Switch (teoria grupului)

În teoria grupurilor (matematică), comutatorul unei perechi ( x , y ) de elemente ale unui grup G este, în majoritatea autorilor, definit de

{\ displaystyle \ [x, y] = x ^ {- 1} y ^ {- 1} xy.}

Unii autori iau drept definiție

{\ displaystyle \ [x, y] = xyx ^ {- 1} y ^ {- 1}.}

Oricare ar fi definiția adoptată, este clar că x și y fac naveta dacă și numai dacă [ x , y ] = 1.

Dacă A și B sunt două subgrupuri ale lui G, notăm cu [A, B] subgrupul lui G generat de comutatoarele [a, b], o traversare A și b traversarea B. Deoarece inversele elementelor lui A sunt exact elementele lui A și că inversele elementelor lui B sunt exact elementele lui B, [A, B] nu depinde de definiția aleasă pentru comutatori.

Oricare ar fi definiția aleasă pentru comutatoare, [b, a] este inversul lui [a, b], deci dacă A și B sunt două subgrupuri de G, [A, B] = [B, A].

Subgrupul [G, G] al lui G , cu alte cuvinte subgrupul lui G generat de elementele comutatoare ale lui G, este grupul derivat din G.

Unele fapte

În cele ce urmează, vom adopta definiția

{\ displaystyle \ [x, y] = x ^ {- 1} y ^ {- 1} xy}

și, pentru toate elementele x , y ale unui grup G, vom nota

{\ displaystyle \ x ^ {y} = y ^ {- 1} xy.}

La fel este un conjugat al lui x și avem întotdeauna ${\ displaystyle \ x ^ {y}}$

{\ displaystyle \ (xy) ^ {z} = x ^ {z} y ^ {z}}

și nu

{\ displaystyle \ x ^ {yz} = (x ^ {y}) ^ {z}.}

{\ displaystyle \ x ^ {yz} = (x ^ {z}) ^ {y}.}

Dacă A și B sunt două subgrupuri ale lui G, atunci [A, B] = 1 dacă și numai dacă orice element din A face naveta cu orice element al lui B.
Dacă f este un omomorfism dintr-un grup G într-un grup, ${\ displaystyle f ([x, y]) = [f (x), f (y)]}$ și ${\ displaystyle f ([A, B]) = [f (A), f (B)]}$ pentru toate elementele x , y și toate subgrupurile A, B din G.
Aplicând acest lucru la automorfismul interior al lui G, obținem ${\ displaystyle t \ mapsto t ^ {z}}$ ${\ displaystyle \ [x, y] ^ {z} = [x ^ {z}, y ^ {z}]}$ și ${\ displaystyle \ [A, B] ^ {z} = [A ^ {z}, B ^ {z}]}$ pentru toate elementele x , y și z și toate subgrupurile A, B din G. Rezultă că dacă A și B sunt două subgrupuri distincte ale lui G, [A, B] este el însuși și un subgrup distinct de G.
Același argument, aplicat oricărui automorfism (nu neapărat interior) al lui G arată că dacă A și B sunt subgrupuri caracteristice ale lui G, atunci [A, B] este, de asemenea, un subgrup caracteristic al lui G.
Fie A și B două subgrupuri ale lui G. Pentru ca [A, B] să fie conținut în B, este necesar și suficient ca A să normalizeze B (adică să fie conținut în normalizatorul lui B).
Deci, dacă A și B se normalizează reciproc (și mai ales dacă ambele se disting în G), [A, B] este conținut în . $A \ cap B$
În special, dacă A și B sunt două subgrupuri de G care se normalizează reciproc și a căror intersecție se reduce la elementul neutru, atunci orice element al lui A face naveta cu orice element al lui B.
Verificăm prin calcul că $\ [xy, z] = [x, z] ^ {y} [y, z]$ și (prin calcul sau mergând la inversul din formula anterioară, observând că inversul lui [a, b] este [b, a]) ${\ displaystyle \ [z, xy] = [z, y] [z, x] ^ {y}}$
Proprietatea anterioară dă ${\ displaystyle \ [x, z] ^ {y} = [xy, z] [y, z] ^ {- 1},}$ ceea ce face posibil să se demonstreze că dacă A și B sunt două subgrupuri ale lui G, atunci A și B ambele normalizează [A, B], ceea ce înseamnă a spune că [A, B] este un subgrup normal al subgrupului. , B> din G generat de A și B.
Sunt H , K și L subgrupurilor normale ale unui grup G . Din proprietate și faptul că [H, L] este normal în G, derivăm $\ [xy, z] = [x, z] ^ {y} [y, z]$ [HK, L] = [H, L] [K, L], ce se mai poate scrie [L, HK] = [L, H] [L, K].
Identitate Hall - Witt : ${\ displaystyle \ [\ [x, y ^ {- 1}], z] ^ {y} \ \ [\ [y, z ^ {- 1}], x] ^ {z} \ \ [\ [z , x ^ {- 1}], y] ^ {x} = 1.}$ Acest lucru este verificat printr-un calcul mecanic. Putem scurta calculele observând că se poate scrie primul factor al identității

