Funcția gamma

Funcția gamma este pe deplin caracterizată printre funcțiile holomorfe ale semiplanului complex Re ( z )> 0 prin următoarele trei proprietăți ( teorema lui Wielandt ):

• Γ(1)=1{\ displaystyle \ Gamma (1) = 1 \,}
• Pentru toate z astfel încât Re ( z )> 0 ,Γ(z+1)=zΓ(z){\ displaystyle \ Gamma (z + 1) = z \; \ Gamma (z) \,}
• |Γ(z)|{\ displaystyle | \ Gamma (z) | \,}este delimitat în banda 1 ≤ Re ( z ) ≤ 2.

Alte proprietăți

Formula suplimentului

Funcția gamma verifică formula de reflexie a lui Euler sau completează formula

∀z∈VS∖ZΓ(1-z)Γ(z)=πpăcat⁡(πz),{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {Z} \ quad \ Gamma (1-z) \; \ Gamma (z) = {\ pi \ over \ sin (\ pi z)} ,}

care dovedim mai întâi observând că Γ (1 - z ) Γ ( z ) este 2-periodice și are aceleași poli și ca reziduuri . πpăcat⁡(πz){\ displaystyle {\ tfrac {\ pi} {\ sin (\ pi z)}}}

Formula de multiplicare

Funcția gamma verifică și formula de duplicare: Γ(z)Γ(z+12)=21-2zπΓ(2z).{\ displaystyle \ Gamma (z) \; \ Gamma \ left (z + {\ frac {1} {2}} \ right) = 2 ^ {1-2z} \; {\ sqrt {\ pi}} \; \ Gamma (2z).}

Formula de duplicare este un caz special al teoremei multiplicării:

Γ(z)Γ(z+1m)Γ(z+2m)⋯Γ(z+m-1m)=(2π)(m-1)/2m1/2-mzΓ(mz).{\ displaystyle \ Gamma (z) \; \ Gamma \ left (z + {\ frac {1} {m}} \ right) \; \ Gamma \ left (z + {\ frac {2} {m}} \ dreapta) \ cdots \ Gamma \ left (z + {\ frac {m-1} {m}} \ right) = (2 \ pi) ^ {(m-1) / 2} \; m ^ {1/2 -mz} \; \ Gamma (mz).}

Această funcție apare și în formule, inclusiv funcția zeta Riemann .

Reziduuri

Funcția gamma are un pol de ordinul 1 în z  = - n pentru orice număr natural n . Reziduul funcției la acest pol este dată de:

Rez⁡(Γ,-nu)=(-1)nunu!.{\ displaystyle \ operatorname {Res} (\ Gamma, -n) = {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}}.}

Derivate

Funcția gamma este infinit diferențiată pe (adică p ori diferențiată pentru orice număr întreg p ). Derivatul său este exprimat folosind funcția digamma  :R+∗{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}Γ′(z)=Γ(z)ψ0(z).{\ displaystyle \ Gamma '(z) = \ Gamma (z) \ psi _ {0} (z). \,}

Mai general, derivata sa p are următoarea expresie integrală: R+∗{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}

Γ(p)(X)=∫0+∞(ln⁡t)ptX-1e-tdt{\ displaystyle \ Gamma ^ {(p)} (x) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {(\ ln t) ^ {p} \, t ^ {x-1} \, \ operatorname {e} ^ {- t} \, \ mathrm {d} t}}

Legătură cu sume gaussiene

Definirea funcției gamma ca o integrală face ca aceasta să apară ca o convoluție între un caracter aditiv (exponențialul) și un caracter multiplicativ ( ). X↦Xs{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {s}}

Legătură cu alte funcții

Funcția gamma este legată de funcția Riemann ζ prin:

ζ(s)Γ(s)=∫0+∞ts-1et-1dt{\ displaystyle \ zeta (s) \, \ Gamma (s) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {t ^ {s-1}} {\ mathrm {e} ^ {t} -1}} \, \ mathrm {d} t}

Este legat de funcția eta a lui Dirichlet prin:

Γ(s)η(s)=∫0∞Xs-1eX+1dX{\ displaystyle \ Gamma (s) \, \ eta (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {s-1}} {\ mathrm {e} ^ {x} + 1}} \, \ mathrm {d} x}

∫01∫01(-ln⁡(Xy))s-21+XydXdy{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {(- \ ln (xy)) ^ {s-2}} {1 + xy}} \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y}

În definiția funcției gamma în formă integrală, limitele integralei sunt fixate; funcția gamma incompletă este funcția obținută prin modificarea limita inferioară sau superioară legat.

