Coordonate generalizate

Numim coordonate generalizate ale unui sistem fizic un set de variabile reale, care nu corespund toate coordonatelor carteziene (de exemplu: unghiuri, poziții relative) și care permit descrierea acestui sistem, în special în cadrul mecanicii lagrangiene . Termenul „ generalizat ” provine din momentul în care coordonatele carteziene erau considerate a fi coordonate normale sau naturale .

Pentru un sistem fizic , se disting condițiile fizice care se exercită asupra acestuia de propriile sale constrângeri, care sunt presupuneri de rigidități , limitări ale cadrului său de evoluție etc. Constrângerile sistemului introduc dependențe între coordonate și reduc numărul de variabile numerice (coordonate) necesare descrierii sale. Luând în considerare acest lucru, condițiile fizice determină evoluția temporală a coordonatelor.

Nu întotdeauna se presupune că coordonatele generalizate sunt independente, iar interesul lor, în ceea ce privește numai coordonatele carteziene, este acela de a putea alege coordonatele cele mai potrivite pentru a reprezenta sistemul, ținând cont de constrângerile acestuia. De exemplu, în cazul unui pendul , este avantajos să se utilizeze unghiul pendulului printre coordonatele generalizate.

Coordonatele generalizate sunt , unde N este numărul de puncte care permit descrierea sistemului și sunt adesea notate $\ n \ 3N$

{\ displaystyle \ lbrace \ mathbf {q_ {1}}, \ mathbf {q_ {2}}, ..., \ mathbf {q_ {n}} \ rbrace}

Unitatea de măsură nu este neapărat o distanță: de exemplu , coordonatele pot fi unghiuri. Este chiar de conceput că fiecare coordonată are propria unitate de măsură. ${\ displaystyle \ q_ {i}}$

Obiectivul este de a le exprima ca funcții ale timpului ( ), o alegere judicioasă de a ajuta la abordarea acestui ideal. Și știind că , dacă se obține descrierea , descrierea sistemului poate fi obținută sub formă . Cu excepția celor mai simple cazuri, acest obiectiv nu este atins niciodată, dar fizicianul reușește, în general, să obțină la fel de multe informații. ${\ displaystyle \ q_ {i}}$ ${\ displaystyle \ q_ {i} = q_ {i} (t)}$ ${\ displaystyle \ q_ {i}}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {i} = {\ vec {r}} _ {i} (q_ {1}, q_ {2}, ..., q_ {n}, t)}$ ${\ displaystyle \ q_ {i} = q_ {i} (t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {i} = {\ vec {r}} _ {i} (t)}$

Dimensiune și dependență

Un sistem de N puncte materiale , se deplasează în spațiul fizic de dimensiune 3 este descrisă de 3 N coordonatele carteziene ale punctelor sale: sistemul poate fi considerat ca un punct se deplasează într - un spațiu cartezian de dimensiune 3 N . Cele coordonate sferice și cilindrice sunt exemple de coordonate generalizate , fără a modifica numărul de coordonate.

O constrângere introduce o dependență între aceste coordonate și putem considera că sistemul este un punct în mișcare pe o varietate de scufundări în spațiu cartezian de dimensiune 3 N . Sistemul poate fi apoi, în principiu, descris prin numere („coordonate generalizate”) și poate fi considerat ca un punct care evoluează într-un spațiu de dimensiune n : spațiul de configurare . ${\ displaystyle \ n <3N}$

În general, constrângerile k (ecuații numerice) scad cu k numărul de variabile necesare pentru descrierea sistemului (este necesar apoi cel puțin 3 N - k coordonate generalizate), dar poate fi altfel, în funcție de natura constrângeri sau dacă constrângerile nu sunt independente (dacă cel puțin una dintre ecuațiile numerice poate fi obținută de la celelalte); numărul de variabile necesare scade apoi cu k ' < k (sunt necesare apoi cel puțin 3 N - k' coordonate generalizate). Numărul minim de coordonate generalizate (variabile) necesare pentru a descrie sistemul se numește gradul de libertate .

