Teorema lui Lagrange asupra grupurilor

În matematică , teorema lui Lagrange pe grupuri setează un rezultat de bază care furnizează informații combinatorie pe grupuri finite . Teorema își datorează numele matematicianului Joseph-Louis Lagrange . Uneori se numește teorema Euler-Lagrange deoarece generalizează o teoremă a lui Euler pe numere întregi.

State

Teorema lui Lagrange - Pentru orice grup finit $G$ și orice subgrup $H$ al lui $G$ , ordinea lui $H$ (adică cardinalul său ) îl împarte pe cel al lui $G$ :

{\ displaystyle | H | \ quad {\ text {divide}} \ quad | G |.}

Demonstrație

Prin definiție, indicele $[ G : H ]$ de $H$ în $G$ este cardinalitatea setului $G / H$ din clase conform stânga H elementelor $G$ . Sau aceste clase formează o partiție de $G$ și fiecare dintre ele are aceeași cardinalitatea ca și $H$ . Prin principiul păstorilor , deducem:

{\ displaystyle | G | = | H | \ times [G: H].}

Rețineți că această formulă rămâne adevărată atunci când cei trei cardinali pe care îi conectează sunt infinite și că este un caz special al formulei index .

Aplicații

Ordinea unui element x al unui grup finit poate fi definit ca ordinul subgrupului pe care le generează . (Este, de asemenea, cel mai mic număr întreg n > 0 care satisface: x n = e .) Prin teorema lui Lagrange, această ordine împarte ordinea grupului.
Un grup G de ordin prim p este ciclic și simplu . Într-adevăr, orice element non-neutru x al lui G este de ordin strict mai mare decât 1 și prin ceea ce precede un divizor al lui p . Deoarece p este prim, ordinea lui x este p ; adică x generează o grupare ciclică de ordin p , în mod necesar egal cu G .
Această teoremă poate fi utilizată pentru a demonstra mica teoremă a lui Fermat și generalizarea acesteia, teorema lui Euler .
Lăsați G grupul de demontare-reasamblare a cubului Rubik și frecați subgrupul lui G corespunzător mișcărilor eligibile („rupeți” nu cubul). Apoi, indicele Rub în G este 12. Obținem apoi cu ușurință că numărul de configurații posibile ale cubului Rubik este 43 252 003 274 489 856 000.

Reciprocități parțiale

Un grup finit G nu satisface întotdeauna „inversul teoremei lui Lagrange”, adică poate exista un divizor d al | G | pentru care G nu admite niciun subgrup de ordine d . Cel mai mic contraexemplu este grupul alternativ A 4 , care este de ordinul 12, dar nu are nici un subgrup de ordinul 6 (deoarece orice subgrup de index 2 conține pătratele grupului sau în At 4 sunt 9 pătrate).

Cauchy Teorema , a teoremelor Sylow , teorema dovedit de Philip Hall pe subgrupuri Hall , forma parțială reciprocă Lagrange teorema.

Pentru ca un grup finit să verifice „inversul teoremei lui Lagrange”, este necesar ca acesta să fie rezolvabil (dar nu suficient: A 4 este rezolvabil) și suficient ca acesta să fie super-solubil (dar nu este necesar: grupul simetric S 4 nu este super-rezolvabil, deoarece admite S 3 ca un subgrup maxim de indice non-prim).

Un grup finit G este nilpotent dacă și numai dacă îndeplinește următorul „reciproc” puternic al teoremei lui Lagrange: pentru orice divizor d al | G |, G are un subgrup normal de ordinul d .

Istoric

Matematicianul francez Joseph-Louis Lagrange a demonstrat că, prin permutare de nedeterminat $n$ al unei expresie polinom , numărul de expresii obținute este un divizor de $n$ $!$ . Setul de permutări este văzut astăzi ca un grup cu $n$ $!$ elemente , acționând asupra polinoamelor cu $n$ variabile. Munca lui Lagrange este reinterpretată ca calcul cardinalului unei orbita acestei acțiuni : apare astfel ca un precursor al apariției noțiunii de grup , definiția formală a care a fost dat numai la sfârșitul secolului al 19 - lea. Lea lea.

Note și referințe

Pierre Colmez , „ Cubul lui Rubik, grup de buzunar ” , pe culturemath.ens.fr .
André Warusfel . , Succes în rubik: ': s cub , Paris, Franța loisirs ,nouăsprezece optzeci și unu, 190 p. ( ISBN 2-7242-1030-1 și 9782724210309 , OCLC 461676792 , citit online ) , p.15
Este „cel mai mic” în sensul că este singurul de ordine mai mic sau egal cu 12 .
J.-L. Lagrange , " Reflections on the algebraic resolution of ecuations, II ", New Memoirs of the Royal Academy of Sciences and Belles-Lettres of Berlin ,1771, p. 138-254(spec. p. 202-203), retipărit în Œuvres de Lagrange , t. 3, Paris, 1869, p. 305-421 , disponibil online (spec. P. 369-370 )