Ecuația funcțională

Acest articol este un proiect pentru analiză .

Vă puteți împărtăși cunoștințele îmbunătățindu-le ( cum? ) Conform recomandărilor proiectelor corespunzătoare .

Consultați lista sarcinilor care trebuie îndeplinite pe pagina de discuții .

În matematică , o ecuație funcțională este o ecuație ale cărei necunoscute sunt funcții. Multe proprietăți ale funcțiilor pot fi determinate prin studierea ecuațiilor pe care le satisfac. De obicei, termenul „ecuație funcțională” este rezervat ecuațiilor care nu pot fi reduse la ecuații mai simple, de exemplu la ecuații diferențiale .

Vocabular

Cel mai frecvent caz este acela în care valorile unei funcții și eventual ale derivatelor sale, calculate în mai multe puncte, trebuie să satisfacă o relație, numită relație funcțională , pentru toate valorile variabilei (cel puțin pe o anumită domeniu). Sunt posibile două abordări distincte:

Atunci când studiază o anumită funcție, poate fi util pentru a evidenția o relație funcțională îndeplinește ca relația îndeplinită de funcția gamma a lui Euler , sau care a satisfăcut de funcția zeta Riemann : . Apoi deducem alte proprietăți ale funcției: de exemplu, funcția zeta Riemann dispare chiar și pentru numere întregi strict negative și nu are alte zerouri în afara benzii 0 < Re (s) <1. $x \ Gamma (x) = \ Gamma (x + 1) \,$ $\ zeta (s) = 2 ^ {s} \ pi ^ {{s-1}} \ sin \ left ({\ frac {\ pi s} {2}} \ right) \ Gamma (1-s) \ zeta (1 s)$

Când rezolvăm strict o ecuație funcțională, studiem setul de funcții care satisfac o relație dată. Un exemplu este căutarea funcțiilor care îndeplinesc (unde a , b , c și d sunt numere naturale care satisfac ad - bc = 1) pe care le numim forme modulare . Uneori sunt necesare anumite condiții analitice. Bohr-Mollerup teorema este un exemplu. În absența acestor condiții, o ecuație funcțională foarte simplă precum ecuația funcțională Cauchy poate avea soluții foarte neregulate. $f \ left ({az + b \ over cz + d} \ right) = (cz + d) ^ {k} f (z)$

Când ecuația conectează valorile unei funcții și derivatele sale în același punct, se numește ecuație diferențială . Alte ecuații utilizează proprietăți globale ale funcțiilor necunoscute; se vorbește, de exemplu, despre ecuații integrale sau despre probleme de optimizare (care fac obiectul calculului variațiilor ), precum problema Platoului .

Exemple

f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ), satisfăcut de funcțiile exponențiale ;
f ( xy ) = f ( x ) + f ( y ), satisfăcut de funcțiile logaritmice ;
f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ( ecuația funcțională a lui Cauchy );
f ( x + T ) = f ( x ), definind funcțiile periodice ale perioadei T ;
F ( az ) = aF ( z ) (1 - F ( z )) (ecuația Poincaré )
f (( x + y ) / 2) = ( f ( x ) + f ( y )) / 2 ( Jensen );
g ( x + y ) + g ( x - y ) = 2 g ( x ) g ( y ) ( d'Alembert );
f ( h ( x )) = f ( x ) + 1 ( Abel );
f ( h ( x )) = cf ( x ) ( Schröder ). Ecuația Schröder este satisfăcută de funcția Koenigs (en) .
f ( f ( x )) = g ( x ), cu alte cuvinte determinarea unei rădăcini pătrate funcționale .
O formă simplă de ecuație funcțională este relația de recurență, a cărei funcție necunoscută este o secvență (formal: o funcție definită pe setul de numere întregi) și care implică operatorul de schimbare .
Asociative și comutative sunt ecuații funcționale. Când legea compoziției interne este reprezentată în forma sa obișnuită, printr-un simbol între cele două variabile, asociativitatea sa este scrisă după cum urmează:( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ).Dar dacă scriem f ( a , b ) în loc de a ∗ b , atunci asociativitatea legii arată mai mult ca ceea ce este înțeles în mod convențional prin „ecuație funcțională”: f ( f ( a , b ), c ) = f ( a , f ( b , c )).

Un punct comun tuturor acestor exemple este că, în fiecare caz, două sau mai multe funcții (uneori înmulțirea cu o constantă, alteori adăugarea a două variabile, alteori funcția de identitate) sunt substituite necunoscutului.

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „ Ecuație funcțională ” ( vezi lista autorilor ) .

Soluțiile continue sunt 0, 1, cos (ω x ) și cosh (ω x ).

Bibliografie

(ro) János Aczél (ro) , Prelegeri despre ecuațiile funcționale și aplicațiile lor , Academic Press ,1966( citește online )
Jean Dhombres , „O concepție arhitecturală a matematicii: separarea variabilelor la Pfaff ” , în Patricia Radelet-de Grave și Edoardo Benvenuto, Entre Mécanique et Architecture , Birkhäuser ,1995( ISBN 978-3-76435128-1 , citit online ) , p. 205-220