Pentru a ajunge la descriere , alegerea coordonatelor generalizate independente poate fi valoroasă (numărul n al acestor coordonate este apoi gradul de libertate al sistemului), dar uneori este mai ușor să luați în considerare coordonatele dependente și să utilizați multiplicatorii Lagrange pentru a lua în considerare constrângerile. ${\ displaystyle \ q_ {i} = q_ {i} (t)}$

Exemplu de poziționare a unui triunghi

În spațiu, un triunghi este determinat de trei vârfuri (9 coordonate :) și, prin urmare, are 9 grade de libertate. Cu toate acestea, un triunghi care nu se află în spațiu are 3 grade de libertate, fiind complet determinat de lungimea celor 3 laturi ale sale ( L 1 , L 2 , L 3 ). Cunoașterea formei triunghiului care trebuie poziționat în spațiu induce următoarele 3 constrângeri holonomice independente (cu L 1 , L 2 , L 3 fixate): ${\ displaystyle {(x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}), (x_ {3}, y_ {3}, z_ {3})}}$

{\ textstyle {\ begin {array} {lcr} (x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + (y_ {1} -y_ {2}) ^ {2} + (z_ {1} - z_ {2}) ^ {2} = L_ {1} ^ {2} \\ (x_ {1} -x_ {3}) ^ {2} + (y_ {1} -y_ {3}) ^ {2 } + (z_ {1} -z_ {3}) ^ {2} = L_ {2} ^ {2} \\ (x_ {2} -x_ {3}) ^ {2} + (y_ {2} - y_ {3}) ^ {2} + (z_ {2} -z_ {3}) ^ {2} = L_ {3} ^ {2} \ end {array}}}

Aceste trei constrângeri elimină 3 grade de libertate din sistem, care are 9 - 3 = 6. În spațiu, poziția unui triunghi (a cărui formă este fixă) poate fi deci determinată de 6 variabile independente. De exemplu, putem alege 3 coordonate carteziene pentru a localiza unul dintre vârfurile sale, să spunem P ; din acest vârf, determinăm direcția în care să o plasăm pe a doua, să zicem Q , cu un vector unitate de (aceasta corespunde la 2 unghiuri); apoi, rotim al treilea vârf în jurul axei PQ pentru a determina poziția acestuia (acest lucru necesită 1 unghi). În ceea ce privește coordonatele generalizate, putem deci descrie poziția unui triunghi în cu un punct de , unde denotă sfera n a lui . Deoarece poziția oricărui solid rigid este determinată de oricare dintre cele trei puncte ale sale nealiniate, este determinată de 6 variabile independente. $\ mathbb {R} ^ {{3}}$ $\ mathbb {R} ^ {{3}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \ times S ^ {2} \ times S ^ {1}}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {{n + 1}}$

Exemplu de pendul dublu (și plan)

Un pendul cu plan dublu poate fi descris de cele patru coordonate carteziene (în planul său de oscilație) ale celor două mase ale sale. Cele două constrângeri holonomice care sunt lungimile tulpinilor sale reduc la două numărul suficient de variabile pentru ao descrie. O alegere judicioasă a variabilelor sunt cele două unghiuri ale tijelor cu verticala, fiecare variind în sau, în funcție de periodicitate, pe un cerc : sistemul este echivalent cu un punct care evoluează în plan , dar din cauza periodicității sistemului cu cu privire la unghiuri se poate considera, de asemenea, că evoluează pe un tor ; iar evoluția temporală a celor două unghiuri depinde de legile mecanicii. ${\ displaystyle \ theta _ {1}, \ theta _ {2} \ în [0; 2 \ pi]}$ $\ mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ S_ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ equiv S ^ {1} \ times S ^ {1}}$

Două unghiuri determină pendulul dublu .
Cele două unghiuri corespund unui punct care evoluează pe un tor .

Viteza, forța și accelerația generalizate

Viteza generalizată este definită în linia dreaptă a coordonatelor generalizate; pe de altă parte, forța generalizată și accelerația sunt definite folosind deplasări virtuale pentru a se încadra în mecanica analitică care le folosește intens.

Viteza generalizată

Pentru un punct din spațiul fizic (de dimensiunea trei), viteza este definită din vectorul coordonatelor carteziene ca fiind egală cu . ${\ displaystyle {\ vec {r}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ dot {\ vec {r}}} = {\ frac {d {\ vec {r}}} {dt}}}$

Cu coordonate generalizate , viteza generalizată este vectorul dimensiunii n : unde . ${\ displaystyle \ \ lbrace {q_ {1}}, {q_ {2}}, ..., {q_ {n}} \ rbrace}$ ${\ displaystyle \ \ lbrace {{\ dot {q}} _ {1}}, {{\ dot {q}} _ {2}}, ..., {{\ dot {q}} _ {n} } \ rbrace}$ ${\ displaystyle \ {\ dot {q}} _ {i} = {\ frac {dq_ {i}} {dt}}}$

Se poate observa că, dacă cele trei coordonate ale vitezei sunt în lungimea unității. Timp -1 , nu mai este obligatoriu același lucru cu viteza generalizată, deoarece acestea nu sunt obligatoriu în unitatea de lungime. ${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ dot {\ vec {r}}}}$ ${\ displaystyle \ q_ {j}}$