Funcția gamma este legată de funcția beta prin formula:

B(X,y)=Γ(X)Γ(y)Γ(X+y).{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \; \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}.}

Logaritmul functiei gamma , este uneori numit lngamma . Este implicat în special în rezolvarea problemelor de propagare a undelor  : ecuația funcțională a funcției lngamma este:

ln⁡Γ(z)=ln⁡Γ(z+1)-ln⁡(z){\ displaystyle \ ln \ Gamma (z) = \ ln \ Gamma (z + 1) - \ ln (z)}

Dacă cunoaștem valorile funcției pe o bandă de lățime 1 în Re ( z ), obținem prin această relație valorile într-o bandă vecină cu aceeași lățime și putem repeta acest proces. Plecând de la un z cu Re ( z ) >> 1 pentru care cunoaștem o bună aproximare, putem ajunge astfel la valoarea pentru orice z .

Rocktaeschel (1922, urmând o indicație a lui Gauss) propune aproximarea pentru Re ( z ) mare:

ln⁡Γ(z)≈(z-12)ln⁡z-z+12ln⁡(2π){\ displaystyle \ ln \ Gamma (z) \ approx (z - {\ tfrac {1} {2}}) \ ln z-z + {\ tfrac {1} {2}} \ ln (2 \ pi)}

Putem deduce o aproximare a ln Γ ( z ) pentru Re ( z ) mai mic, folosind:

ln⁡Γ(z-m)=ln⁡Γ(z)-∑k=1mln⁡(z-k){\ displaystyle \ ln \ Gamma (zm) = \ ln \ Gamma (z) - \ sum _ {k = 1} ^ {m} \ ln (zk)}

Derivata logaritmului funcției gamma este numită funcția digamma . Derivații de ordin superior sunt funcțiile poligammei .

Un analog al funcției gamma pe un câmp finit sau un inel finit este furnizat de sumele Gauss .

Conform expresiei lui Euler pentru funcția gamma ( vezi mai sus ), inversul său  (en) este o funcție întreagă .

Valori speciale

Această secțiune indică câteva valori particulare ale funcției gamma  (en) și ale derivatelor sale.

Valoarea lui Γ (1/2) = √ π este cea a integralei Gaussiene  ; se poate deduce și din formula suplimentului . Această valoare face posibilă, prin inducție , determinarea celorlalte valori ale funcției gamma pentru jumătățile întregi pozitive:

Γ(3/2)=π2,Γ(5/2)=3π4,...,{\ displaystyle \ Gamma (3/2) = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}}, \ quad \ Gamma (5/2) = {\ frac {3 {\ sqrt {\ pi}} } {4}}, \ ldots,}

Γ(nu+12)=(nu-12)Γ(nu-12)=(nu-12)(nu-32)⋯3212Γ(12)=(2nu)!22nunu!π{\ displaystyle \ Gamma \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) = \ left (n - {\ frac {1} {2}} \ right) \ Gamma \ left (n - { \ frac {1} {2}} \ right) = \ left (n - {\ frac {1} {2}} \ right) \ left (n - {\ frac {3} {2}} \ right) \ cdots {\ frac {3} {2}} \, {\ frac {1} {2}} \, \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = {\ frac {(2n )!} {2 ^ {2n} n!}} {\ Sqrt {\ pi}}}

dar și negativ, de exemplu:

Γ(-1/2)=-2π{\ displaystyle \ Gamma (-1/2) = - 2 {\ sqrt {\ pi}}}

În ceea ce privește derivații acesteia, cu γ constanta Euler-Mascheroni  :

Γ′(nu+1)=Γ(nu+1)ψ0(nu+1)=nu!(-γ+∑1≤k≤nu1k){\ displaystyle \ Gamma '(n + 1) = \ Gamma (n + 1) \ psi _ {0} (n + 1) = n! \ left (- \ gamma + \ sum _ {1 \ leq k \ leq n} {\ frac {1} {k}} \ right)}

