Punctul Lagrange

Un punct Lagrange (notat L 1 până la L 5 ), sau, mai rar, punct de librație , este o poziție în spațiu în care câmpurile de greutate ale celor două corpuri în mișcare orbitală unul în jurul celuilalt și ale unor mase substanțiale, furnizează exact centripetul forța necesară pentru ca acest punct din spațiu să însoțească simultan mișcarea orbitală a celor două corpuri. În cazul în care cele două corpuri sunt pe orbită circulară, aceste puncte reprezintă locurile în care un al treilea corp, de masă neglijabilă, ar rămâne nemișcat față de celelalte două, în sensul că ar însoți rotația lor în jurul centrului lor la aceeași viteză unghiulară.de gravitație comună fără ca poziția sa în raport cu acestea să se schimbe.

Cu alte cuvinte, forțele gravitaționale exercitate de două corpuri mari asupra unei treimi din masa neglijabilă, plasate într-un punct Lagrange, sunt compensate exact de forța centrifugă a acestuia din urmă. Prin urmare, poziția corpului mic nu se va schimba, deoarece cele trei forțe exercitate asupra lui se compensează reciproc.

Cinci la număr, aceste puncte sunt împărțite în două puncte stabile numite L 4 și L 5 și trei puncte instabile denotate L 1 până la L 3 . Ele sunt numite în cinstea matematicianului francez Joseph-Louis Lagrange . Acestea sunt implicate în studiul anumitor configurații ale obiectelor din sistemul solar (în principal pentru puncte stabile) și în plasarea diferiților sateliți artificiali (în principal pentru punctele instabile). Acestea sunt punctele remarcabile ale „geometriei lui Roche  ” (points-col și extrema), ceea ce face posibilă în special clasificarea diferitelor tipuri de stele binare .

Cele trei puncte L 1 , L 2 și L 3 sunt numite uneori punctele Euler , în onoarea lui Leonhard Euler , numele punctelor Lagrange fiind apoi rezervat pentru cele două puncte L 4 și L 5 .

Punctele L 4 și L 5 , în virtutea stabilității lor, pot atrage sau ține în mod natural obiecte pentru o lungă perioadă de timp. Punctele L 1 , L 2 și L 3 , fiind instabile, nu pot menține neapărat obiecte pentru o lungă perioadă de timp, dar pot fi utilizate de misiunile spațiale, cu corecții pe orbită.

Istoric

În mecanica cerească, există un subiect care a fascinat mulți matematicieni: este așa- numita problemă a celor trei corpuri . Newton , după ce și-a afirmat legea care exprimă faptul că „corpurile se atrag reciproc cu o forță proporțională cu produsul masei lor și invers proporțional cu pătratul distanței de la centrele lor”, a căutat să descrie comportamentul a trei corpuri fără a reuși. . Trebuie să așteptăm matematicianul Joseph-Louis Lagrange care, în 1772, a studiat cazul unui corp mic, de masă neglijabilă (ceea ce se numește astăzi un corp de testare sau o particulă de testare ), supus atracției două mai mari: Soarele și , de exemplu, o planetă. El a descoperit că există poziții de echilibru pentru corpul mic, locuri în care toate forțele se echilibrau.

Definiție

Un obiect cu masă scăzută situat în aceste puncte nu se mai mișcă în raport cu celelalte două corpuri și se rotește împreună cu ele (de exemplu, o planetă și Soarele ). Dacă dăm ca exemplu punctele Lagrange ale sistemului Soare - Pământ , aceste cinci puncte sunt notate și definite după cum urmează (scara nu este respectată):

