Acțiune (fizică)

Acțiune Pe toate traiectoriile viitoare posibile, cea urmată de sistem este cea pentru care acțiunea este extremă (adică minimă sau maximă). Date esentiale

Unități SI	al doilea joule
Dimensiune	M · L 2 · T -1
Natură	Dimensiune scalară extinsă
Simbol obișnuit	${\ mathcal {S}}$

Cota , de obicei , notate mai rar , este o magnitudine fundamentală de Fizică Teoretică , având dimensiunea de energie înmulțită cu o lungime , sau cantitatea de mișcare înmulțită cu o distanță . ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {A}}$

Această magnitudine a fost definită de Leibniz în 1690. S-a dovedit a fi de mare importanță datorită, mai întâi, principiului celei mai mici acțiuni introdus de Maupertuis în 1744 și apoi, descoperirii de către Planck în 1900 a constantei care îi poartă numele. și care a fost numită și „cuantică de acțiune” în cadrul teoriei cuantelor (1900-1925). În această teorie, acțiunea corpusculilor sau a particulelor elementare părea să varieze discontinuu, corespunzând întotdeauna unui număr întreg al acestor „cuante de acțiune”.

Spre deosebire de energie, care este relativă la viteză, acțiunea este o unitate universală și un invariant relativist .

Caracterizând global starea unui sistem și evoluția acestuia, este o mărime funcțională , care ia ca argument traiectoria sistemului și o descrie global printr-un scalar . Evoluția sistemului respectă principiul celei mai mici acțiuni , ceea ce face posibilă determinarea în fiecare punct al traiectoriei a ecuației mișcării care guvernează viitorul acestui sistem.

Impuls are aceeași dimensiune ca acțiune, dar este o mărime vectorială .

Definiție

Există mai multe moduri comune de definire a acțiunii în fizică. Acțiunea este, în general, o integră în ceea ce privește timpul; dar poate include și integrări cu privire la mărimile spațiale. În unele cazuri, integrarea are loc de -a lungul căii urmate de sistem.

De obicei, acțiunea este prezentată ca integrală în ceea ce privește timpul dintre un timp inițial și timpul de observare a sistemului unei mărimi L numite Lagrangian al acestui sistem, care este de obicei diferența dintre energia cinetică și energia potențială:

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L \, dt}

Acțiunea are deci dimensiunea unei energii înmulțită cu o durată sau, ceea ce înseamnă același lucru, a unei cantități de mișcare înmulțită cu o distanță.

Acțiunea este o mărime fizică care nu poate fi măsurată; nu intervine decât ca model de ajutor în fizica teoretică, pentru a determina forma matematică a ecuației mișcării.

Notatie simbolica

Practica obișnuită, a cărei origine pare să se întoarcă la Hamilton , este să denotăm acțiunea prin simbolul S sau în scrierea cursivă . Motivele nu par a fi cunoscute. De asemenea, se remarcă uneori , mai ales atunci când acțiunea și entropia se găsesc în aceeași formulă. ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {A}}$

Istoria conceptului

Cantitatea de acțiune în fizică a fost definită de Leibniz în 1690 ca fiind produsul cantității de materie după durata și pătratul vitezei (m · v 2 · t) sau, care echivalează cu același lucru, masa produsului după viteză și distanță parcursă (m · v · l); cu alte cuvinte, energia înmulțită cu durata sau impulsul cu distanța. Cu toate acestea, introducerea acestei magnitudini a fost ulterior atribuită ulterior lui Wolff , deoarece a popularizat dinamica Leibniz sau lui Maupertuis , deoarece a introdus principiul acțiunii minime . Dar ambii au recunoscut că definiția acestei magnitudini a fost derivată de la Leibniz.

Conceptul de acțiune s-a dovedit a fi de o mare importanță în fizică, în primul rând datorită succesului principiului acțiunii minime în urma lucrărilor lui Euler , Lagrange , Hamilton , Jacobi și Helmholtz .

Mai târziu, s-a demonstrat că această cantitate este o unitate universală și un invariant relativist, în urma descoperirii de către Max Planck a discontinuității fundamentale care este cuantumul elementar al Acțiunii (1900). În experimente, schimburile de energie se fac într-un mod discontinuu, prin cantități de energie.