{\ displaystyle \ [\ [x, y ^ {- 1}], z] ^ {y} \ = T (x, z, y) ^ {- 1} T (y, x, z),}

unde punem:

{\ displaystyle \ T (a, b, c) = aba ^ {- 1} ca.}

Expresiile analoage ale celorlalți doi factori ai identității Hall-Witt sunt obținute din aceasta printr-o permutare circulară a variabilelor și atunci când înmulțim cele trei rezultate membru cu membru, fiecare factor T () este distrus de factorul T () -1 care urmează.

O altă formă a identității lui Hall-Witt. În identitatea Hall-Witt de mai sus, se poate scrie primul factor: ${\ displaystyle \ [\ [x, y ^ {- 1}], z] ^ {y} \ = [\ [y, x], z ^ {y}],}$ și prin permutarea circulară a variabilelor, obținem expresii analoage pentru ceilalți doi factori. Prin efectuarea înlocuirilor în identitatea Hall-Witt, apoi mergând la invers, luând în considerare faptul că inversul lui [a, b] este [b, a] și, în cele din urmă, schimbând x și y , găsim această formulă echivalentă cu Hall -Identitatea spiritului: ${\ displaystyle \ [x ^ {y}, [y, z] \] \ [y ^ {z}, [z, x] \] \ [z ^ {x}, [x, y] \] = 1 .}$
Dacă H, K și L sunt subgrupuri ale lui G, subgrupul [[H, K], L] al lui G nu este neapărat generat de comutatoarele [[h, k], l] cu h în H, k în K și l in EU.
Pe de altă parte, dacă fiecare dintre aceste comutatoare [[h, k], l] este egal cu 1, atunci [[H, K], L] = 1. (Într-adevăr, fiecare comutator [h, k] cu h în H și k în K aparțin apoi centralizatorului lui L, deci subgrupul [H, K] al lui G generat de aceste comutatoare este conținut în centralizatorul lui L.)
Lema celor trei subgrupuri (formă specială)
Dacă H, K și L sunt subgrupuri de G, dacă [[H, K], L] = 1 și [[K, L], H] = 1, atunci [[CN, H], K] = 1.
Acest lucru rezultă din identitatea Hall-Witt și din remarca anterioară.
Lema celor trei subgrupuri (formă generală)
Dacă H, K și L sunt subgrupuri ale lui G, dacă N este un subgrup distinct de G, dacă și , atunci . ${\ displaystyle [[H, K], L] \ leq N}$ ${\ displaystyle [[K, L], H] \ leq N}$ ${\ displaystyle [[L, H], K] \ leq N}$

Deducem această formă generală din forma particulară trecând (în ipotezele prezentei forme generale) la imagini prin omomorfismul canonic al lui G pe G / N și amintind că, așa cum sa menționat mai sus, f ([A, B]) = [f (A), f (B)] pentru toate subgrupele A, B ale lui G și pentru orice omomorfism f începând de la G.