• L 1  : pe linia definită de cele două mase, între ele, poziția exactă în funcție de raportul de masă dintre cele două corpuri; în cazul în care unul dintre cele două corpuri are o masă mult mai mică decât cealaltă, punctul L 1 este situat mult mai aproape de corpul nu foarte masiv decât de corpul masiv.
• L 2  : pe linia definită de cele două mase, dincolo de cea mai mică. În cazul în care unul dintre cele două corpuri are o masă mult mai mică, distanța de la L 2 la acest corp este comparabilă cu cea dintre L 1 și acest corp.
• L 3  : pe linia definită de cele două mase, dincolo de cea mai mare. În cazul în care unul dintre cele două corpuri este mai puțin masiv decât celălalt, distanța dintre L 3 și corpul masiv este comparabilă cu cea dintre cele două corpuri.
• L 4 și L 5  : pe vârfurile celor două triunghiuri echilaterale a căror bază este formată din cele două mase. L 4 este cel al celor două puncte în fața orbitei celei mai mici mase, pe orbita sa în jurul celei mari, iar L 5 este în spate. Aceste puncte sunt uneori numite puncte Lagrange triunghiulare sau puncte troiene , deoarece este locul în care se află asteroizii troieni ai sistemului Soare- Jupiter . Spre deosebire de primele trei puncte, aceste două ultime nu depind de masele relative ale celorlalte două corpuri.

Calculul poziției punctelor Lagrange

Calculul poziției punctelor Lagrange se face luând în considerare echilibrul unui corp cu masă neglijabilă între potențialul gravitațional creat de doi corpuri pe orbită și forța centrifugă . Poziția punctelor L 4 și L 5 poate fi obținută analitic. Cea din celelalte trei puncte L 1 până la L 3 se obține rezolvând numeric sau, eventual, folosind o expansiune limitată , o ecuație algebrică. Poziția acestor trei puncte este dată în tabelul de mai jos, în cazul în care masa unuia dintre cele două corpuri (în acest caz numărul 2 ) este neglijabilă în fața celuilalt, situată la o distanță R de precedentul . Pozițiile sunt date de-a lungul axei care leagă cele două corpuri, a căror origine este identificată la centrul de greutate al sistemului și a căror orientare merge de la corpul 1 la corpul 2 . Mărimile r 2 și q denotă respectiv poziția corpului 2 pe axă și raportul dintre masa corpului mai ușor și masa totală a celor două corpuri. În cele din urmă, folosim cantitatea ε definită de ε  = ( q  / 3) 1/3 .

Punct	Poziția în raport cu centrul de greutate al sistemului
L 1	r2+R(-ε+13ε2+19ε3+O(ε4)){\ displaystyle r_ {2} + R \ left (- \ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} + {\ frac {1} {9}} \ varepsilon ^ {3} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {4}) \ right)}
L 2	r2+R(ε+13ε2-19ε3+O(ε4)){\ displaystyle r_ {2} + R \ left (\ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} - {\ frac {1} {9}} \ varepsilon ^ {3} + { \ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {4}) \ right)}
L 3	-R+R(-512q+112720736q3+O(q4)){\ displaystyle -R + R \ left (- {\ frac {5} {12}} q + {\ frac {1127} {20736}} q ^ {3} + {\ mathcal {O}} (q ^ { 4}) \ dreapta)}

În literatura de specialitate, găsim uneori expresii oarecum diferite, datorită faptului că originea axei este luată în altă parte decât pe centrul de greutate și că folosim ca termen la baza dezvoltării limitate relația dintre cele două mai degrabă decât raportul dintre masa mai mică și masa totală, adică uneori cantitatea q ' definită de . q′=m2M1=q1-q{\ displaystyle q '= {\ frac {m_ {2}} {M_ {1}}} = {\ frac {q} {1-q}}}

Detalii de calcul - Introducere Preliminarii

Notăm cu M 1 și m 2 masa celor două corpuri, masa primului fiind presupusă a fi mai mare sau egală cu cea a celui de-al doilea. Cele două corpuri se presupune orbită circulară, separarea lor fiind R . Cele două corpuri orbitează în jurul centrului lor de greutate comun. Notăm cu r 1 și r 2 distanțele algebrice ale celor două corpuri față de o axă orientată de la corpul 1 la corpul 2 (adică r 1 va fi negativ și r 2 pozitiv). Centrul de greutate este definit de ecuație

M1r1+m2r2=0{\ displaystyle M_ {1} r_ {1} + m_ {2} r_ {2} = 0},

cu prin definiția distanței R ,

r2-r1=R{\ displaystyle r_ {2} -r_ {1} = R}.

