Integrală gaussiană

În matematică , o integrală gaussiană este integrala unei funcții gaussiene asupra setului de reali . Valoarea sa este legată de constanta π prin formulă

∫-∞+∞e-αX2dX=πα,{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, x ^ {2}} \ mathrm {d} x = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {\ alpha}}},}

unde α este un parametru real strict pozitiv. Intervine în definirea legii probabilității numită legea Gaussiană, sau legea normală .

Această formulă poate fi obținută printr-o integrală dublă și o schimbare a variabilei polare. Prima sa demonstrație cunoscută este dată de Pierre-Simon de Laplace .

Deci avem, de exemplu, cu notații clasice:

∫-∞+∞1|σ|2πe-(X-μ)22σ2dX=1{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {| \ sigma | {\ sqrt {2 \ pi}}}} \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {(x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}} \ mathrm {d} x = 1}.

Dacă lucrăm în n dimensiuni, formula se generalizează în următoarea formă:

∫Rnue-α‖X‖2dX=(πα)nu2 cu X=(X1,...,Xnu) și ‖X‖=X12+⋯+Xnu2.{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, \ | x \ | ^ {2}} \ mathrm {d} x = \ left ({ \ frac {\ pi} {\ alpha}} \ right) ^ {\ frac {n} {2}} {\ text {cu}} x = (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) {\ text {și}} \ | x \ | = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}}}.}

Integrabilitatea funcției

Deoarece integrandul este egal , este suficient, pentru a arăta că este integrabil pe , pentru a demonstra că este integrabil pe . Acest lucru rezultă din faptul că este pozitivă, continuă și neglijabilă la infinit înainte de, de exemplu, funcția x ↦ x −2 , integrabilă peste [1, + ∞ [ . R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}

Calculul integralei Gaussiene

O teoremă de Liouville arată că integrandul integralei gaussiene nu admite nicio primitivă exprimată folosind funcțiile obișnuite (exponențiale etc.). Acest lucru obligă să calculeze această integrală pentru a recurge la metode mai mult sau mai puțin „giratorii”, dintre care cea mai clasică și directă este cea care utilizează integrale duble; există alte metode clasice, inclusiv una elementară, dar mult mai lungă, care folosește integrale Wallis și alta care folosește o funcție definită de o integrală.

Caz special α = 1

Metoda clasică de calcul utilizează o integrală dublă care este exprimată în coordonate carteziene, apoi în coordonate polare.

O variantă folosește o funcție definită de o integrală. Această a doua metodă folosește rezultate doar pe integralele obișnuite simple (cu o singură variabilă ) (pe un interval închis delimitat) și, prin urmare, este mai elementară. Cu toate acestea, este mai tehnic.

Indiferent de tehnica utilizată, aceasta demonstrează acest lucru . ∫-∞+∞e-X2dX=π{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- x ^ {2}} \, \ mathrm {d} x = {\ sqrt {\ pi}}}

Caz generic

Din această formulă, putem deduce prin schimbarea variabilei formula generică pentru orice integrală gaussiană:

∫-∞+∞exp⁡(-laX2+bX+vs.)dX=πlaexp⁡(b24la+vs.){\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ exp (-ax ^ {2} + bx + c) \ mathrm {d} x = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {a }}} \ exp \ left ({\ frac {b ^ {2}} {4a}} + c \ right)}(unde a , b , c sunt reale și a > 0).

Integrala Gaussiană ca valoare specială a funcției Gamma

Valoarea în 1/2a funcției Gamma a lui Euler este

Γ(12)=∫0+∞t12-1e-tdt=2∫0+∞e-tu2dtu=∫-∞+∞e-tu2dtu{\ displaystyle \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} t ^ {{\ frac {1} {2}} - 1} \ mathrm {e} ^ {- t} \, \ mathrm {d} t = 2 \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- u ^ {2}} \, \ mathrm {d} u = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- u ^ {2}} \, \ mathrm {d} u}.

Transformata Fourier a unei funcții gaussiene

Fie funcția Gaussiană

f:R→R,X↦e-αX2, cu α>0.{\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, \, x \ mapsto \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, x ^ {2}} {\ text {, cu}} \ alfa> 0.}

Este integrabil pe ℝ. Transformarea lui Fourier

F=F(f):R→VS{\ displaystyle F = {\ mathcal {F}} (f): \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}

definit de

F(ξ)=∫-∞+∞f(X)e-euξXdX=∫-∞+∞e-αX2e-euξXdX{\ displaystyle F (\ xi) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) \ mathrm {e} ^ {- i \, \ xi \, x} \ mathrm {d} x = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, x ^ {2}} \ mathrm {e} ^ {- i \, \ xi \, x} \ mathrm {d} x}

este astfel încât

∀ξ∈RF(ξ)=παe-ξ24α.{\ displaystyle \ forall \ xi \ in \ mathbb {R} \ quad F (\ xi) = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {\ alpha}}} \, \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {\ xi ^ {2}} {4 \ alpha}}}.}

Două demonstrații ale acestui rezultat sunt propuse mai jos.

