Trigonometrie (din greacă τρίγωνος / trígonos , „triunghiular“ și μέτρον / Metron , „măsura“) este o ramură a matematicii care se ocupă cu relațiile dintre distanțele și unghiurile în triunghiuri și funcții trigonometrice , cum ar fi sinus , cosinus , tangenta .
Originile trigonometriei pot fi urmărite până la civilizațiile din Egiptul antic , Mesopotamia și valea Indusului cu mai bine de 4.000 de ani în urmă. S-ar părea că babilonienii au bazat trigonometria pe un sistem numeric de bază 60.
Se spune că tableta paleo-babiloniană Plimpton 322 ( cca -1800 ) prezintă rudimentele trigonometriei.
Astronomi greciAstronomul și matematicianul grec Hipparchus din Niceea ( -190 ; -120 ) au construit primele tabele trigonometrice sub formă de tabele de corzi: acestea corespundeau fiecărei valori a unghiului din centru (cu o divizare a cercului în 360 °) , lungimea coardei interceptate în cerc, pentru o rază fixă dată. Acest calcul corespunde dublului sinusului unghiului jumătate și, prin urmare, dă, într-un fel, ceea ce numim astăzi o masă de sinusuri. Cu toate acestea, tabelele lui Hipparchus ne ajungând la noi, ne sunt cunoscute doar de grecul Ptolemeu , care le-a publicat, în jurul anului 150, cu modul lor de construcție în Almagestul său . Astfel au fost redescoperite la sfârșitul Evului Mediu de Georg von Purbach și de elevul său Regiomontanus . Este atribuită Menelau din Alexandria (târziu I st sec) evoluția trigonometria sferică , cel puțin parțial prezent în Almagest și lung atribuite Ptolemeu însuși.
Matematicieni indieniÎn jurul anului 400, a fost întocmit un tratat indian de astronomie, Surya Siddhanta , care a fost inspirat din astronomia greacă, dar care a adus o inovație în ceea ce privește trigonometria. În timp ce matematicienii greci au asociat măsurarea unui șir cu un arc, lucrarea preferă să asocieze jumătatea de șir cu un arc dat. Aceasta va da naștere conceptului de sinusuri. Va fi la fel mai târziu cu matematicienii arabi. Matematicianul indian Âryabhata , în 499, oferă un tabel de sinusuri și cosinus. Folosește zya pentru sinus, kotizya pentru cosinus și otkram zya pentru inversul sinusului. De asemenea, introduce sinusurile .
Un alt matematician indian, Brahmagupta , folosește interpolare numerică în 628 pentru a calcula valoarea sinelor până la ordinea a doua.
Ridică-te în lumea musulmanăÎn lumea musulmană, trigonometria ia statutul de disciplină deplină și se distinge de astronomie.
Abu l-Wafa ( 940 - 998 ) simplifică Almagestul lui Ptolemeu prin înlocuirea utilizării teoremei lui Ptolemeu (pe care el o numește metoda patrulaterului și a celor șase cantități ) prin formule trigonometrice comparabile cu ale noastre (sinusul sumei a două arce, de exemplu). Omar Khayyam ( 1048 - 1131 ) combină utilizarea trigonometriei și a teoriei aproximării pentru a furniza metode de rezolvare a ecuațiilor algebrice prin geometrie. Metodele detaliate de construire a tabelelor sinus și cosinus pentru toate unghiurile au fost scrise de matematicianul Bhāskara II în 1150 . De asemenea, el dezvoltă trigonometrie sferică . În secolul al XIII- lea , Nasir al-Din Tusi , urmând Bhāskara, este probabil unul dintre primii care au tratat trigonometria ca pe o disciplină separată a matematicii. În cele din urmă, în secolul al XIV- lea , Al-Kashi creează tabele funcții trigonometrice în studiile sale de astronomie.
În Europa: redescoperirea lui PtolemeuÎn 1220, în Europa, Fibonacci a propus un tabel trigonometric în Practica Geometriae , dar care din păcate avea mai multe erori.
Punerea în aplicare a măsurilor specifice trigonometrice se dezvoltă spre mijlocul al XV - lea secol, cu traducerea în latină a operelor lui Ptolemeu. Pionierii în acest domeniu sunt Georg von Peuerbach și mai ales elevul său Regiomontanus . Acesta din urmă adoptă noțiunea de sine folosită de matematicienii indieni și arabi. Întocmește o masă sinusoidală cu o rază de 600.000 de unități, apoi 10.000.000 de unități și oferă, de asemenea, o masă tangentă. În urma timpurie XVI - lea tratate secolul Oronce Fine , Pedro Nunes și Joachim Rheticus . Acesta din urmă întocmește un tabel trigonometric pentru o rază de 10 15 unități și cu o creștere de 10 secunde de arc. Matematicianul din Silezia Bartholomäus Pitiscus a publicat în 1595 o remarcabilă lucrare despre trigonometrie , al cărei titlu ( Trigonometria ) i-a dat disciplinei numele. Matematicianul flamand Adrien Romain a introdus notația modernă .