Aceste două ecuații au soluție

r1=-m2MR{\ displaystyle r_ {1} = - {\ frac {m_ {2}} {M}} R}, r2=M1MR{\ displaystyle r_ {2} = {\ frac {M_ {1}} {M}} R},

unde notăm M  =  M 1  +  m 2 masa totală a sistemului.

Cele două corpuri orbitează unul în jurul celuilalt la o viteză unghiulară ω , a cărei valoare este dată de a treia lege a lui Kepler  :

ω2=GMR3{\ displaystyle \ omega ^ {2} = {\ frac {GM} {R ^ {3}}}},

G fiind constanta gravitațională .

Dacă ne așezăm în cadrul rotativ cu cele două corpuri, adică la viteza unghiulară ω , un corp staționar va fi supus, pe lângă forțele gravitaționale ale celor două corpuri, la forța centrifugă . Dacă notăm cu r raza vectorială a acestui corp, se scrie forța centrifugă pe unitate de masă f c la care va fi supus

fvs.=rω2{\ displaystyle {\ boldsymbol {f}} _ {\ rm {c}} = {\ boldsymbol {r}} \; \ omega ^ {2}}.Ecuația fundamentală

Definiția unui punct Lagrange este că suma forțelor gravitaționale și inerțiale dispare în aceste puncte. Notând r vectorul de rază al punctului (punctelor) în cauză, avem astfel

-GM1(r-r1)||r-r1||3-Gm2(r-r2)||r-r2||3+rω2=0{\ displaystyle - {\ frac {GM_ {1} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} || ^ {3}}} - {\ frac {Gm_ {2} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + {\ boldsymbol {r}} \; \ omega ^ {2} = 0},

barele duble care indică faptul că se ia norma vectorilor considerați. Viteza unghiulară ω este apoi înlocuită de valoarea sa rezultată din a treia lege a lui Kepler, care dă

-GM1(r-r1)||r-r1||3-Gm2(r-r2)||r-r2||3+GMrR3=0{\ displaystyle - {\ frac {GM_ {1} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} || ^ {3}}} - {\ frac {Gm_ {2} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + {\ frac {GM {\ boldsymbol {r}}} {R ^ {3}}} = 0},

pe care îl simplificăm imediat prin constanta gravitațională

-M1r-r1||r-r1||3-m2r-r2||r-r2||3+MrR3=0{\ displaystyle -M_ {1} {\ frac {{\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} - m_ {2} {\ frac {{\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2}} {|| {\ boldsymbol {r} } - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + M {\ frac {\ boldsymbol {r}} {R ^ {3}}} = 0}.

Rezoluția acestei ecuații este cea care dă diferitele puncte ale Lagrange.

Cele două cazuri de luat în considerare

Proiecția acestei ecuații perpendiculare pe planul orbitei, a cărei normală este dată de un vector notat dă imediat z^{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {z}}}}

r⋅z^=0{\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} \ cdot {\ hat {\ boldsymbol {z}}} = 0},

ceea ce implică faptul că setul de puncte Lagrange este situat în planul orbitei. Ecuația este deci rezolvată în plan orbital. Trebuie luate în considerare două cazuri:

• cel în care căutăm un punct de-a lungul axei formate din cele două corpuri,
• cel în care căutăm un punct în afara acestei axe.

Al doilea caz se dovedește a fi cel mai ușor de studiat.   Detalii de calcul - Punctele L 4 și L 5 Cazul punctelor L 4 și L 5

Se presupune că vectorul de rază r nu este paralel cu axa care trece prin cele două corpuri. Prin urmare, proiectăm ecuația fundamentală perpendiculară pe această axă, o direcție pe care presupunem că este definită de un vector notat . Prin definiție, această direcție fiind perpendiculară pe axa care leagă cele două corpuri, avem y^{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {y}}}}

y^⋅r1=y^⋅r2=0.{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {1} = {\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ { 2} = 0.}.