Printr-o ecuație diferențială liniară

Folosim o ecuație diferențială verificată de funcția f .

Prin definitie : F(0)=∫-∞+∞e-αX2dX prin urmare F(0)=πα.{\ displaystyle F (0) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, x ^ {2}} \ mathrm {d} x {\ text { deci}} F (0) = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {\ alpha}}}.}

Pe de altă parte, f este (cel puțin) din clasa C 1 și satisface ecuația diferențială liniară

∀X∈Rf′(X)=-2αXf(X)=-2αg(X), observând g:R→R,X↦Xf(X).{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad f '(x) = - 2 \ alpha \, xf (x) = - 2 \ alpha g (x), {\ text {noting}} g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, x \ mapsto xf (x).}

Justificăm (ca mai sus) că g (deci f ' ) este integrabil pe ℝ. Prin urmare (proprietățile transformării Fourier legate de derivare):

• Deoarece f , f ' sunt integrabile și f tinde la 0 la infinit,

∀ξ∈RF(f′)(ξ)=euξF(ξ).{\ displaystyle \ forall \ xi \ in \ mathbb {R} \ quad {\ mathcal {F}} (f ') (\ xi) = \ mathrm {i} \ xi \, F (\ xi).}

• Deoarece f și g sunt integrabile, F este diferențiat și

∀ξ∈RF(g)(ξ)=euF′(ξ).{\ displaystyle \ forall \ xi \ in \ mathbb {R} \ quad {\ mathcal {F}} (g) (\ xi) = \ mathrm {i} F '(\ xi).}

Din ecuația diferențială de mai sus, deducem că , care este scris: F(f′)=-2αF(g){\ displaystyle {\ mathcal {F}} (f ') = - 2 \ alpha {\ mathcal {F}} (g)}

∀ξ∈ReuξF(ξ)=-2αeuF′(ξ){\ displaystyle \ forall \ xi \ in \ mathbb {R} \ quad \ mathrm {i} \ xi F (\ xi) = - 2 \ alpha \ mathrm {i} F '(\ xi)}, sau: ∀ξ∈RF′(ξ)=-2βξF(ξ), cu β=14α.{\ displaystyle \ forall \ xi \ in \ mathbb {R} \ quad F '(\ xi) = - 2 \ beta \, \ xi \, F (\ xi), {\ text {cu}} \ beta = { \ frac {1} {4 \ alpha}}.}

Astfel, F satisface o ecuație diferențială analogă cu cea precedentă: există K , constantă astfel încât

∀ξ∈RF(ξ)=Ke-βξ2.{\ displaystyle \ forall \ xi \ in \ mathbb {R} \ quad F (\ xi) = K \, \ mathrm {e} ^ {- \ beta \, \ xi ^ {2}}.}

Încheiem notând că K=F(0)=πα.{\ displaystyle K = F (0) = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {\ alpha}}}.}

Prin teorema integrală a lui Cauchy pentru funcțiile holomorfe

De asemenea, notăm prin f prelungirea holomorfă la ℂ a funcției Gaussiene f  :

f:VS→VS,z↦e-αz2.{\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, z \ mapsto \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, z ^ {2}}.}

Calculăm F (ξ) presupunând ξ> 0 (cazul în care ξ <0 este tratat la fel sau cu paritate; cazul în care ξ = 0 este imediat).

Luați în considerare trei reali x 1 , x 2 , h astfel încât x 1 < x 2 și h > 0 , apoi în planul complex dreptunghiul vârfurilor LA=X1,B=X2,VS=X2+euh,D=X1+euh{\ displaystyle A = x_ {1}, B = x_ {2}, C = x_ {2} + \ mathrm {i} h, D = x_ {1} + \ mathrm {i} h} (din laturi paralele cu axele).

Conform teoremei integrale a lui Cauchy, integrala lui f pe marginea orientată a dreptunghiului este zero:

∫[LA,B]f(z)dz+∫[B,VS]f(z)dz+∫[VS,D]f(z)dz+∫[D,LA]f(z)dz=0.{\ displaystyle \ int _ {[A, B]} f (z) \, \ mathrm {d} z + \ int _ {[B, C]} f (z) \, \ mathrm {d} z + \ int _ {[C, D]} f (z) \, \ mathrm {d} z + \ int _ {[D, A]} f (z) \, \ mathrm {d} z = 0.}

Cu toate acestea, avem următoarea egalitate:

