Logica algebrică

În logica matematică , logica algebrică este raționamentul obținut prin manipularea ecuațiilor cu variabile libere .

Ceea ce se numește acum, în general, logică algebrică clasică se concentrează pe identificarea și descrierea algebrică a modelelor adecvate studiului diferitelor logici (sub formă de clase de algebre care constituie semantica algebrică a acestor sisteme deductive ) și probleme conexe, cum ar fi reprezentarea și dualitate.

Algebrele ca modele de logică

Logica algebrică tratează structurile algebrice și rețelele ca modele (interpretări) ale anumitor logici .

În logica algebrică:

Variabilele sunt cuantificate în mod tacit universal într-un univers al discursului . Nu există variabile cuantificate existențial sau formule deschise;
Cele Cuvintele sunt construite din variabile folosind operațiunile primitivele și definite. Nu există conectori ;
Cele formule , construite din cuvinte, pot fi tratate în cazul în care acestea sunt în mod logic echivalente ;
The modus ponens este valid, dar este rar folosit.

În tabelul de mai jos, coloana din stânga conține unul sau mai multe sisteme logice sau matematice, iar structura algebrică este afișată în dreapta tabelelor.

Formalismele algebrice care depășesc logica de ordinul întâi includ:

Logica combinatorie având puterea expresivă a teoriei multimilor ;
Relațională algebra , logica algebrică , probabil , paradigmatică , care poate exprima aritmetica Peano și teoriile de seturi axiomatice, inclusiv CFZ canonică.

Sistem logic	Algebra sa de Lindenbaum
Calcul propozițional clasic	Algebra booleană
Logică propozițională intuitivă	Heyting Algebra
Logica lui Łukasiewicz	Algebra-MV
Logica modală K	Algebră modală
S4	Algebra interioară
S5 ; Calculul predicatelor monadice	Algebra booleană monadică
Logică de ordinul întâi	Algebra booleană completă Algebra poliadică
Logică de ordinul întâi cu egalități	Algebra cilindrică
Teoria mulțimilor	Logica combinatorie Algebra relațională

Istorie

Logica algebrică este, probabil, cea mai veche abordare a logicii formale , și , probabil , a apărut în unele note care Leibniz a scris în 1680, dintre care unele au fost publicate în XIX - lea secol și traduse în limba engleză de către Clarence Lewis în 1918. Dar aproape toate lucrările cunoscute despre logica algebrică a lui Leibniz au fost publicate abia în 1903 după ce Louis Couturat a descoperit Nachlass-ul lui Leibniz.

Brady (2000) a examinat bogatele legături istorice dintre logica algebrică și teoria modelelor . Fondatorii teoriei modelelor, Ernst Schröder și Leopold Löwenheim , au fost logicieni. Alfred Tarski , fondatorul teoriei modelelor , o ramură importantă a logicii matematice contemporane, dar și:

Am descoperit în același timp Lindenbaum - Tarski agbre;
Algebră cilindrică inventată;
Scrie articolul din 1941 care a reînviat algebra relațională, care poate fi considerată punctul de plecare al logicii algebrice abstracte.

Logica matematică modernă a început în 1847, cu două broșuri scrise de Auguste De Morgan și , respectiv, George Boole . Aceștia, și mai târziu CS Peirce , Hugh MacColl , Frege , Peano , Bertrand Russell și AN Whitehead au împărtășit visul lui Leibniz de a combina logica simbolică , matematica și filosofia . Algebra relațională este, fără îndoială, punctul culminant al abordării logice a lui Leibniz. Cu excepția câtorva scrieri ale lui Leopold Loewenheim și Thoralf Skolem , logica algebrică a căzut în umbră la scurt timp după publicarea Principia Mathematica (1910-1913), urmând să fie relansată în 1941 odată cu re-expunerea algebrei relaționale Tarski.

Leibniz nu a avut nicio influență asupra creșterii logicii algebrice, deoarece scrierile sale logice erau puțin studiate înainte de traducerile Parkinson și Loemker. Pentru a vedea cum activitatea curentă în logică și metafizică s- a inspirat din gândirea lui Leibniz, vezi Zalta (2000) .

Vezi și tu

Referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „ Algebraic logic ” ( vezi lista autorilor ) .

JSTOR : 3094793

Lecturi suplimentare

J. Michael Dunn și Gary M. Hardegree, Metode algebrice în logică filosofică , Oxford University Press ,2001, 470 p. ( ISBN 978-0-19-853192-0 )Introducere bună pentru cititorii cu expunere prealabilă la logici non-clasice, dar fără prea multă experiență în teoria ordinii și / sau algebra universală; cartea acoperă pe larg aceste condiții prealabile. Cu toate acestea, această carte a fost criticată pentru prezentarea slabă și uneori incorectă a rezultatelor AAL. Recenzie de Janusz Czelakowski
Hajnal Andréka, István Németi și Ildikó Sain, Manual de logică filosofică, vol. 2 , Springer,2001( ISBN 978-0-7923-7126-7 ) , „Logică algebrică” proiect
Willard Quine , 1976, „Algebraic Logic and Predicate Functors” în The Ways of Paradox . Universitatea Harvard. Presă: 283-307.

Perspectiva istorica

Burris, Stanley, 2009. The Algebra of Logic Tradition . Enciclopedia Stanford a filosofiei .
Brady, Geraldine, 2000. De la Peirce la Skolem: un capitol neglijat în istoria logicii . North-Holland / Elsevier Science BV: pagina de catalog , Amsterdam, Olanda, 625 de pagini.
Ivor Grattan-Guinness , 2000. Căutarea rădăcinilor matematice . Princeton University Press.
Lenzen, Wolfgang, 2004, „ Logica lui Leibniz ” în Gabbay, D., și Woods, J., eds., Handbook of the History of Logic, Vol. 3: Ascensiunea logicii moderne de la Leibniz la Frege . Olanda de Nord: 1-84.
Roger Maddux, 1991, "Originea algebrelor relației în dezvoltarea și axiomatizarea calculului relațiilor" Studia Logica 50 : 421-55.
Loemker, Leroy (1969 (1956)), Leibniz: Philosophical Papers and Letters , Reidel. Verificați valorile datei în: |date=(ajutor)
Parkinson, GHR, 1966. Leibniz: Lucrări logice. Presa Universitatii Oxford.
Zalta, EN, 2000, „ A (Leibnizian) Theory of Concepts ”, Philosophiegeschichte und logische Analyze / Logical Analysis and History of Philosophy 3: 137-183.