fixă.

Apoi este judicios să luăm unghiul α pentru parametru și să derivăm elementele sistemului de coordonate Frénet în comparație cu α. În matematică cel puțin, este necesară validarea acestei operații. Arătăm că, dacă arcul este biregular (adică primul și al doilea vector derivat nu sunt niciodată coliniari), este posibil să facem din unghiul α o funcție regulată care să revină în circulație a arcului și deci să se diferențieze față de α. Discuția corespunzătoare poate fi găsită în articolul despre teorema ridicării .

În această setare, vectorul N este obținut fie prin efectuarea unei rotații de (sfert de tură în direcția directă), fie prin adăugarea la α, sau chiar prin diferențiere față de α $\ frac \ pi {2}$ $\ frac \ pi {2}$

N = {\ begin {pmatrix} - \ sin \ alpha \\\ cos \ alpha \ end {pmatrix}} = {\ frac {{\ mathrm {d}} T} {{\ mathrm {d}} \ alpha} } \ qquad T = - {\ frac {{\ mathrm {d}} N} {{\ mathrm {d}} \ alpha}}

Formulele de derivare ale vectorilor T și N în raport cu α sunt strict identice cu formulele de derivare ale bazei mobile în coordonate polare , deoarece este exact aceeași situație.

Curbura γ merită atunci

\ gamma = {\ frac {{\ mathrm {d}} \ alpha} {{\ mathrm {d}} s}}

Prin urmare, este viteza de rotație a bazei Frenet în comparație cu o direcție fixă (din nou, în setarea parametrilor normali).

Introducere geometrică

Cele dimensionale analiză arată că pentru o problemă cinematic, γ este omogenă cu inversul lungime. Prin urmare, introducem frecvent raza de curbură (algebrică)

R = {\ frac 1 \ gamma} = {\ frac {{\ mathrm {d}} s} {{\ mathrm {d}} \ alpha}}

Pentru a înțelege semnificația acestei cantități, este interesant să examinăm cazul particular al unui cerc

{\ begin {cases} x (t) = r \ cos t \\ y (t) = r \ sin t \ end {cases}}

Aplicarea formulei de calcul a curburii dă R = r .

Mai general, pentru orice biregular arc la punctul P al curbilinie abscisa s , se arată că există un singur cerc care „ se potrivește cu această curbă cât mai bine posibil “ , într - un cartier de P : a cercului osculating . Este tangentă la curba în P și raza sa este egală cu valoarea absolută a razei de curbură. ${\ mathcal {C}} ^ {2}$

Infasurarea descrie curbura mai multor arce conectate cu puncte de inflexiune .

Reveniți la curbura pozitivă

Convenția aleasă anterior face curbura și raza curburii mărimi algebrice. Dacă luăm următoarele convenții:

raza de curbură este raza cercului oscilant, este întotdeauna pozitivă
curbura este inversă, este întotdeauna pozitivă
vectorul este un vector unitar normal la curba din punct , orientat spre centrul cercului oscilant. ${\ vec {N}} (s)$ $M$

Dacă curbura algebrică este pozitivă, ne întoarcem exact la convențiile anterioare. În caz contrar, curbura și raza de curbură sunt valorile absolute ale convențiilor algebrice, iar vectorul unitar normal este opusul convenției algebrice. Baza construită nu mai este neapărat o bază directă. Cu toate acestea, găsim formula

{\ frac {{\ mathrm {d}} {\ vec T}} {{\ mathrm {d}} s}} = \ gamma {\ vec N}

Cu această convenție, vectorul normal al unității indică direcția spre care se întoarce concavitatea curbei. Această convenție are sens numai dacă curbura este diferită de zero. În caz contrar, vectorul normal al unității nu este definit.

Formule

Mod definiție	Parametrul și identificarea punctului M	Funcția de curbură algebrică
Grafic	${\ displaystyle (x, f (x)) \,}$	${\ displaystyle {\ frac {f ''} {\ left (1 + f '^ {2} \ right) ^ {3/2}}}}$
Parametric	${\ displaystyle (x (t), y (t)) \,}$	${\ displaystyle {\ frac {x'y '' - y'x ''} {\ left (x '^ {2} + y' ^ {2} \ right) ^ {3/2}}}}$
Polar parametrizat	${\ displaystyle [\ rho (t); \ theta (t)] \,}$	${\ displaystyle {\ frac {\ rho \ rho '\ theta' '+2 \ rho' ^ {2} \ theta '- \ rho \ rho' '\ theta' + \ rho ^ {2} \ theta '^ { 3}} {\ left (\ rho '^ {2} + \ rho ^ {2} \ theta' ^ {2} \ right) ^ {3/2}}}}$
Polar	${\ displaystyle [\ rho (\ theta); \ theta] \,}$	${\ displaystyle {\ frac {2 \ rho '^ {2} + \ rho ^ {2} - \ rho \ rho' '} {\ left (\ rho' ^ {2} + \ rho ^ {2} \ right ) ^ {3/2}}}}$
Implicit	$F (x, y) = 0 \,$	${\ vec \ nabla} \ cdot \ left ({\ frac {{\ vec \ nabla} F} {\ \| {\ vec \ nabla} F \ \|}} \ right)$ ( Divergență a normalizat gradientului )