În teoria cuantică (1900-1925), constanta lui Planck a fost considerată a fi „cuantica acțiunii”, adică cea mai mică cantitate posibilă de acțiune. Această descoperire a deschis „o nouă eră în științele naturii. Pentru că a anunțat apariția a ceva complet neașteptat și a fost menit să supere chiar bazele gândirii fizice, care de la descoperirea calculului infinitesimal s-au bazat pe ideea că toate relațiile cauzale sunt continue. "

După înlocuirea teoriei cuantice prin mecanica cuantică , printre altele , formalizate de Erwin Schrödinger (1926), Werner Heisenberg (în 1925-1927), Paul Dirac (1926) și John von Neumann (în 1926-1930), acest lucru nu mai este cazul iar constanta lui Planck este acum văzută într-un mod și mai abstract, ca un coeficient de proporționalitate fundamental legat de matematica comutărilor între observabilele cuantice și de principiul nedeterminării .

Principiul acțiunii minime

State

Importanța acțiunii în fizică se datorează existenței unui principiu foarte general, numit principiul acțiunii minime : calea urmată efectiv de un obiect între două puncte date este cea care duce la o valoare staționară a acțiunii. Când traiectoria care leagă cele două puncte este suficient de mică, acest extrem al acțiunii este minim , de unde și numele dat principiului.

Comentarii

De exemplu, în mecanică , în loc să ne gândim la accelerație sub efectul forțelor, rezonăm în termenii căii de acțiune staționare.

Acest principiu al acțiunii minime s-a dovedit a fi simplu, puternic și general atât în mecanica clasică, unde este strict echivalent cu legile lui Newton, cât și în mecanica cuantică sau relativistă și în electromagnetism, unde generalizarea sa a fost foarte reușită.

Multe probleme de fizică pot fi rezolvate pornind de la acest principiu:

dacă este vorba de a găsi calea salvamarului pentru a ajunge la o persoană înecată cât mai repede posibil sau pentru a găsi calea luminii sau calea într-un câmp gravitațional de la un punct la altul;
dacă se stabilesc ecuațiile Maxwell sau bazele mecanicii cuantice în formularea lui Feynman în integrală de cale .

Simetriile unei situații fizice pot fi tratate mai bine, de exemplu prin utilizarea teoremei lui Noether care stabilește că, cu orice simetrie continuă, corespunde o lege a conservării.

Mai întâi formulat de Pierre Louis Moreau de Maupertuis , apoi dezvoltat de Euler și mai ales de Lagrange ( Pierre de Fermat stabilise deja un principiu de mai puțin timp pentru calea luminii), principiul celei mai mici acțiuni a condus la formularea Lagrangiană și Hamiltoniană a clasicului mecanica.

Formalizare

Un Lagrangian , așa numit în onoarea lui Joseph Louis Lagrange , este o funcție a variabilelor dinamice care descriu concis ecuațiile de mișcare ale sistemului. $\ mathcal {L} [\ varphi_i]$ $\ \ varphi _ {i} (s)$

Ecuațiile mișcării sunt obținute conform principiului acțiunii staționare, scriind că:

\ frac {\ delta \ mathcal {S}} {\ delta \ varphi_i} = 0

unde este acțiunea:

{\ mathcal {S}} [\ varphi _ {i}] = \ int {{\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (s)] {} \, d ^ {n} s},

și desemnează o bază de variabile. ${\ displaystyle \ s _ {\ alpha}}$

Ecuațiile de mișcare astfel obținute sunt identice cu ecuațiile Euler-Lagrange și formează un sistem dinamic Lagrangian.

Exemple de sisteme dinamice lagrangiene variază de la modelul standard la ecuațiile lui Newton și probleme matematice pure, cum ar fi ecuațiile geodezice .

Un exemplu de mecanică clasică

Mecanica lagrangiană este o reformulare a mecanicii clasice . Lagrangianului este definit ca energia cinetică minus energie potențială :

{\ mathcal {L}} = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} m {\ dot {{{\ vec {x}}}} ^ {2} - V ({\ vec {x}}).

