Curba Lissajous

Fondul acestui articol de matematică trebuie verificat (august 2018).

Îmbunătățire sau discuta lucruri de verificat . Dacă tocmai ați aplicat bannerul, vă rugăm să indicați punctele de verificat aici .

Curba Lissajous , de asemenea , numit Lissajous figura sau curba Bowditch , este traiectoria unui punct ale cărui componente dreptunghiulare au o mișcare sinusoidală.

Această familie de curbe a fost studiată de Nathaniel Bowditch în 1815 , apoi mai detaliat de Jules Lissajous în 1857 .

Definiție

O curbă Lissajous poate fi întotdeauna definită prin următoarea ecuație parametrică:

X(t)=lapăcat⁡t{\ displaystyle x (t) = a \ sin t} y(t)=bpăcat⁡(nut+ψ){\ displaystyle y (t) = b \ sin (nt + \ psi)}

unde și . 0≤ψ≤π2{\ displaystyle 0 \ leq \ psi \ leq {\ frac {\ pi} {2}}}nu≥1{\ displaystyle n \ geq 1}

Numărul n se numește parametrul curbei și corespunde raportului dintre pulsațiile celor două mișcări sinusoidale. Mai mult, dacă acest raport este rațional, acesta poate fi exprimat sub formă și ecuația parametrică a curbei devine: nu=qp{\ displaystyle n = {\ frac {q} {p}}}

X(θ)=lapăcat⁡(pθ){\ displaystyle x (\ theta) = a \ sin (p \ theta)} y(θ)=bpăcat⁡(qθ+ϕ){\ displaystyle y (\ theta) = b \ sin (q \ theta + \ phi)} 0≤θ<2π{\ displaystyle 0 \ leq \ theta <2 \ pi}

unde și . 0≤ϕ≤π2p{\ displaystyle 0 \ leq \ phi \ leq {\ frac {\ pi} {2p}}}q≥p{\ displaystyle q \ geq p}

Proprietăți

• Dacă n este irațional, curba este densă în dreptunghiul [- a , a ] × [- b , b ].
• Dacă n este rațional,
  • curba este o curbă algebrică (unicursală) de grad 2 q dacă pentru p impar sau pentru p par.ϕ∈]0,π2p]{\ displaystyle \ phi \ in \ left] 0, {\ tfrac {\ pi} {2p}} \ right]}ϕ∈[0,π2p[{\ displaystyle \ phi \ in \ left [0, {\ tfrac {\ pi} {2p}} \ right [}
  • curba este o porțiune a unei curbe algebrice de grad q dacă pentru p impar sau pentru p par.ϕ=0{\ displaystyle \ phi = 0}ϕ=π2p{\ displaystyle \ phi = {\ tfrac {\ pi} {2p}}}
• Dacă n este un număr întreg și , sau dacă n este un număr impar și , curba este o porțiune a curbei celui de-al n- lea polinom Chebyshev .ϕ=π2{\ displaystyle \ phi = {\ tfrac {\ pi} {2}}}ϕ=0{\ displaystyle \ phi = 0}

Cazuri speciale

• Dacă n = 1, curba este o elipsă .
  • Dacă a = b și , această elipsă este un cerc .ϕ=π2{\ displaystyle \ phi = {\ frac {\ pi} {2}}}
  • Dacă , această elipsă este un segment de linie .ϕ=0{\ displaystyle \ phi = 0}
• Dacă a = 2 b și n = q = 2 (deci p = 1), curba este o pungă .
  • Da , acest ghiozdan este o porțiune a unei parabole .ϕ=π2{\ displaystyle \ phi = {\ frac {\ pi} {2}}}
  • Da , acest ghiozdan este un lemniscat de Gerono .ϕ=0{\ displaystyle \ phi = 0}

Iată câteva exemple de parcele cu și a = b . ϕ=0{\ displaystyle \ phi = 0}

• Diferite exemple de curbe Lissajous

• p = 1, q = 2

• p = 1, q = 3

• p = 1, q = 6

• p = 2, q = 3

• p = 3, q = 4

• p = 3, q = 20

Legături cu alte curbe

Curbele Lissajous sunt proiecții ale coroanelor sinusoidale pe un plan paralel cu axa de simetrie.

Aplicații

Curbele Lissajous au aplicații diferite:

• Pe un osciloscop analogic , modul XY (abscisă (componentă orizontală) și ordonată (componentă verticală)) face posibilă în special măsurarea unei defazări și a unei diferențe de frecvență între două semnale sinusoidale prin vizualizarea curbelor Lissajous. Această metodă este totuși imprecisă.
• Cele telescoape spațiale care orbitează în jurul punctelor Lagrange , cum ar fi , în special , telescopul Herschel plasat la punctul L2, descrie o orbita Lissajous .

Note și referințe

Vezi și tu

Bibliografie

• (en) Julio Castiñeira Merino, „  Lissajous Figures and Chebyshev Polynomials  ” , The College Mathematics Journal  (en) , vol.  32, n o  22003, p.  122-127 ( citește online )
• Francisco Gomes Teixeira , Tratat despre curbe plate remarcabile speciale ,1971( 1 st  ed. 1905-1915) ( linia de citit ) , cap.  III.12 („Pe curbele Lissajous”), p.  225-230

linkuri externe

• Robert Ferréol și Jacques Mandonnet, „  Curba Lissajous  ” , pe mathcurve.com ,2015
• (ro) Diapazonele Lissajous: standardizarea sunetului muzical în situl Whipple Museum of the History of Science .
• (ro) Lissajous Interactive
• (în) Jules Antoine Lissajous .
• Înregistrări de autoritate  :
  • Biblioteca Națională de Dietă
• Observație într-un dicționar sau o enciclopedie generală  : Encyclopædia Britannica