Curbura unui arc stâng

Definiție generală

Luați în considerare un arc de clasă parametrizat în spațiul euclidian orientat , presupus a fi regulat ; se poate lua din nou pentru parametru abscisa curbiliniară și, în acest punct , se poate defini vectorul tangent unitar . Cu toate acestea, în spațiu, există un număr infinit de vectori unitari ortogonali față de vectorul unitar tangent. Ideea este de a alege unul care să aibă aceeași direcție ca , un vector despre care știm că este ortogonal față de primul și că va fi suficient să îl împărțim la norma sa pentru a-l face unitar. ${\ mathcal {C}} ^ {2}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ ${\ vec {M}} (s)$ ${\ vec {T}} (s) = {\ frac {{\ mathrm {d}} {\ vec {M}}} {{\ mathrm {d}} s}} (s)$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {T}} (s)} {\ mathrm {d} s}}}$

Definiți curbura la punctul respectiv ${\ vec {M}} (s)$ ${\ displaystyle \ gamma (s) = \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {T}} (s)} {\ mathrm {d} s}} \ right \ | = \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ vec {M}}} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} (s) \ right \ |}$

Dacă curba este bi-regulată, curbura este diferită de zero. Putem apoi defini al doilea vector al bazei Frenet ca: ${\ displaystyle {\ vec {N}} (s) = {\ frac {1} {\ gamma (s)}} {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {T}} (s)} {\ mathrm {d} s}}}$

Raza de curbură este apoi egală cu inversa curburii.

Calcul pentru orice setare

În practică, dacă luăm în considerare o curbă parametrizată , curbura este norma vectorului , unde este definită abscisa curbilinie de , unde denotăm și . ${\ mathbf {r}} (t)$ ${\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {2} {\ mathbf {r}}} {{\ mathrm {d}} s ^ {2}}}$ $s$ $s (t) \ triangleq \ int _ {{\ tau = t_ {0}}} ^ {{\ tau = t}} \ left \ | {\ dot {{\ mathbf {r}}}} (\ tau) \ right \ | {\ mathrm {d}} \ tau$ ${\ dot {{\ mathbf {r}}}} (t) \ triangleq {\ frac {{\ mathrm {d}} {\ mathbf {r}}} {{\ mathrm {d}} t}} (t )$ ${\ ddot {{\ mathbf {r}}}} (t) \ triangleq {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {2} {\ mathbf {r}}} {{\ mathrm {d}} t ^ {2}}} (t)$

Prin urmare, problema se reduce la calcularea : ${\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {2} {\ mathbf {r}}} {{\ mathrm {d}} s ^ {2}}}$

${\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {2} {\ mathbf {r}}} {{\ mathrm {d}} s ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ left \ | {\ dot {{\ mathbf {r}}}} (t) \ right \ | ^ {2}}} \ left ({\ ddot {{\ mathbf {r}}}} (t) - {\ frac { {\ dot {{\ mathbf {r}}}} (t)} {\ left \ | {\ dot {{\ mathbf {r}}}} (t) \ right \ |}} {\ frac {{\ mathrm {d}} \ left \ | {\ dot {{\ mathbf {r}}}} (t) \ right \ |} {{\ mathrm {d}} t}} \ right)$

De asemenea, putem scrie această formulă după cum urmează:

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} (t) = {\ frac {1} {\ left \ | {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ right \ | ^ {2}}} \ left ({\ ddot {\ mathbf {r}}} (t) - {\ frac {\ langle {\ punct {\ mathbf {r}}} (t) \ mid {\ ddot {\ mathbf {r}}} (t) \ rangle} {\ left \ | {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ right \ | ^ {2}}} {\ dot {\ mathbf {r} (t)}} \ right)}$

unde denotă produsul punct între un vector și un vector . $\ langle {\ mathbf {a}} \ mid {\ mathbf {b}} \ rangle$ ${\ mathbf {a}}$ $\ mathbf {b}$

Dacă observăm

${\ displaystyle {\ vec {V}} _ {m} = {\ frac {1} {\ left \ | {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ right \ | ^ {2}}} {\ ddot {\ mathbf {r}}} (t)}$
${\ displaystyle {\ vec {T}} _ {m} = {\ frac {1} {\ left \ | {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ right \ |}} {\ dot { \ mathbf {r}}} (t)}$ (vectorul unitar al tangentei)

Formula este scrisă: ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} = {\ vec {V}} _ {m} - \ langle {\ vec {V}} _ {m} \ mid {\ vec {T}} _ {m} \ rangle {\ vec {T}} _ {m}.}$