Asociată Ecuația Euler-Lagrange este apoi scris:

m {\ ddot {{\ vec {x}}}} + \ nabla V ({\ vec {x}}) = 0.

unde este câmpul gradient al . ${\ displaystyle \ nabla V}$ $V$

Dacă luăm în considerare acest lucru , găsim a doua lege a lui Newton , adică: ${\ vec {F}} = - \ nabla V (x)$

m {\ ddot {{\ vec {x}}}} = {\ vec {F}}.

În coordonate sferice (r, θ, φ), Lagrangianul este scris:

{\ frac {m} {2}} ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ { 2} \ theta {\ dot {\ varphi}} ^ {2}) - V (r).

Ecuațiile Euler-Lagrange dau apoi:

m {\ ddot {r}} - mr ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta {\ dot {\ varphi}} ^ {2}) + V '= 0 ,

{\ frac {d} {dt}} (mr ^ {2} {\ dot {\ theta}}) - mr ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta {\ dot {\ varphi}} ^ {2 } = 0,

{\ frac {d} {dt}} (mr ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta {\ dot {\ varphi}}) = 0.

În acest caz, parametrul este pur și simplu timp, iar variabilele dinamice dau traiectoria particulei. $\ dacă}$ $\ \ phi _ {i} (s)$ ${\ vec x} (t)$

În mecanica cuantică

În mecanica cuantică , acțiunea nu poate fi determinată cu o precizie mai bună decât permite principiul de nedeterminare al lui Heisenberg:

${\ displaystyle \ sigma _ {x} \ cdot \ sigma _ {p} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}}}$ ,

unde este constanta Planck redusă și unde este abaterea standard pentru poziție, fiind abaterea standard pentru impuls. $\ hbar$ $\ sigma_x$ ${\ displaystyle \ sigma_p}$

Acest lucru se datorează faptului că operatorul de poziție și operatorul de impuls nu comută. Comutatorul lor merită: ${\ hat x}$ ${\ displaystyle {\ hat {p}}}$

${\ displaystyle \ left [{\ hat {x}}, {\ hat {p}} \ right] = {\ hat {x}} \, {\ hat {p}} - {\ hat {p}} \ , {\ hat {x}} = i \, \ hbar}$ .

Nu este posibil să se măsoare simultan aceste două mărimi observabile despre care se spune că sunt complementare și orice îmbunătățire a preciziei primei măsurători duce inevitabil la o creștere a impreciziei celei de-a doua. Constanta lui Planck, care are dimensiunea unei acțiuni, face posibilă calcularea acestei limitări insurmontabile de precizie în conformitate cu formula Heisenberg indicată mai sus.

În 1942, Richard Feynman a introdus în mecanica cuantică conceptul integral de cale , bazat pe Lagrangian și principiul acțiunii minime . Această metodă, al cărei succes predictiv este incontestabil, rămâne un subiect activ de cercetare în ceea ce privește bazele sale matematice.