Γ′(nu+12)=Γ(nu+12)ψ0(nu+12)=(2nu)!22nunu!π(-γ-2ln⁡2+∑1≤k≤nu22k-1){\ displaystyle \ Gamma '\ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) = \ Gamma \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) \ psi _ {0 } \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) = {\ frac {(2n)!} {2 ^ {2n} n!}} {\ sqrt {\ pi}} \ left ( - \ gamma -2 \ ln 2+ \ sum _ {1 \ leq k \ leq n} {\ frac {2} {2k-1}} \ right)}

Γ″(1/2)=π(γ+2ln⁡(2))2+π5/22,Γ″(1)=γ2+π26,Γ″(2)=(1-γ)2+π26-1{\ displaystyle \ Gamma '' (1/2) = {\ sqrt {\ pi}} (\ gamma +2 \, \ ln (2)) ^ {2} + {\ frac {\ pi ^ {5/2 }} {2}}, \ quad \ Gamma '' (1) = \ gamma ^ {2} + {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}, \ quad \ Gamma '' (2) = (1- \ gamma) ^ {2} + {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} - 1}

Cunoaștem unele rezultate ale transcendenței și chiar ale independenței algebrice asupra valorilor lui Γ în anumite puncte raționale .

O presupunere a lui Rohrlich a prezis că orice relație de formă multiplicativă

πb/2∏Γ(lak)mk∈ί,(b∈Z,lak∈Î,mk∈Z){\ displaystyle \ pi ^ {b / 2} \ prod \ Gamma (a_ {k}) ^ {m_ {k}} \ in {\ overline {\ mathbb {Q}}}, \ quad (b \ in \ mathbb {Z}, \; a_ {k} \ in \ mathbb {Q}, \; m_ {k} \ in \ mathbb {Z})}

( în cazul în care ℚ reprezintă domeniul de numere algebrice ) se deduce din cele trei relații standard:

Γ(z+1)=zΓ(z),Γ(1-z)Γ(z)=πpăcat⁡(πz),∏0≤k<nuΓ(z+knu)=(2π)(nu-1)/2nu-nuz+1/2Γ(nuz){\ displaystyle \ Gamma (z + 1) = z \ Gamma (z), \ quad \ Gamma (1-z) \ Gamma (z) = {\ pi \ over \ sin (\ pi z)}, \ quad \ prod _ {0 \ leq k <n} \ Gamma \ left (z + {\ frac {k} {n}} \ right) = (2 \ pi) ^ {(n-1) / 2} n ^ {- nz +1/2} \ Gamma (nz)}

Formula asimptotică Stirling

De la Γ ( z ) și Γ ( z +1)

Formula Stirling oferă un echivalent în vecinătatea infinitului factorului:

nu!=2πnunu+12e-nu+μ(nu) pentru nu∈NU ,{\ displaystyle n \ ,! = {\ sqrt {2 \ pi}} \, n ^ {n + {\ frac {1} {2}}} {\ rm {e}} ^ {- n + \ mu ( n)} {\ text {for}} n \ in \ mathbb {N} \,}

cu μ funcția Binet  :

μ(z)=∑k=1∞B2k2k(2k-1)z2k-1 ,{\ displaystyle \ mu (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2k}} {2k (2k-1) z ^ {2k-1}}} \,}

și B i la numerele Bernoulli . Știind că Γ ( n +1) = n ! pe ℕ , acest echivalent se generalizează cu funcția gamma:

Γ(z+1)=2πzz+12e-z+μ(z) pentru z∈VS∖Z-∗ ,{\ displaystyle \ Gamma (z + 1) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z + {\ frac {1} {2}}} {\ rm {e}} ^ {- z + \ mu (z)} {\ text {for}} z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {Z _ {-} ^ {*}} \,}

de unde :

Γ(z)=Γ(z+1)z=2πzz-12e-z+μ(z) pentru z∈VS∖Z- .{\ displaystyle \ Gamma (z) = {\ frac {\ Gamma (z + 1)} {z}} = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z - {\ frac {1} {2 }}} {\ rm {e}} ^ {- z + \ mu (z)} {\ text {for}} z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {Z _ {-}} \.}