Corolar al lemei celor trei subgrupuri.
Dacă H, K și L sunt subgrupuri distincte de G, atunci ${\ displaystyle \ [\ [L, H], K] \ leq [\ [H, K], L] \ [\ [K, L], H].}$ Într-adevăr, este apoi un subgrup distinct de G și enunțul este ușor obținut prin poziționarea în forma generală a lemei celor trei subgrupuri. ${\ displaystyle \ [\ [H, K], L] \ [\ [K, L], H]}$ ${\ displaystyle \ N = [\ [H, K], L] \ [\ [K, L], H]}$
Acest corolar al lemei celor trei subgrupuri ne permite să demonstrăm anumite proprietăți ale secvenței centrale descendente a unui grup.

Exemplu

În grupul cubului Rubik , un comutator schimbă două cuburi, de exemplu. Dacă acum vrem să schimbăm două cuburi într-un alt loc, vom lua conjugatul unui astfel de comutator. De exemplu, cubers familiarizat cu FRUR'U'F algoritmul „= [R, U] F .

Bibliografie

J. Petresco, On switches , Dubreil Seminar, Algebra și teoria numerelor, t. 7 (1953-1954), pp. 1-11. Disponibil pe Numdam .
Nicolas Bourbaki , Elements of matematic , Algebra , Paris,1970, cap. 1, p. 65-68
(ro) I. Martin Isaacs , Teoria grupurilor finite , AMS ,2008, p. 113-128.
(ro) Joseph J. Rotman (ro) , Introducere în teoria grupurilor [ detaliu ediție ], A 4- a ed.
(en) Hans Kurzweil (de) și Bernd Stellmacher , Theory of Finite Groups, An Introduction ,2004( citește online )

Note și referințe

De exemplu Kurzweil și Stellmacher , p. 24. Același lucru în Bourbaki 1970 § 6, nr. 2, p. I.65, cu paranteze îndrăznețe în loc de paranteze pătrate.
De exemplu Rotman , p. 33.
Această teoremă și dovada sa se datorează lui Walther von Dyck ( (de) W. Dyck , „ Gruppentheoretische Studien II. ” , Math. Ann. ,1883, p. 97, disponibil pe site-ul Universității din Göttingen . Referință dată de (en) W. Burnside , Theory of Groups of Finite Order , Dover, 1911 ( repr. 2004), p. 44).
A se vedea de exemplu Bourbaki 1970 , § 6, n ° 2, propoziția 5, (i), p. I.66; Kurzweil și Stellmacher , p. 26; Isaacs 2008 , p. 114.
John S. Rose, A Course on Group Theory , 1978, repr. Dover, 1994, exerc. 169, p. 61.
Demonstrat sub acest nume în Isaacs 2008 , p. 125, unde este necesară corectarea unei erori de imprimare în formulă. IM Isaacs observă similitudinea cu identitatea lui Jacobi. Rotman , p. 118 numește „identitate Jacobi” ceea ce IM Isaacs numește „identitate Hall-Witt”. Publicațiile lui Witt și Hall din care își ia numele această identitate sunt P. Hall, „O contribuție la teoria grupurilor de ordine a puterii prime”, în Proc. London Math. Soc. (2) vol. 36, 1934, pp. 29-95 și E. Witt, „ Treue Darstellung Liescher Ringe ”, în J. Reine Angew. Matematica. , zbor. 177 (1938), pp. 152-160. (Referințe date de Kurzweil și Stellmacher , p. 26, n. 18.)
N. Bourbaki, Algebra I, capitolele 1-3 , Paris, 1970, p. I.66, în acest mod demonstrează o identitate echivalentă cu identitatea Hall-Witt.
În această formă, identitatea lui Hall-Witt este dată în N. Bourbaki, Algebra I, capitolele 1-3 , Paris, 1970, p. I.66.
Vezi un exemplu în Isaacs 2008 , p. 122-123.
Vezi de exemplu Isaacs 2008 , p. 126.
Descoperit de LA Kaluznin, „Über gewisse Beziehungen zwischen einer Gruppe und ihren Automorphismen”, în Bericht über die Mathematiker-Tagung din Berlin, Ianuar 1953 , Berlin, p. 164-172. (Referință dată de JC Lennox și DJS Robinson, Theory of Infinite Soluble Groups , Oxford University Press, 2004, repr. 2010, p. 5 și 308.)
A se vedea Bourbaki 1970 § 6, nr. 2, propoziția 5, (iii), p. I.66.

Vezi și tu