Teorema lui Bohr-Mollerup
În matematică , Bohr - Mollerup teorema este numit după doi matematicieni danezi Harald Bohr și Johannes Mollerup (de) , care a demonstrat în 1922. Ea caracterizează funcția gamma , definită de către
X>0{\ displaystyle x> 0}
Γ(X)=∫0∞tX-1e-t dt{\ displaystyle \ Gamma (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {x-1} \ mathrm {e} ^ {- t} ~ \ mathrm {d} t}ca singura funcție definită pentru care îndeplinește simultan următoarele trei condiții:
f{\ displaystyle f}X>0{\ displaystyle x> 0}
- f(1)=1,{\ displaystyle ~ f (1) = 1 {\ mbox {,}}}
- f(X+1)=Xf(X) pentru X>0,{\ displaystyle f (x + 1) = xf (x) \ {\ mbox {for}} \ x> 0,}
-
f{\ displaystyle f}este logaritmic convex , adică este o funcție convexă .Buturuga(f){\ displaystyle \ log (f)}
O demonstrație deosebit de elegantă a fost susținută de Emil Artin .
Demonstrație
Funcția gamma îndeplinește în mod clasic aceste trei condiții (prima este imediată, a doua este prezentată prin integrarea pe părți și a treia este dedusă din inegalitatea lui Hölder ).
Fie o funcție care le satisface și ele.
f{\ displaystyle f}
Primele două condiții fac posibilă obținerea, pentru toate cele naturale și reale :nu{\ displaystyle n}X>0{\ displaystyle x> 0}
f(nu+1)=nu!șif(nu+X)=f(X)∏0⩽k<nu(X+k).{\ displaystyle f (n + 1) = n! \ quad {\ text {and}} \ quad f (n + x) = f (x) \ prod _ {0 \ leqslant k <n} (x + k) .}
Apoi folosim convexitatea lui pentru a deduce:Buturuga(f){\ displaystyle \ log (f)}
∀tu,v>0, ∀X∈[0,1], f[Xtu+(1-X)v]⩽f(tu)Xf(v)1-X.{\ displaystyle \ forall u, v> 0, \ \ forall x \ in [0,1], \ f [xu + (1-x) v] \ leqslant f (u) ^ {x} f (v) ^ {1-x}.}
În special, pentru toate cele reale și întregi :
X∈]0,1]{\ displaystyle x \ in] 0.1]}nu>0{\ displaystyle n> 0}
- f(nu+X)=f[X(nu+1)+(1-X)nu]⩽f(nu+1)Xf(nu)1-X=nuX (nu-1)!{\ displaystyle f (n + x) = f [x (n + 1) + (1-x) n] \ leqslant f (n + 1) ^ {x} f (n) ^ {1-x} = n ^ {x} ~ (n-1)!}
- nu!=f(nu+1)=f[X(nu+X)+(1-X)(nu+1+X)]⩽f(nu+X)Xf(nu+X+1)1-X=(nu+X)1-X f(nu+X).{\ displaystyle n! = f (n + 1) = f [x (n + x) + (1-x) (n + 1 + x)] \ leqslant f (n + x) ^ {x} f (n + x + 1) ^ {1-x} = (n + x) ^ {1-x} ~ f (n + x).}
Prin substituire , obținem astfel următorul cadru pentru :f(nu+X){\ displaystyle f (n + x)}f(X){\ displaystyle f (x)}
(nu+X)X-1 nu!∏0⩽k<nu(X+k)⩽f(X)⩽nuX (nu-1)!∏0⩽k<nu(X+k).{\ displaystyle {\ frac {(n + x) ^ {x-1} ~ n!} {\ prod _ {0 \ leqslant k <n} (x + k)}} \ leqslant f (x) \ leqslant { \ frac {n ^ {x} ~ (n-1)!} {\ prod _ {0 \ leqslant k <n} (x + k)}}.}
și (întrucât îndeplinește aceleași ipoteze) același cadru pentru .
Γ{\ displaystyle \ Gamma}Γ(X){\ displaystyle \ Gamma (x)}
Cu toate acestea, atunci când tinde spre infinit, limita superioară și cea inferioară sunt echivalente . Prin urmare, ambii tind spre , ceea ce este, prin urmare, egal.
nu{\ displaystyle n}Γ(X){\ displaystyle \ Gamma (x)}f(X){\ displaystyle f (x)}
Această egalitate, demonstrată pentru orice , se extinde la toate , prin urmare, datorită celei de-a doua condiții .
X∈]0,1]{\ displaystyle x \ in] 0.1]}X∈]0,+∞[{\ displaystyle x \ in] 0, + \ infty [}f=Γ{\ displaystyle f = \ Gamma}
Notă
Această demonstrație demonstrează în plus că, pentru orice , orice secvență echivalentă cu limitele cadrului de mai sus tinde spre . În special :
X∈]0,1]{\ displaystyle x \ in] 0.1]}Γ(X){\ displaystyle \ Gamma (x)}
Γ(X)=limnu→∞nuX nu!∏0⩽k⩽nu(X+k).{\ displaystyle \ Gamma (x) = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {n ^ {x} ~ n!} {\ prod _ {0 \ leqslant k \ leqslant n} (x + k) }}.}
Ca și înainte, această egalitate se extinde la orice .
X∈]0,+∞[{\ displaystyle x \ in] 0, + \ infty [}
Note și referințe
-
(da) H. Bohr și J. Mollerup, Lærebog i matematisk Analysis , vol.3, iul. Gjellerups Forlag, Copenhaga, 1922, p. 149-164.
-
Baza logaritmului nu contează atâta timp cât este strict mai mare de 1, dar prin convenție unii matematicieni iau jurnalul fără index pentru a desemna logaritmul natural : cel al bazei e .
-
(în) E. Artin, Funcția Gamma , Dover 2015 ( 1 st ed. Holt, Rinehart, Winston, 1964), p. 14-15 (traducere de Michael Butler de la Einführung in die Theorie der Gammafunktion , 1931)
-
Această metodă, preluată din (în) „ Dovada teoremei lui Bohr-Mollerup, id3808 ” de pe PlanetMath , este în esență cea a lui Artin.
Vezi și tu
Articol asociat
Teorema lui Wielandt
linkuri externe
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">