Calculând primii termeni ai e μ datorită formei exponențiale  (en) , obținem expansiunea asimptotică  :

Γ(z)=2πzz-12e-z[1+112z+1288z2-13951840z3-5712488320z4+163879209018880z5+O(1z6)] .{\ displaystyle \ Gamma (z) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z - {\ frac {1} {2}}} {\ rm {e}} ^ {- z} \ left [1 + {\ frac {1} {12z}} + {\ frac {1} {288z ^ {2}}} - {\ frac {139} {51840z ^ {3}}} - {\ frac {571} {2488320z ^ {4}}} + {\ frac {163879} {209018880z ^ {5}}} + {\ mathcal {O}} \ left ({\ frac {1} {z ^ {6}}} \ right ) \ dreapta] \.}

De la Γ ( z + ½)

Echivalentul în z + ½ merită:

Γ(z+12)=2πzze-z+β(z) ,{\ displaystyle \ Gamma \ left (z + {\ frac {1} {2}} \ right) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z} {\ rm {e}} ^ {- z + \ beta (z)} \,}

cu:

β(z)=∑k=1∞(122k-1-1)B2k2k(2k-1)z2k-1 ,{\ displaystyle \ beta (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ left ({\ frac {1} {2 ^ {2k-1}}} - 1 \ right) B_ {2k}} {2k (2k-1) z ^ {2k-1}}} \,}

de aici dezvoltarea asimptotică:

Γ(z+12)=2πzze-z[1-124z+11152z2+1003414720z3-402739813120z4-51284236688604160z5+O(1z6)] .{\ displaystyle \ Gamma \ left (z + {\ frac {1} {2}} \ right) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z} {\ rm {e}} ^ {- z} \ left [1 - {\ frac {1} {24z}} + {\ frac {1} {1152z ^ {2}}} + {\ frac {1003} {414720z ^ {3}}} - {\ frac {4027} {39813120z ^ {4}}} - {\ frac {5128423} {6688604160z ^ {5}}} + {\ mathcal {O}} \ left ({\ frac {1} {z ^ {6} }} \ right) \ right] \.}

Caz general

Mai general, pentru | a | <| z | , echivalentul în z + a ∉ ℤ - merită:

Γ(z+la)=2πzz+la-12exp⁡(-z-∑k=2∞Bk(la)k(k-1)(-z)k-1){\ displaystyle \ Gamma (z + a) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z + a - {\ frac {1} {2}}} \ exp \ left (-z- \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {k} (a)} {k (k-1) (- z) ^ {k-1}}} \ right)}

unde B k sunt polinoamele Bernoulli .

Prin generalizare asupra complexelor formulei Stirling, știm că, pentru z ∉ ℤ -  :

Γ(z)=2πzz-12exp⁡(-z+∑k=1∞B2k2k(2k-1)z2k-1){\ displaystyle \ Gamma (z) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z - {\ frac {1} {2}}} \ exp \ left (-z + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2k}} {2k (2k-1) z ^ {2k-1}}} \ right)}

Deoarece numerele Bernoulli cu rang impar mai mare sau egal cu 3 sunt zero , putem scrie, de asemenea, schimbând variabila i = 2 k și introducând termenii (zero) de rang impar:

Γ(z)=2πzz-12exp⁡(-z+∑eu=2∞Beueu(eu-1)zeu-1){\ displaystyle \ Gamma (z) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z - {\ frac {1} {2}}} \ exp \ left (-z + \ sum _ {i = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {i}} {i (i-1) z ^ {i-1}}} \ right)}

de unde :

Γ(z+la)=2π(z+la)z+la-12exp⁡(-(z+la)+∑eu=2∞Beueu(eu-1)(z+la)eu-1){\ displaystyle \ Gamma (z + a) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, (z + a) ^ {z + a - {\ frac {1} {2}}} \ exp \ left (- (z + a) + \ sum _ {i = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {i}} {i (i-1) (z + a) ^ {i-1}}} \ right )}}

z fiind diferit de zero, putem factoriza z + a în z × (1+ a / z )  :