Prin urmare, ecuația fundamentală este rescrisă

-M1y^⋅r||r-r1||3-m2y^⋅r||r-r2||3+My^⋅rR3=0{\ displaystyle -M_ {1} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r} } _ {1} || ^ {3}}} - m_ {2} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} {|| {\ boldsymbol { r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + M {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} {R ^ {3}}} = 0}.

Termenii sunt simplificați, ceea ce dă y^⋅r{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}}

-M1||r-r1||3-m2||r-r2||3+MR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} - {\ frac {m_ { 2}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + {\ frac {M} {R ^ {3}}} = 0 }.

Acum definim direcția ca perpendiculară pe r . Deoarece r nu este coliniar cu r 1 și r 2 , cantitățile nu sunt nule. Prin proiectarea ecuației fundamentale de-a lungul lui s, obținem s^{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {s}}}}s^⋅r1,2{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {s}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {1,2}}

M1s^⋅r1||r-r1||3+m2s^⋅r2||r-r2||3=0{\ displaystyle M_ {1} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {s}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} + m_ {2} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {s}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {2}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} = 0}.

Cu toate acestea, conform teoremei lui Thales , proiecțiile r 1 și r 2 împreună sunt în același raport ca proiecțiile acestor vectori de-a lungul axei leagă cele două corpuri. Rezultă că ecuația anterioară poate fi rescrisă s^{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {s}}}}

M1r1||r-r1||3+m2r2||r-r2||3=0{\ displaystyle M_ {1} {\ frac {r_ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} + m_ {2 } {\ frac {r_ {2}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} = 0}.

Baricentrul celor două corpuri implică, așa cum am văzut anterior, că

M1r1+m2r2=0{\ displaystyle M_ {1} r_ {1} + m_ {2} r_ {2} = 0}.

Combinația acestei ecuații și cea care precede implică astfel că cele două distanțe și sunt identice, valoarea lor fiind notată R ': ||r-r1||{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} ||}||r-r2||{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} ||}

||r-r1||=||r-r2||≡R′{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || = || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || \ equiv R '}.

Prin injectarea acestui rezultat pe proiecția de-a lungul lui r , vine atunci

-M1R′3-m2R′3+MR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {R '^ {3}}} - {\ frac {m_ {2}} {R' ^ {3}}} + {\ frac {M} {R ^ {3}}} = 0}.

Înmulțind întregul cu R ' 3 și amintind că M este suma celor două mase, obținem în cele din urmă

M(R′3R3-1)=0{\ displaystyle M \ left ({\ frac {R '^ {3}} {R ^ {3}}} - 1 \ right) = 0},

care dă în cele din urmă

||r-r1||=||r-r2||=R{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || = || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || = R},

adică punctele căutate formează un triunghi echilateral cu cele două corpuri ale sistemului. Aceste triunghiuri sunt, de asemenea, incluse în planul orbital, care dă două puncte posibile, notate ca anunțate L 4 și L 5 , fiind situate de fiecare parte a axei care leagă cele două corpuri.

Folosind teorema lui Pitagora , se scrie distanța D a acestor două puncte Lagrange de centrul de greutate al sistemului.

D2=(-|r1|+R/2)2+(3R/2)2{\ displaystyle D ^ {2} = (- | r_ {1} | + R / 2) ^ {2} + ({\ sqrt {3}} R / 2) ^ {2}},

Care dau

D2=r12+14R2-R|r1|+34R2{\ displaystyle D ^ {2} = r_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {4}} R ^ {2} -R | r_ {1} | + {\ frac {3} {4 }} R ^ {2}},

Care dau

D2=R2+r12-R|r1|{\ displaystyle D ^ {2} = R ^ {2} + r_ {1} ^ {2} -R | r_ {1} |}.

