Polinomul Bernoulli
În matematică , polinoamele Bernoulli apar în studiul multor funcții speciale și în special a funcției zeta Riemann ; polinoame analoage, corespunzătoare unei funcții de vecin generator, sunt cunoscute sub numele de polinoame Euler .
Definiție
Polinoamele Bernoulli sunt secvența unică de polinoame astfel încât:
(Bnu)nu∈NU{\ displaystyle \ left (B_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
- B0=1{\ displaystyle B_ {0} = 1}
- ∀nu∈NU,Bnu+1′=(nu+1)Bnu{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, B '_ {n + 1} = (n + 1) B_ {n}}
- ∀nu∈NU∗,∫01Bnu(X)dX=0{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*}, \ int _ {0} ^ {1} B_ {n} (x) dx = 0}
Generarea de funcții
Funcția generator pentru polinoamele Bernoulli este
teXtet-1=∑nu=0∞Bnu(X)tnunu!{\ displaystyle {\ frac {te ^ {xt}} {e ^ {t} -1}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} B_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}}.
Funcția generator pentru polinomii Euler este
2eXtet+1=∑nu=0∞Enu(X)tnunu!{\ displaystyle {\ frac {2e ^ {xt}} {e ^ {t} +1}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} E_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}}.
Numerele Euler și Bernoulli
Cele Numerele Bernoulli sunt date de .
Bnu=Bnu(0){\ displaystyle B_ {n} = B_ {n} (0)}
Cele Numerele Euler sunt date de .
Enu=2nuEnu(1/2){\ displaystyle E_ {n} = 2 ^ {n} E_ {n} (1/2)}
Expresii explicite pentru comenzi mici
Proprietățile polinoamelor Bernoulli
Diferențe
Polinoamele Bernoulli și Euler se supun multor relații ale calculului ombral folosit de Édouard Lucas , de exemplu.
Bnu(X+1)-Bnu(X)=nuXnu-1{\ displaystyle B_ {n} (x + 1) -B_ {n} (x) = nx ^ {n-1} \,}
Enu(X+1)+Enu(X)=2Xnu{\ displaystyle E_ {n} (x + 1) + E_ {n} (x) = 2x ^ {n} \,}
Derivate
Bnu′(X)=nuBnu-1(X){\ displaystyle B_ {n} '(x) = nB_ {n-1} (x) \,}
Enu′(X)=nuEnu-1(X){\ displaystyle E_ {n} '(x) = nE_ {n-1} (x) \,}
Traduceri
Bnu(X+y)=∑k=0nu(nuk)Bk(X)ynu-k{\ displaystyle B_ {n} (x + y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} B_ {k} (x) y ^ {nk}}
Enu(X+y)=∑k=0nu(nuk)Ek(X)ynu-k{\ displaystyle E_ {n} (x + y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} E_ {k} (x) y ^ {nk}}
Simetriile
Bnu(1-X)=(-1)nuBnu(X){\ displaystyle B_ {n} (1-x) = (- 1) ^ {n} B_ {n} (x)}
Enu(1-X)=(-1)nuEnu(X){\ displaystyle E_ {n} (1-x) = (- 1) ^ {n} E_ {n} (x)}
(-1)nuBnu(-X)=Bnu(X)+nuXnu-1{\ displaystyle (-1) ^ {n} B_ {n} (- x) = B_ {n} (x) + nx ^ {n-1}}
(-1)nuEnu(-X)=-Enu(X)+2Xnu{\ displaystyle (-1) ^ {n} E_ {n} (- x) = - E_ {n} (x) + 2x ^ {n}}
Alte proprietăți
∀nu∈NU,Bnu(X)=2nu-1(Bnu(X2)+Bnu(X+12)){\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, B_ {n} (x) = 2 ^ {n-1} \ left (B_ {n} \ left ({\ frac {x} {2}} \ dreapta) + B_ {n} \ left ({\ frac {x + 1} {2}} \ right) \ right)}
∀p∈NU,∀nu∈NU,∑k=0nukp=Bp+1(nu+1)-Bp+1(0)p+1{\ displaystyle \ forall p \ in \ mathbb {N}, \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {p} = {\ frac {B_ {p +1} (n + 1) -B_ {p + 1} (0)} {p + 1}}}
Această ultimă egalitate, dedusă din formula lui Faulhaber , vine din egalitate: sau, mai simplu, din suma telescopică∫XX+1Bnu(t)dt=Xnu{\ displaystyle \ int _ {x} ^ {x + 1} B_ {n} (t) \, \ mathrm {d} t = x ^ {n}}
∑k=0nu(Bm(k+1)-Bm(k))=Bm(nu+1)-Bm(0){\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ left (B_ {m} (k + 1) -B_ {m} (k) \ right) = B_ {m} (n + 1) -B_ {m} (0)}
.
Valori speciale
Numerele sunt numere Bernoulli .
Bnu=Bnu(0){\ displaystyle B_ {n} = B_ {n} (0)}
∀nu>1,Bnu(0)=Bnu(1){\ displaystyle \ forall n> 1, \ quad B_ {n} (0) = B_ {n} (1)}Numerele Bernoulli de rang impar altele decât 1 sunt zero:
∀p∈NU∗B2p+1(0)=B2p+1(1)=0{\ displaystyle \ forall p \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad B_ {2p + 1} (0) = B_ {2p + 1} (1) = 0}
∀p∈NUB2p+1(12)=0{\ displaystyle \ forall p \ in \ mathbb {N} \ quad B_ {2p + 1} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = 0}
∀p∈NUB2p(12)=(122p-1-1)B2p{\ displaystyle \ forall p \ in \ mathbb {N} \ quad B_ {2p} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = \ left ({\ frac {1} {2 ^ {2p -1}}} - 1 \ dreapta) B_ {2p}}
Seria Fourier
Seria Fourier a polinoamelor Bernoulli este, de asemenea, o serie Dirichlet , dată de expansiunea:
Bnu(X)=-nu!(2πeu)nu∑k∈Zk≠0e2πeukXknu=-nu!∑k=1∞e2πeukX+(-1)nue-2πeukX(2πeuk)nu=-2nu!∑k=1∞cos(2kπX-nuπ2)(2kπ)nu{\ displaystyle B_ {n} (x) = - {\ frac {n!} {(2 \ pi \ mathrm {i}) ^ {n}}} \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z} \ atop k \ neq 0} {\ frac {\ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} kx}} {k ^ {n}}} = - n! \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} kx} + (- 1) ^ {n} \ mathrm {e} ^ {- 2 \ pi \ mathrm {i} kx} } {(2 \ pi \ mathrm {i} k) ^ {n}}} = - 2 \, n! \ Sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos \ left (2k \ pi x - {\ frac {n \ pi} {2}} \ right)} {(2k \ pi) ^ {n}}}},
valabil numai pentru 0 ≤ x ≤ 1 când n ≥ 2 și pentru 0 < x <1 când n = 1.
Acesta este un caz special al formulei Hurwitz .
Note și referințe
(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia
engleză intitulat
„ Polinoame Bernoulli ” ( vezi lista autorilor ) .
-
(în) Tsuneo Arakawa, Tomoyoshi Ibukiyama și Masanobu Kaneko, Numerele Bernoulli și funcțiile Zeta , Springer ,2014( citiți online ) , p. 61.
Vezi și tu
Bibliografie
Articole similare
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">