Γ(z+la)=2πzz+la-12(1+laz)z+la-12exp⁡(-z-la+∑eu=2∞Beueu(eu-1)zeu-1(1+laz)eu-1)=2πzz+la-12exp⁡(-z+(z+la-12)ln⁡(1+laz)-la+∑eu=2∞Beueu(eu-1)zeu-1(1+laz)-(eu-1)).{\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma (z + a) & = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z + a - {\ frac {1} {2}}} \ left ( 1 + {\ tfrac {a} {z}} \ right) ^ {z + a - {\ frac {1} {2}}} \ exp \ left (-za + \ sum _ {i = 2} ^ { \ infty} {\ frac {B_ {i}} {i (i-1) z ^ {i-1} (1 + {\ frac {a} {z}}) ^ {i-1}}} \ right ) \\ & = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z + a - {\ frac {1} {2}}} \ exp \ left (-z + \ left (z + a- { \ frac {1} {2}} \ right) \ ln \ left (1 + {\ frac {a} {z}} \ right) -a + \ sum _ {i = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {i}} {i (i-1) z ^ {i-1}}} \ left (1 + {\ frac {a} {z}} \ right) ^ {- (i-1)} \ dreapta). \ end {align}}}

După ce a pozat | a | <| z | , avem | a / z | <1 , care permite dezvoltarea pe de o parte a seriei Taylor a logaritmului ln (1 + x ) (valabil pentru | x | <1 ) și pe de altă parte binomul negativ (1 + x ) - n (valabil pentru | x | <1 și n ∈ ℕ * ):

ln⁡(1+laz)=-∑k=1∞(-laz)kk=-∑k=1∞(-la)kkzk=-∑k=2∞(-la)k-1(k-1)zk-1{\ displaystyle \ ln \ left (1 + {\ tfrac {a} {z}} \ right) = - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (- {\ frac { a} {z}} \ right) ^ {k}} {k}} = - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-a) ^ {k}} {k \, z ^ {k}}} = - \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-a) ^ {k-1}} {(k-1) \, z ^ {k- 1}}}}

(1+laz)-(eu-1)=∑j=0∞(eu+j-2j)(-laz)j=∑j=0∞(eu+j-2)!(-la)j(eu-2)!j!zj.{\ displaystyle \ left (1 + {\ tfrac {a} {z}} \ right) ^ {- (i-1)} = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ binom {i + j-2} {j}} \ left (- {\ frac {a} {z}} \ right) ^ {j} = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(i + j-2)! \, (- a) ^ {j}} {(i-2)! \, j! \, z ^ {j}}}.}

Prin urmare, avem, pe de o parte, prin dezvoltarea logaritmului:

zln⁡(1+laz)=-∑k=1∞(-la)kkzk-1=la-∑k=2∞(-la)kkzk-1{\ displaystyle z \ ln \ left (1 + {\ tfrac {a} {z}} \ right) = - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-a) ^ {k }} {k \, z ^ {k-1}}} = a- \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-a) ^ {k}} {k \, z ^ {k-1}}}}

și:

laln⁡(1+laz)=-la∑k=2∞(-la)k-1(k-1)zk-1=∑k=2∞(-la)k(k-1)zk-1{\ displaystyle a \ ln \ left (1 + {\ tfrac {a} {z}} \ right) = - a \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-a) ^ { k-1}} {(k-1) \, z ^ {k-1}}} = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-a) ^ {k}} { (k-1) \, z ^ {k-1}}}}

de unde :

(z+la-12)ln⁡(1+laz)-la=la+∑k=2∞(1k-1-1k)(-la)kzk-1+12∑k=2∞(-la)k-1(k-1)zk-1-la=∑k=2∞(-la)kk(k-1)zk-1+12∑k=2∞(-la)k-1(k-1)zk-1=∑k=2∞(-la)k+k2(-la)k-1k(k-1)zk-1.{\ displaystyle {\ begin {align} \ left (z + a - {\ tfrac {1} {2}} \ right) \ ln \ left (1 + {\ tfrac {a} {z}} \ right) - a & = a + \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {k-1}} - {\ frac {1} {k}} \ right) {\ frac {(-a) ^ {k}} {z ^ {k-1}}} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(- a) ^ {k-1}} {(k-1) \, z ^ {k-1}}} - a \\ & = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {( -a) ^ {k}} {k \, (k-1) \, z ^ {k-1}}} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-a) ^ {k-1}} {(k-1) \, z ^ {k-1}}} \\ & = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty } {\ frac {(-a) ^ {k} + {\ frac {k} {2}} \, (- a) ^ {k-1}} {k \, (k-1) \, z ^ {k -1}}}. \ End {aliniat}}}