Având în vedere acest lucru , obținem ${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} (q_ {1}; q_ {2}; ...; q_ {n}; t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ frac {d {\ vec {r}}} {dt}} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial {\ vec {r}}} {\ partial q_ {j}}}. {\ dot {q}} _ {j} + {\ frac {\ partial {\ vec {r}}} {\ partial t}}}$

Forța generalizată

În spațiul fizic tridimensional, o forță care acționează asupra punctelor i ale sistemului, activitatea acestei forțe în timpul unei deplasări virtuale este . Deoarece deplasările luate în considerare sunt virtuale , vorbim despre forța virtuală . ${\ displaystyle \ {\ vec {F}} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ delta {\ vec {r}} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ delta W = \ sum _ {i} {\ vec {F}} _ {i}. \ delta {\ vec {r}} _ {i}}$

Cu n coordonate generalizate , avem și voința este să definim o forță de dimensiune n care să corespundă forței astfel încât . ${\ displaystyle \ \ lbrace {q_ {1}}, {q_ {2}}, ..., {q_ {n}} \ rbrace}$ ${\ displaystyle \ \ delta {\ vec {r}} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial {\ vec {r}}} {\ partial q_ {j}}}. \ delta q_ {j}}$ ${\ displaystyle \ Q = \ left ({Q_ {1}}, {Q_ {2}}, ..., {Q_ {n}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ {\ vec {F}} _ {i}}$ $\ \ delta W = \ sum _ {i} {\ vec F} _ {i}. \ delta {\ vec r} _ {i} = \ sum _ {{j = 1}} ^ {n} Q_ {j }. \ delta q_ {j}$

Corespunzătoare definiției este :, pentru fiecare nu coordonate . ${\ displaystyle \ Q_ {j} = \ sum _ {i} {\ vec {F}} _ {i}. {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ { j}}}}$ ${\ displaystyle \ j \ in \ {1; 2; ...; n \}}$

Este necesar să fim atenți la faptul că poate fi vorba doar de o definiție, deoarece egalitatea face posibilă justificarea numai în cazul în care n deplasările virtuale sunt independente: se pot alege apoi pe toate nule cu excepția uneia și astfel se poate stabili egalitatea dorită. În cazul în care n coordonatele generalizate nu sunt independente, acestea sunt supuse unor constrângeri, iar deplasările virtuale asociate sunt definite ca fiind nevoite să respecte aceste constrângeri: nu pot fi alese independent una de cealaltă și există alte opțiuni posibile pentru . ${\ displaystyle \ \ sum _ {i} {\ vec {F}} _ {i}. \ delta {\ vec {r}} _ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} Q_ { j}. \ delta q_ {j}}$ ${\ displaystyle \ Q_ {j} = \ sum _ {i} {\ vec {F}} _ {i}. {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ { j}}}}$ ${\ displaystyle \ {\ delta q_ {1}}, {\ delta q_ {2}}, ..., {\ delta q_ {n}}}$ $\ \ delta q_ {j}$ $\ Q_ {j}$

În ceea ce privește viteza generalizată, unitățile de măsură ale coordonatelor n ale forței generalizate nu sunt neapărat newtonul .

Accelerare generalizată

Accelerare generalizată este definită într - un mod similar cu forța generalizată, prin implicarea maselor de corpuri punctiforme , în scopul de a utiliza forța exercitată asupra sistemului și apoi la locul de muncă, respectând principiul fundamental al dinamicii : dacă este supuse unei accelerare de către fiecare punct i de masă a sistemului în spațiul fizic tridimensional, accelerația generalizată corespunzătoare este vectorul de dimensiune n definit de , pentru fiecare coordonată n . ${\ displaystyle \ m_ {i}. {\ vec {a}} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ {\ vec {a}} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ m_ {i}}$ ${\ displaystyle \ A = \ left (A_ {1}; A_ {2}; ...; A_ {n} \ right)}$ ${\ displaystyle \ A_ {j} = \ sum _ {i} m_ {i}. {\ vec {a}} _ {i}. {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {j}}}}$ ${\ displaystyle \ j \ in \ {1; 2; ...; n \}}$

Unitatea de măsură pentru fiecare coordonată a accelerației generalizate este aceeași ca coordonatei corespunzătoare unei forțe generalizate.

Articole similare

Principiul D'Alembert

Bibliografie

Claude Gignoux și Bernard Silvestre-Brac; Mecanică: de la formularea Lagrangiană la haosul hamiltonian , editor EDP-Sciences, 2002, 467 pagini ( ISBN 2868835848 ) .