Utilizarea razelor cu o putere de 10 ca măsură și dezvoltarea calculului zecimal la sfârșitul secolului al XVI- lea , cu François Viète și Simon Stevin , au dus treptat la o unitate de rază și să fie introduse ca număr și nu mai ca raport de două lungimi.
În Aplicațiile de trigonometrie sunt extrem de numeroase. În special, este utilizat în astronomie și în navigație, în special cu tehnica de triangulare . Celelalte domenii în care este implicată trigonometria sunt (listă neexhaustivă): fizică , electricitate , electronică , mecanică , acustică , optică , statistici , economie , biologie , chimie , medicină , meteorologie , geodezie , geografie , cartografie , criptografie , informatică, etc.
O posibilă definiție a funcțiilor trigonometrice este utilizarea triunghiurilor dreptunghiulare, adică a triunghiurilor care au un unghi drept (90 de grade sau π / 2 radiani ).
Și pentru că suma unghiurilor unui triunghi este de 180 ° (sau π radiani), cel mai mare unghi într-un astfel de triunghi este unghiul drept. Cea mai lungă latură dintr-un triunghi dreptunghiular, adică latura opusă unghiului mai mare (unghiul drept), se numește hipotenuză .
În figura din dreapta, unghiul formează unghiul drept. [ AB ] parte este ipotenuza.
Funcțiile trigonometrice sunt definite după cum urmează, notând unghiul :
Acestea sunt cele mai importante funcții trigonometrice. Au fost definite pentru unghiuri cuprinse între 0 ° și 90 ° (adică între 0 și π / 2 radiani). Folosind cercul unitar , putem extinde această definiție la orice unghi, așa cum sa discutat în articolul Funcții trigonometrice .
Oricare ar fi cel real , avem (conform teoremei lui Pitagora ):
Cele două formule principale sunt formulele de adăugare pentru cosinus și sinus:
; .Deducem asta pentru tangenta:
,și diferența de formule (înlocuirea lui B cu -B , știind că funcția cosinusului este pereche și funcțiile sinus și tangente sunt impare ).
Din formulele de adunare și diferență (a se vedea mai sus ), deducem:
Dezvoltare , în special , , în special , ; Factorizarea , , .Aceste formule sunt implicate în multe probleme. Întrebând :
,avem :
.Rezultatele date aici și în secțiunile următoare se referă la măsurători în geometria euclidiană . Studiul acelorași întrebări în geometria sferică se face în articolul trigonometrie sferică , iar în geometria hiperbolică în articolul Funcția hiperbolică .
Pentru un triunghi ABC cu laturile a = BC, b = AC și c = AB, avem ( legea cosinusului ):
.Această formulă are o importanță deosebită în triangulație și a fost utilizată inițial în astronomie. Pentru Ghiyath, matematicianul al-Kashi , școala din Samarkand , trebuie abordat teorema într-o formă utilizabilă pentru triangulare în secolul al XV- lea.
Notă: când sau , avem , adică teorema lui Pitagora.
Rezolvarea unui triunghi este dată de o latură și două unghiuri adiacente, sau un unghi și două laturi adiacente, sau cel mult două laturi b și c și unghiul lor B , găsind triunghiul corespunzător, adică să spunem a , b , c , A , B și C (și verificați una dintre regulile care nu sunt aplicate în proces).
Rezolvăm acest tip de problemă folosind formulele anterioare (plus formula de proiecție evidentă a = b · cos C + c · cos B ).
De exemplu :
Pe axa Ox , OB = 1 și OC = 1,5. OBM = 60 ° și OCM = 30 °. Găsiți M: Realizați desenul; M se găsește la ( x = 0,75; y = 0,45) aproximativ. Motiv: în triunghiul BMC, B = 120 ° și C = 30 ° deci M = 30 °; prin urmare triunghiul este isoscel în B și BM ' = 0,5. Apoi . Fie H proiecția lui M pe axă: HM = y iar unghiul HMB valorează 30 °. și . Distanța , azimutul lui M este de 30 °, iar unghiul OMB este de 90 °.Este rar că este atât de simplu în practică.
De obicei, sunt solicitate patru până la șase cifre semnificative. Calculatoarele au redus mult munca destul de obositoare de „reducere a triunghiurilor”. Reamintim că măsura de gradul de meridianul de arc de la Paris de teren a avut loc în acest fel între Malvoisine și Montlhéry de Abbe Picard , în mijlocul XVII - lea secol.
Aria A a triunghiului este determinată folosind lungimea a două laturi și sinusul unghiului pe care îl formează:
.Din o astfel de egalitate, aplicată fiecărui vârf al triunghiului, putem deduce legea sinusurilor .
Formula anterioară, completată de legea cosinusului , face posibilă, de asemenea, stabilirea formulei lui Heron :
,unde a , b și c sunt lungimile laturilor sale și p reprezintă jumătatea perimetrului triunghiului:
.John Machin a fost primul care a calculat π cu 100 de zecimale, în 1706, folosind formula sa . Formule de acest tip au fost folosite până astăzi pentru a calcula un număr mare de zecimale ale π .