Folosind faptul că vine R=|r1|+r2{\ displaystyle R = | r_ {1} | + r_ {2}}

D2=r22+|r1|R=r12+r2R{\ displaystyle D ^ {2} = r_ {2} ^ {2} + | r_ {1} | R = r_ {1} ^ {2} + r_ {2} R}. Prin urmare, distanța este mai mare decât distanțele fiecăruia dintre cele două corpuri față de centrul de greutate al sistemului. Aceste puncte Lagrange sunt, prin urmare, dincolo de orbita corpului cel mai puțin masiv și nu sunt situate strict pe el, deși acest lucru este aproape cazul în limita în care masa celui mai ușor corp devine neglijabilă în comparație cu cea a însoțitorului său.   Detalii de calcul - Punctele L 1 până la L 3 Cazul punctelor L 1 până la L 3

Dacă se iau în considerare punctele Lagrange situate pe axa care leagă cele două corpuri, trebuie luate în considerare trei sub-cazuri:

1. Cazul în care punctele sunt între câmpurile 1 și 2  ;
2. Cazul în care punctele sunt opuse corpului 2 față de corpul 1  ;
3. Cazul în care punctele sunt opuse corpului 1 față de corpul 2 .

În aceste trei cazuri, ecuația fundamentală este rescrisă după cum urmează:

• Cazul 1: proiecția celor două forțe pe axă are semne opuse (proiecția forței exercitate de corpul 1 este negativă, cea a forței exercitate de corpul 2 este pozitivă), ceea ce dă -M1(r-r1)2+m2(r-r2)2+MrR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {(r-r_ {1}) ^ {2}}} + {\ frac {m_ {2}} {(r-r_ {2}) ^ {2 }}} + M {\ frac {r} {R ^ {3}}} = 0},

cu r1<r<r2{\ displaystyle r_ {1} <r <r_ {2}}.

• Cazul 2: proiecția celor două forțe pe axă este negativă, ceea ce dă -M1(r-r1)2-m2(r-r2)2+MrR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {(r-r_ {1}) ^ {2}}} - {\ frac {m_ {2}} {(r-r_ {2}) ^ {2 }}} + M {\ frac {r} {R ^ {3}}} = 0},

cu r1<r2<r{\ displaystyle r_ {1} <r_ {2} <r}.

• Cazul 3: proiecția celor două forțe pe axă este pozitivă, ceea ce dă M1(r-r1)2+m2(r-r2)2+MrR3=0{\ displaystyle {\ frac {M_ {1}} {(r-r_ {1}) ^ {2}}} + {\ frac {m_ {2}} {(r-r_ {2}) ^ {2} }} + M {\ frac {r} {R ^ {3}}} = 0},

cu r<r1<r2{\ displaystyle r <r_ {1} <r_ {2}}.

Fiecare dintre aceste trei ecuații poate fi redusă la o ecuație polinomială de gradul cinci, pentru care nu există o soluție analitică exactă, cu excepția cazurilor particulare (cum ar fi cea a două mase identice, de exemplu).

Unicitatea soluțiilor în fiecare dintre cele trei cazuri este dedusă din faptul că ecuația care trebuie rezolvată asupra echilibrului forțelor derivă dintr-un U potențial , dat de

U=-M1||r-r1||-m2||r-r2||-12Mr2R3{\ displaystyle U = - {\ frac {M_ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} ||}} - {\ frac {m_ {2} } {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} ||}} - {\ frac {1} {2}} {\ frac {Mr ^ {2}} {R ^ {3}}}}. Acest potențial reprezintă poli în r 1 și r 2 și corespunde în afara acestor valori la suma a trei termeni concavi și, prin urmare, este local concav. Prin urmare, are o singură extremă locală în fiecare dintre domeniile în care este definit, adică în fiecare dintre cele trei cazuri menționate mai sus.   Soluții pentru L 1 la L 3 în cazul în care raportul dintre mase este scăzut Formă și soluție reduse în cazul în care raportul de masă este scăzut

Când raportul dintre m 2 și M 1 (sau între m 2 și M) este scăzut, putem găsi o soluție aproximativă pentru poziția fiecărui punct prin efectuarea unei expansiuni limitate dintr-o soluție aproximativă ușor de găsit. Pentru notație simplifica, am efectuat o schimbare de scară pentru a exprima toate lungimile în trepte de separare R și unitatea de masă din masa totală M . Pozăm astfel

tu=r/R{\ displaystyle u = r / R},

și

tu1,2=r1,2/R{\ displaystyle u_ {1,2} = r_ {1,2} / R},

și definim parametrul mic q prin

q≡m2/M{\ displaystyle q \ equiv m_ {2} / M},

din care putem exprima

M1/M=1-q{\ displaystyle M_ {1} / M = 1-q}, tu1=-q{\ displaystyle u_ {1} = - q}, tu2=1-q{\ displaystyle u_ {2} = 1-q}.