Acest lucru face ca proiecția ortogonală din hiperplan să fie ortogonală față de vector . ${\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {2} {\ mathbf {r}}} {{\ mathrm {d}} s ^ {2}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {V}} _ {m}}$ ${\ displaystyle {\ vec {T}} _ {m}}$

Teorema lui Pitagora face posibilă determinarea curburii: ${\ displaystyle \ gamma _ {m} = {\ sqrt {{\ vec {V}} _ {m} ^ {2} - \ langle {\ vec {V}} _ {m} \ mid {\ vec {T }} _ {m} \ rangle ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {{\ ddot {\ mathbf {r}}} ^ {2} (t) {\ dot {\ mathbf {r}} } ^ {2} (t) - \ langle {\ ddot {\ mathbf {r}}} (t) \ mid {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ rangle ^ {2}}} { \ left \ | {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ right \ | ^ {3}}}.}$ În dimensiunea a treia, curbura poate fi exprimată prin următoarea formulă:

${\ displaystyle \ gamma _ {m} = {\ frac {\ left \ | {\ ddot {r}} (t) \ wedge {\ dot {r}} (t) \ right \ |} {\ left \ | {\ dot {r}} (t) \ right \ | ^ {3}}}}$

Cazul unei curbe trasate pe o suprafață

În orice punct M al unei suprafețe parametrizate regulat Σ , într-un spațiu orientat, se poate defini un vector normal la suprafață . Pentru un arc parametric clasic și regulat , inclus în suprafața Σ; putem lua din nou ca parametru abscisa curbiliniară și, la acest punct , putem defini ${\ displaystyle {\ vec {n}} _ {m}}$ ${\ mathcal {C}} ^ {2}$ ${\ displaystyle {M} (s)}$

vectorul normal la suprafață: ${\ displaystyle {\ vec {n}} (s)}$
tangent vectorul unitate: . ${\ vec {T}} (s) = {\ frac {{\ mathrm {d}} {\ vec {M}}} {{\ mathrm {d}} s}} (s)$
un al treilea vector unitate formând împreună cu ceilalți doi o bază ortonormală directă: ${\ displaystyle {\ vec {g}} (s) = {\ vec {n}} (s) \ wedge {\ vec {T}} (s)}$

Sistemul de coordonate este sistemul de coordonate Darboux al curbei la punctul M (s). ${\ displaystyle (M (s); {\ vec {T}} (s), {\ vec {g}} (s), {\ vec {n}} (s))}$

Vectorul , ortogonal la , este apoi o combinație liniară dintre și . Prin urmare, există două funcții $γ$ $g$ și $γ$ $n$ , respectiv numite curbură geodezică și curbură normală, astfel încât ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {T}} (s)} {\ mathrm {d} s}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {T}} (s)}$ ${\ displaystyle {\ vec {g}} (s)}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}} (s)}$

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {T}} (s)} {\ mathrm {d} s}} \ = \ \ gamma _ {g} (s) \ {\ vec {g }} (s) + \ \ gamma _ {n} (s) \ {\ vec {n}} (s)}

Curbura arcului din punctul M este dată de: ${\ displaystyle \ gamma (s) = {\ sqrt {\ gamma _ {g} ^ {2} (s) + \ gamma _ {n} ^ {2} (s)}}}$

Pe lângă curbura geometrică, sistemul de coordonate Darboux oferă și două curburi algebrice: una în direcția normală la suprafață, cealaltă într-o direcție situată în planul tangent la suprafață și normală la tangenta la curbă. Pentru a lua exemplul drumului trasat în munți pe suprafața Pământului orientat de un vector opus atracției terestre, curbura geodezică $γ g$ definește amplitudinea curburii în planul tangent la suprafață, c 'adică , amplitudinea la care să se rotească volanul, semnul său continuă să indice în ce direcție să se întoarcă volanul (spre stânga pentru un semn pozitiv).

Note și referințe

Johann Colombano, „ Vizualizarea curburii. De la raza de curbură la tensorul Riemann ”, images.math.cnrs.fr ,14 iunie 2017( citește online )
Patrice Tauvel, Geometry: Aggregation. Al 2- lea ciclu / Master , Paris, Dunod, col. „Științe Sup”,2005, 532 p. ( ISBN 2-10-049413-9 ), p. 359 .
Pierre Lecomte, Curbe și suprafețe , Universitatea din Liège, Departamentul de matematică, p. 36
Pierre Lecomte, Curbe și suprafețe , Universitatea din Liège, Departamentul de matematică, p. 35
Tauvel 2005 , p. 360
Jacqueline Lelong-Ferrand și Jean-Marie Arnaudiès , Geometrie și cinematică , Paris, Dunod,1977( ISBN 2-04-003080-8 ) p. 330
Lelong-Ferrand și Arnaudiès 1977 , p. 331
Tauvel 2005 , p. 354
Laurent Bessières, Cursul N1MA6011: Geometrie diferențială , Institutul de matematică din Bordeaux, anul 2013/2014, p. 10 .
Pierre-Antoine Guihéneuf, Studii metrice ale curbelor , Universitatea Paris Sud, p. 3