Pe de altă parte, avem, prin dezvoltarea binomului negativ, apoi procedând la schimbarea variabilei k = i + j  :

Beueu(eu-1)zeu-1(1+laz)-(eu-1)=∑j=0∞Beu(eu+j-2)!(-la)jeu!j!zeu-1+j=∑k=eu∞Beu(k-2)!(-la)k-eueu!(k-eu)!zk-1=∑k=eu∞(keu)Beu(-la)k-euk(k-1)zk-1 .{\ displaystyle {\ frac {B_ {i}} {i \, (i-1) \, z ^ {i-1}}} \ left (1 + {\ frac {a} {z}} \ right) ^ {- (i-1)} = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {i} \, (i + j-2)! \, (- a) ^ {j }} {i! \, j! \, z ^ {i-1 + j}}} = \ sum _ {k = i} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {i} \, (k-2 )! \, (- a) ^ {ki}} {i! \, (ki)! \, z ^ {k-1}}} = \ sum _ {k = i} ^ {\ infty} {\ binom {k} {i}} {\ frac {B_ {i} \, (- a) ^ {ki}} {k \, (k-1) \, z ^ {k-1}}} \.}

Deoarece pentru k < i și i fiind cel puțin 2 , putem extinde suma de mai sus pentru k mergând de la 2 (mai jos, am avea forma nedeterminată 0/0 ) la i - 1 (suma de i - 2 termeni, deci în cel mai rău caz , o sumă goală , validă, dacă i = 2 ): (keu)=0{\ displaystyle {\ tbinom {k} {i}} = 0}

Beueu(eu-1)zeu-1(1+laz)-(eu-1)=∑k=2∞(keu)Beu(-la)k-euk(k-1)zk-1{\ displaystyle {\ frac {B_ {i}} {i \, (i-1) \, z ^ {i-1}}} \ left (1 + {\ frac {a} {z}} \ right) ^ {- (i-1)} = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ binom {k} {i}} {\ frac {B_ {i} \, (- a) ^ {ki }} {k \, (k-1) \, z ^ {k-1}}}}

Reamintim că polinoamele Bernoulli verifică  :

Bk(X)=∑eu=0k(keu)BeuXk-eu=B0Xk+kB1Xk-1+∑eu=2k(keu)BeuXk-eu=Xk-k2Xk-1+∑eu=2k(keu)BeuXk-eu{\ displaystyle B_ {k} (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {k} {\ binom {k} {i}} B_ {i} \, x ^ {ki} = B_ {0} \ , x ^ {k} + k \, B_ {1} \, x ^ {k-1} + \ sum _ {i = 2} ^ {k} {\ binom {k} {i}} B_ {i} \, x ^ {ki} = x ^ {k} - {\ frac {k} {2}} \, x ^ {k-1} + \ sum _ {i = 2} ^ {k} {\ binom { k} {i}} B_ {i} \, x ^ {ki}}

precum și  :

Bk(-X)=(-1)k[Bk(X)+kXk-1]=(-1)kBk(X)-k(-X)k-1{\ displaystyle B_ {k} (- x) = (- 1) ^ {k} \ left [B_ {k} (x) + k \, x ^ {k-1} \ right] = (- 1) ^ {k} B_ {k} (x) -k \, (- x) ^ {k-1}}

de unde :