În acest caz, cele trei ecuații scrise mai sus iau forma mai simplă

• Cazul 1: -1-q(tu+q)2+q(tu-1+q)2+tu=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0},

cu -q<tu<1-q{\ displaystyle -q <u <1-q}.

• Cazul 2: proiecția celor două forțe pe axă este negativă, ceea ce dă -1-q(tu+q)2-q(tu-1+q)2+tu=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} - {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0},

cu 1-q<tu{\ displaystyle 1-q <u}.

• Cazul 3: proiecția celor două forțe pe axă este pozitivă, ceea ce dă 1-q(tu+q)2+q(tu-1+q)2+tu=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0},

cu tu<-q{\ displaystyle u <-q}.Punctul L 1

Când masa corpului 2 este neglijabilă, atracția sa este neglijabilă, cu excepția cazului în care particula testată este foarte aproape. Cu toate acestea, atunci când atracția corpului 2 este neglijabil, echilibrul dintre atracția corpului 1 și forța centrifugă este astfel încât distanța dintre punctul de echilibru este în ordinea R . Când punctul de echilibru este situat vizavi de corpul 2 , suntem în cazul punctului Lagrange  L 3 , care este așadar, aproximativ, situat vizavi de corpul 2 comparativ cu corpul 1 . În caz contrar, vom presupune, prin urmare, că punctul de echilibru este destul de apropiat de corpul 2 (și, prin urmare, din nou situat la distanța R de corpul 1 ), dar totuși suficient de departe, astfel încât atracția corpului 2 exercitată asupra particulei de testare să rămână mică comparativ cu cel al corpului 1 . Prin urmare, pozăm de la forma redusă

tu=tu2+ε′=1-q+ε{\ displaystyle u = u_ {2} + \ varepsilon '= 1-q + \ varepsilon},

unde aici ε ' este o cantitate mică și negativă (presupunem aici că punctul este între cele două câmpuri). Ecuația redusă se transformă apoi în

-1-q(1+ε′)2+qε′2+1-q+ε′=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon ') ^ {2}}} + {\ frac {q} {\ varepsilon' ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon '= 0}.

Realizăm o dezvoltare limitată la prima ordine a atracției produse de corp 1  :

-(1-q)(1-2ε′)+qε′2+1-q+ε′=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon ') + {\ frac {q} {\ varepsilon' ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon '= 0}.

Termenii din 1 -  q sunt simplificați și rămân

(3-2q)ε′+qε′2=0{\ displaystyle (3-2q) \ varepsilon '+ {\ frac {q} {\ varepsilon' ^ {2}}} = 0}.

Păstrând totuși numai termenii de ordine mai mici în q , vine

ε′=-(q3)13{\ displaystyle \ varepsilon '= - \ left ({\ frac {q} {3}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}}}.

Putem apoi continua calculul, dezvoltând abaterea punctului de pe corpul 2 în puteri de ε ' . Pozăm astfel

tu=1-q+ε′+Xε′2+O(ε′3){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon '^ {3})}.

Ecuația fundamentală redusă dă apoi

-1-q(1+ε′+Xε′2)2+q(ε′+Xε′2)2+1-q+ε′+Xε′2=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2}) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(\ varepsilon '+ x \ varepsilon '^ {2}) ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon' + x \ varepsilon '^ {2} = 0}.

Putem descompune al doilea termen cu q  /  ε ' 2 , pe care îl putem înlocui cu valoarea lui, adică -3  ε' . Atunci ajungem

-(1-q)(1+ε′+Xε′2)-2-3ε′(1+Xε′)-2+1-q+ε′+Xε′2=0{\ displaystyle - (1-q) (1+ \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2}) ^ {- 2} -3 \ varepsilon '(1 + x \ varepsilon') ^ {- 2} +1 -q + \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2} = 0}.