∫[LA,B]f(z)dz=∫X1X2e-αX2dX{\ displaystyle \ int _ {[A, B]} f (z) \, \ mathrm {d} z = \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, x ^ {2}} \, \ mathrm {d} x} și ∫[VS,D]f(z)dz=-∫X1X2e-α(X+euh)2dX=-eαh2∫X1X2e-αX2e-2euαhXdX{\ displaystyle \ int _ {[C, D]} f (z) \, \ mathrm {d} z = - \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \ mathrm {e} ^ { - \ alpha \, (x + \ mathrm {i} h) ^ {2}} \, \ mathrm {d} x = - \ mathrm {e} ^ {\ alpha h ^ {2}} \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, x ^ {2}} \ mathrm {e} ^ {- 2 {\ mathrm {i}} \ alpha \, hx } \, \ mathrm {d} x} (parametrizăm segmentul [ C , D ] de unde ).z=X+euh,{\ displaystyle z = x + \ mathrm {i} h,}X∈[X1,X2]{\ displaystyle x \ in [x_ {1}, x_ {2}]}

Asa de :

∫X1X2e-αX2dX-eαh2∫X1X2e-αX2e-2euαhXdX+∫[B,VS]f(z)dz+∫[D,LA]f(z)dz=0.{\ displaystyle \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, x ^ {2}} \, \ mathrm {d} x- \ mathrm {e } ^ {\ alpha h ^ {2}} \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, x ^ {2}} \ mathrm {e} ^ {- 2 {\ mathrm {i}} \ alpha \, hx} \, \ mathrm {d} x + \ int _ {[B, C]} f (z) \, \ mathrm {d} z + \ int _ {[D, A]} f (z) \, \ mathrm {d} z = 0.}

Integrala lui f peste [ B , C ] (resp. [ D , A ]) tinde la 0 când x 2 tinde la + ∞ (resp. X 1 tinde la –∞ ) (vezi mai jos). De unde :

∫-∞+∞e-αX2e-2euαhXdX=e-αh2∫-∞+∞e-αX2dX=παe-αh2 pentru tot h>0.{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, x ^ {2}} \ mathrm {e} ^ {- 2 {\ mathrm {i} } \ alpha \, hx} \, \ mathrm {d} x = \ mathrm {e} ^ {- \ alpha h ^ {2}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e } ^ {- \ alpha \, x ^ {2}} \, \ mathrm {d} x = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {\ alpha}}} \, \ mathrm {e} ^ {- \ alfa h ^ {2}} {\ text {pentru orice}} h> 0.}

Alegerea din relația anterioară (re) dă expresia căutată a lui F (ξ) . h=ξ2α{\ displaystyle h = {\ frac {\ xi} {2 \ alpha}}}

Rămâne să arătăm că integralul lui f pe [ B , C ] tinde la 0 când x 2 tinde la + ∞  :

∫[B,VS]f(z)dz=∫0he-α(X2+euy)2eudy=eue-αX22∫0heαy2e-2euαX2ydy{\ displaystyle \ int _ {[B, C]} f (z) \, \ mathrm {d} z = \ int _ {0} ^ {h} \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, (x_ {2} + {\ mathrm {i}} y) ^ {2}} \ mathrm {i} \, \ mathrm {d} y = \ mathrm {i} \, \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \ , x_ {2} ^ {2}} \ int _ {0} ^ {h} \ mathrm {e} ^ {\ alpha \, y ^ {2}} \ mathrm {e} ^ {- 2 \ mathrm {i } \ alpha \, x_ {2} y} \, \ mathrm {d} y} (parametrizăm segmentul [ B , C ] cu , cu ).z=X2+euy{\ displaystyle z = x_ {2} + {\ mathrm {i}} y}y∈[0,h]{\ displaystyle y \ in [0, h]}

De aici și creșterea:

|∫[B,VS]f(z)dz|≤e-αX22∫0h|eαy2||e-2euαX2y|dy=e-αX22∫0heαy2dy,{\ displaystyle {\ Big |} \ int _ {[B, C]} f (z) \, \ mathrm {d} z {\ Big |} \ leq \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, x_ {2} ^ {2}} \ int _ {0} ^ {h} | \ mathrm {e} ^ {\ alpha \, y ^ {2}} || \ mathrm {e} ^ {- 2 \ mathrm { i} \ alpha \, x_ {2} y} | \, \ mathrm {d} y = \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, x_ {2} ^ {2}} \ int _ {0} ^ {h} \ mathrm {e} ^ {\ alpha \, y ^ {2}} \, \ mathrm {d} y,}

ceea ce permite să încheiem (integralul celui de-al doilea membru nu depinde de x 2 ). La fel și pentru integralul de pe [ D , A ].

Note și referințe

1. Vezi de exemplu acest exercițiu corectat pe Wikiversitate .
2. Vedeți acest exercițiu corectat sau, pentru o variantă mai de bază, această sarcină corectată pe Wikiversitate .

Bibliografie

• (ro) Milton Abramowitz și Irene Stegun , Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice [ detaliile ediției ] ( citiți online ), cap. 26
• (ro) HM Antia, Metode numerice pentru oamenii de știință și ingineri ,2012, 3 e  ed. ( 1 st  ed. 1991) ( citit on - line ) , p.  211

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">