∑eu=2∞Beueu(eu-1)zeu-1(1+laz)-(eu-1)=∑k=2∞∑eu=2∞(keu)Beu(-la)k-euk(k-1)zk-1=∑k=2∞Bk(-la)-(-la)k+k2(-la)k-1k(k-1)zk-1=∑k=2∞(-1)kBk(la)-k(-la)k-1-(-la)k+k2(-la)k-1k(k-1)zk-1=∑k=2∞(-1)kBk(la)-(-la)k-k2(-la)k-1k(k-1)zk-1=-∑k=2∞Bk(la)k(k-1)(-z)k-1-[(z+la-12)ln⁡(1+laz)-la].{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {i = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {i}} {i \, (i-1) \, z ^ {i-1}} } \ left (1 + {\ frac {a} {z}} \ right) ^ {- (i-1)} & = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} \ sum _ {i = 2 } ^ {\ infty} {\ binom {k} {i}} {\ frac {B_ {i} \, (- a) ^ {ki}} {k \, (k-1) \, z ^ {k -1}}} = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {k} (- a) - (- a) ^ {k} + {\ frac {k} {2} } \, (- a) ^ {k-1}} {k \, (k-1) \, z ^ {k-1}}} \\ & = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty } {\ frac {(-1) ^ {k} B_ {k} (a) -k \, (- a) ^ {k-1} - (- a) ^ {k} + {\ frac {k} {2}} \, (- a) ^ {k-1}} {k \, (k-1) \, z ^ {k-1}}} \\ & = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} B_ {k} (a) - (- a) ^ {k} - {\ frac {k} {2}} \, (- a) ^ {k-1}} {k \, (k-1) \, z ^ {k-1}}} \\ & = - \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ { k} (a)} {k \, (k-1) \, (- z) ^ {k-1}}} - \ left [\ left (z + a - {\ tfrac {1} {2}} \ right) \ ln \ left (1 + {\ tfrac {a} {z}} \ right) -a \ right]. \ end {align}}}

Deci pentru | a | <| z |  :

Γ(z+la)=2πzz+la-12exp⁡(-z-∑k=2∞Bk(la)k(k-1)(-z)k-1){\ displaystyle \ Gamma (z + a) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z + a - {\ frac {1} {2}}} \ exp \ left (-z- \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {k} (a)} {k (k-1) (- z) ^ {k-1}}} \ right)}

Stabilind respectiv un egal cu 0 , ½ și 1 și cunoașterea valorilor particulare ale polinoamelor Bernoulli în aceste puncte, găsim imediat echivalenții în z , z + ½ și z + 1 menționați mai sus.

Istorie

Prima apariție a unui produs care va da naștere ulterior funcției gamma se datorează lui Daniel Bernoulli într-o scrisoare către Christian Goldbach .

În notația modernă

X!=limnu→∞(nu+1+X2)X-1∏eu=1nueu+1eu+X{\ displaystyle x! = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (n + 1 + {\ frac {x} {2}} \ right) ^ {x-1} \ prod _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {i + 1} {i + x}}}

Tot în 1729, Euler a întreprins studiul acestui produs și i-a dat forma integrală.

Legendre a fost cel care, în 1811, a remarcat această funcție , aducând multe adăugiri studiului său. Γ{\ displaystyle \ Gamma}

Articolul lui Borwein și Corless trece în revistă trei secole de muncă matematică asupra funcției gamma.