Apoi efectuăm o extindere limitată a primilor doi termeni, în a doua ordine pentru primul și în prima ordine pentru următoarele, ceea ce oferă

-(1-q)(1-2ε′-2Xε′2+3ε′2)-3ε′(1-2Xε′)+1-q+ε′+Xε′2=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon '-2x \ varepsilon' ^ {2} +3 \ varepsilon '^ {2}) - 3 \ varepsilon' (1-2x \ varepsilon ') +1 -q + \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2} = 0},

din care deducem că x valorează o treime, ceea ce dă

tu=1-q+ε′+13ε′2+O(ε3){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon '+ {\ frac {1} {3}} \ varepsilon' ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {3})}.

Dezvoltarea poate fi apoi continuată urmând aceeași procedură. În ordinea următoare, avem astfel

tu=1-q+ε′+13ε′2-19ε′3+O(ε′4){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon '+ {\ frac {1} {3}} \ varepsilon' ^ {2} - {\ frac {1} {9}} \ varepsilon '^ {3} + { \ mathcal {O}} (\ varepsilon '^ {4})}.Punctul L 2

Cazul punctului L 2 este rezolvat exact ca în secțiunea anterioară, cu excepția faptului că semnul celui de-al doilea termen al ecuației fundamentale este negativ. Așa că întrebăm

tu=1-q+ε{\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon},

ε fiind de data aceasta presupus a fi mic și pozitiv, și astfel avem

-1-q(1+ε)2-qε2+1-q+ε=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon) ^ {2}}} - {\ frac {q} {\ varepsilon ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon = 0 }.

Rezoluția de comandă cea mai mică oferă

-(1-q)(1-2ε)-qε2+1-q+ε=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon) - {\ frac {q} {\ varepsilon ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon = 0},

care după anularea termenilor dă

3ε=qε2{\ displaystyle 3 \ varepsilon = {\ frac {q} {\ varepsilon ^ {2}}}},

acesta este

ε=(q3)13=-ε′{\ displaystyle \ varepsilon = \ left ({\ frac {q} {3}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}} = - \ varepsilon '}.

Aceasta corespunde celui mai apropiat semn cu același rezultat ca înainte. Dezvoltarea în continuare a soluției se face ca înainte. Începem de la

tu=1-q+ε+Xε2{\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2}},

și injectăm acest rezultat în ecuația fundamentală

-1-q(1+ε+Xε2)2-q(ε+Xε2)2+1-q+ε+Xε2=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2}) ^ {2}}} - {\ frac {q} {(\ varepsilon + x \ varepsilon ^ { 2}) ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2} = 0}.

Ca și înainte, transformăm această expresie în conformitate cu

-(1-q)(1-2ε-2Xε2+3ε2)-3ε(1-2Xε)+1-q+ε+Xε2=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon -2x \ varepsilon ^ {2} +3 \ varepsilon ^ {2}) - 3 \ varepsilon (1-2x \ varepsilon) + 1-q + \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2} = 0},

ce rezolvăm în

X=13{\ displaystyle x = {\ frac {1} {3}}},

acesta este

tu=1-q+ε+13ε2+O(ε3){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {3})}.

Această expresie este identică cu cea a primului punct Lagrange prin înlocuirea lui ε ' cu ε , dar aceste două puncte sunt asimetrice: ca semn al lui ε , ε' se schimbă între punctul L 1 și punctul L 2 , corectarea de ordinul doi, întotdeauna pozitiv , aproximează punctul L 1 al corpului 2 în timp ce păstrează punctul L 2  : cele două puncte nu sunt echidistante de corpul 2 . Pentru Pământ, raportul de masă este de 1 ⁄ 300.000 , iar ε este de ordinul 0,01, ceea ce plasează cele două puncte față de Pământ la o distanță de aproximativ o sutime din distanța Pământ-Soare, sau în limita a 1.500.000 de  kilometri . Termenul de ordinul doi este de ordinul unei treizeci și miimi din distanța Pământ-Soare, adică pe o rază de 5.000  km . Prin urmare, punctul L 1 este cu aproximativ 10.000  km mai aproape de Pământ decât este L 2 .