Note și referințe

(en) LN Hand, JD Finch, Mechanical Analytical , Cambridge University Press, 2008, ( ISBN 978-0-521-57572-0 ) .
(în) RG Lerner, GL Trigg, Encyclopaedia of Physics , ediția 2 e , editori VHC, 1991 ( ISBN 3-527-26954-1 ) (Verlagsgesellschaft) ( ISBN 0-89573-752-3 ) (HCV Inc. ).
De ce acțiunea din principiul celei mai mici acțiuni este denumită în mod tradițional S?
Louis de Broglie, Cercetări de jumătate de secol , Paris, Albin Michel, 1976, p. 15: „Așa am fost condus să stabilesc între acțiunea A și entropia S o relație de forma A / h = -S / k unde h și k sunt constantele fundamentale ale fizicii teoretice. "
Dynamica de Potentia et legibus naturae corporeae (1690, in C. I. Gerhardt , Math 6, p. 354 sq .: "Actions motuum formales sunt in ratione composita ex rationibus mobilium (or quantitalum materiæ) and temporum simplice et velocitatum agendi duplicata"). În franceză, a se vedea scrisoarea sa către Varignon din 16-10-1707 : „Dar Acțiunea nu este ceea ce credeți: considerarea timpului intră în ea; este ca produsul masei prin spațiu și viteză sau al timpului prin forța vie. Am observat că, în modificările mișcărilor, devine de obicei un Maxim sau un Minim ”.
Vezi și Couturat , Logica lui Leibniz , Paris, Alcan, 1901, p. 577 sq . ( citiți online ).
Maupertuis: „După ce am găsit acest cuvânt (acțiune) stabilit de Leibniz și Wolff, pentru a exprima aceeași idee și a constatat că i-a răspuns bine, nu am vrut să schimb termenii” (D'Alembert, Encyc lopédie , art . Force, p. 116; pe wikisource ). - Vezi și Suzanne Bachelard, Maupertuis și principiul acțiunii mai mici , Thalès, 1958, p. 14 ( citiți online ).
Werner Heisenberg, Principiile fizice ale teoriei cuantice , cu o prefață de Louis de Broglie, Gauthiers-Villards, 1972, p. 7: „Noțiunea de stare staționară pe care aceste experimente o sugerează constituie cea mai semnificativă expresie a discontinuității observate în toate procesele atomice”; p. 29: „Cu fiecare nouă observație, reprezentarea matematică a faptului fizic este modificată într-un mod discontinuu ... Cu fiecare nouă observație cunoștințele noastre despre sistem sunt modificate într-o manieră discontinuă”; p. 76: „7. Fenomenele de fluctuație a radiațiilor ... valorile medii ale pătratului fluctuației, care aparțin unei teorii a discontinuității, sunt de fapt conținute în schema matematică a teoriei cuantice. "
Einstein, Infeld, Evoluția ideilor în fizică , Flammarion, col. Câmpuri, pp. 235, 277: „Dacă ar fi să caracterizăm ideea principală a teoriei cuantice printr-o singură propoziție, am spune: este necesar să presupunem că anumite mărimi fizice, considerate până acum ca fiind continue, sunt compuse din quanta elementare . "" Materia are o structură granulară; este alcătuit din particule elementare, canta elementară a materiei. "
Art. „Quantum of Action”, Encyclopædia Universalis ( citește online ): „acest concept care introduce discontinuul în descrierea fenomenelor elementare stă la baza fizicii cuantice” .
Max Planck, Autobiografie științifică , Flammarion, col. Câmpuri, p. 94 (original în germană: Wissenchaftliche Selbstbiographie , Barth, Leipzig, 1948).
Jean-Marc Levy-Leblond, Alain Laverne, articolul „Mecanica cuantică”, Enciclopedia Universală :
„Relațiile Planck-Einstein ( ) și De Broglie ( ) leagă proprietățile de tip corpuscular (energia și impulsul entităților discrete) de proprietățile de tip undă (periodicități spațio-temporale). Mai precis, ele fac posibilă identificarea domeniului aproximativ de validitate al acestor concepte. Acesta este unul dintre rolurile esențiale ale faimoaselor relații Heisenberg, numite și relații de incertitudine. " ${\ displaystyle E = h \ nu}$ ${\ displaystyle p = hk}$
(în) Richard Feynman, The Feynman Lectures on Physics , Reading, Massachusetts, Addison-Wesley,1963, p. 26-3.
P. Atkins, J. de Paula, Physical Chemistry , 3 e ed. Franceză, de Boeck, 2008, p. 271 .
Udiprod, „ Vizualizarea fizicii cuantice (mecanica cuantică) ” , pe Youtube ,31 ianuarie 2017(accesat la 15 iunie 2021 ) .
(în) Richard P. Feynman, Principiul celei mai mici acțiuni în mecanica cuantică , dr. Universitatea Princeton. Această teză tocmai a fost publicată în Laurie M. Brown (dir.), Teza lui Feynman: o nouă abordare a teoriei cuantice , World Scientific, 2005, ( ISBN 981-256-380-6 ) .
(în) S. Albeverio S. Mazzucchi, Integral de cale: aspecte matematice , în 2011.

Bibliografie

Nicolas Sator, Introducere în principiul variațional și mecanica analitică , Laboratorul de fizică teoretică a materiei condensate, Université Pierre et Marie Curie Paris 6 ,2017( citiți online [PDF] ).

Vezi și tu