Note și referințe

1. Vezi de exemplu începutul acestei misiuni corectate pe Wikiversitate .
2. Pentru cazul particular în care z este un real strict pozitiv, consultați articolul Teorema lui Bohr-Mollerup . Pentru cazul general, a se vedea acest exercițiu corectat pe Wikiversity .
3. (De) O. Schlömilch, "  Einiges über die Eulerischen Integrale der zweiten Art  " , Archiv der Mathematik und Physik , vol.  4,1844, p.  171 ( citește online ).
4. (în) JLWV Jensen , „  O expunere elementară a teoriei funcției Gamma  ” , Ann. de matematică. , 2 nd serii, voi.  17, n o  3,1916, p.  124-166 ( JSTOR  2007272 )( pag.  128 ).
5. "În 1844, cu 32 de ani înainte de celebra lucrare a Weierstrass privind funcțiile întregi  "  : (en) SS Dragomir, RP AgarwalRavi Agarwal și NS Barnett, "  Inegalități pentru funcțiile beta și Gamma prin intermediul unor inegalități integrale clasice și noi  " , J. Inegal. Aplic.  (nl) , vol.  5, n o  22000, p.  103-165 ( citește online )( pag.  107 ).
6. (în) Jesús Guillera și Jonathan Sondow, "  Integrale duble și produse infinite pentru unele constante clasice prin continuări analitice ale transcendentului lui Lerch  " , The Ramanujan Journal , vol.  16, n o  3,2008, p.  247-270 ( DOI  10.1007 / s11139-007-9102-0 , arXiv  math / 0506319 ).
7. (în) Karl rawer , Propagarea valurilor în ionosferă , Dordrecht, Kluwer Academic Publishers,1993.
8. De la (de) SAU Rocktäschel, Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument , University of Technology Dresden ,1922, teză de doctorat.
9. (de) PE Böhmer, Differenzengleichungen und bestimmte Integrale , Leipzig, Köhler Verlag,1939.
10. (în) Serge Lang , Analiză complexă , Springer , al.  „  GTM  ” ( nr .  103)1998, 489  p. ( ISBN  978-0-387-98592-3 , citit online ) , p.  418.
11. Paul Heinrich Fuss , corespondență matematică și fizică a unor matematicieni celebri din secolul  al XVIII- lea , vol.  II, Sankt Petersburg, Academia Imperială de Științe ,1843( citiți online ) , p.  324-325.
12. (în) Detlef Gronau , „  De ce este funcția gamma așa cum este?  ” , Predarea matematicii și informaticii , vol.  1, n o  1,2003, p.  43-53.
13. G. K. Srinivasan, „  The Gamma function: An Eclectic Tour  ”, The American Mathematical Monthly , vol.  114, nr .  4,2007, p.  297-315 ( DOI  10.1080 / 00029890.2007.11920418 )
14. L. Euler, „  De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt  ” , la http://eulerarchive.maa.org
15. A.-M. Legendre, Exerciții în calcul integral pe diferite ordine de transcendență și pe quadraturi , t.  1, Vve Courcier (Paris),1811( citiți online ) , p.  221
16. (în) Jonathan M. Borwein și Robert M. Corless, Gamma and Factorial in the Monthly , 17 martie 2017 arXiv : 1703.05349

Vezi și tu

Articole similare

• Constanta Gaussiană
• Legea gamma
• Funcția beta
• Funcția Digamma
• Funcția eliptică gamma  (en)
• Funcția gamma incompletă
• Funcția gamma multidimensională
• Funcția poligamă
• Funcția Trigamma  (ro)
• Formula Chowla-Selberg
• Formula Hadjicostas
• Formula Stirling
• Teorema lui Bohr-Mollerup
• Funcții speciale
• Teorema lui Hölder

Bibliografie

• (ro) Emil Artin , The Gamma Function , Dover ,2015( 1 st  ed. 1964), 48  p. ( citește online )Elementar și clasic, tradus din (de) Einführung in die Theorie der Gammafunktion , 1931.
• Jean Dieudonné , Calcul infinitesimal [ detaliu ediții ]p. 292-296 în ed. Hermann din 1968
• (ro) Refaat El Attar, Funcții speciale și polinoame ortogonale , Lulu Press,2006, 310  p. ( ISBN  978-1-4116-6690-0 , citit online ) , p.  57-76
• Maurice Godefroy, Funcția Gamma: teorie, istorie, bibliografie , Gauthier-Villars ,1901( citește online )
• Thomas Joannes Stieltjes , „  Despre dezvoltarea logului Γ (a)  ”, J. Math. Pur Appl. , Seria a 4- a , vol.  5,1889, p.  425-466 ( citiți online )
• ( fr ) Edmund Taylor Whittaker și George Neville Watson , Un curs de analiză modernă , CUP , col.  "Biblioteca matematică Cambridge",1927( Repr.  1996), ediția a 4- a  . , 608  p. ( ISBN  0-521-58807-3 , citit online ) , cap.  XII („Funcția Gamma”) , p.  235-264

linkuri externe

• (ro) Eric W. Weisstein , „  Funcția Gamma  ” , pe MathWorld
• RA Askey și R. Roy , „  Funcția Gamma  ” , pe NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press,2010( ISBN  978-0521192255 )