În cele din urmă, putem continua dezvoltarea la ordinea superioară, ceea ce oferă toate calculele făcute

tu=1-q+ε+13ε2-19ε3+O(ε4){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} - {\ frac {1} {9}} \ varepsilon ^ {3} + {\ mathcal { O}} (\ varepsilon ^ {4})}.Punctul L 3

În cazul 3, care va corespunde punctului L 3 , se scrie ecuația fundamentală

1-q(tu+q)2+q(tu-1+q)2+tu=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0}.

Întrucât se presupune că punctul depășește corpul 1 față de corpul 2 , este mai aproape de cel mai masiv corp, a cărui atracție va fi preponderentă față de celălalt corp. În situația în care ne aflăm, punctul căutat are, așadar, poziția sa aproximativă

1-q(tu+q)2+tu=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + u = 0}.

Soluția aproximativă la această ecuație este, desigur

tu≃-1{\ displaystyle u \ simeq -1}.

Pentru a găsi abaterile de la această valoare, scriem în ecuația fundamentală

tu=-1+v{\ displaystyle u = -1 + v},

și rezolvăm ecuația luând în considerare primii termeni din q . Obținem astfel

1-q(-1+v+q)2+q(-1-1+v+q)2-1+v=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(- 1 + v + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(- 1-1 + v + q) ^ {2}}} -1 + v = 0}.

Cantitățile și q fiind mici în fața lui R , se scrie primul termen v{\ displaystyle v}

1-q(-1+v+q)2=(1-q)(1-v-q)-2≃(1-q)+2(v+q){\ displaystyle {\ frac {1-q} {(- 1 + v + q) ^ {2}}} = (1-q) (1-vq) ^ {- 2} \ simeq (1-q) + 2 (v + q)}.

Al doilea termen fiind neglijabil în comparație cu cel precedent (este proporțional cu q ), poate fi aproximat în

q(-1-1+v+q)2≃q4{\ displaystyle {\ frac {q} {(- 1-1 + v + q) ^ {2}}} \ simeq {\ frac {q} {4}}}.

Combinând toți acești termeni, obținem

1-q+2(v+q)+q4-1+v=0{\ displaystyle 1-q + 2 (v + q) + {\ frac {q} {4}} - 1 + v = 0},

Care dau

54q+3v=0{\ displaystyle {\ frac {5} {4}} q + 3v = 0},

adică

v=-512m2M+O(m22M2){\ displaystyle v = - {\ frac {5} {12}} {\ frac {m_ {2}} {M}} + {\ mathcal {O}} \ left ({\ frac {m_ {2} ^ { 2}} {M ^ {2}}} \ dreapta)}.

Se poate continua fără dificultate acest calcul, pozând acum

tu=-1-512q+w{\ displaystyle u = -1 - {\ frac {5} {12}} q + w},

w{\ displaystyle w}fiind de această dată proporțional cu q 2 . Ecuația fundamentală devine atunci

1-q(-1-512q+w+q)2+q(-1-1-512q+w+q)2-1-512q+w=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {\ left (-1 - {\ frac {5} {12}} q + w + q \ right) ^ {2}}} + {\ frac {q} { \ left (-1-1 - {\ frac {5} {12}} q + w + q \ right) ^ {2}}} - 1 - {\ frac {5} {12}} q + w = 0},

adică

1-q(1-712q-w)2+q(2-712q-w)2-1-512q+w=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {\ left (1 - {\ frac {7} {12}} qw \ right) ^ {2}}} + {\ frac {q} {\ left (2- {\ frac {7} {12}} qw \ right) ^ {2}}} - 1 - {\ frac {5} {12}} q + w = ​​0}.

Prin extinderea acestei expresii la a doua ordine în q , găsim

w=0+O(q3){\ displaystyle w = 0 + {\ mathcal {O}} (q ^ {3})},

adică cel mult se află în q 3 . Refăcând calculul în acest context, găsim în cele din urmă w{\ displaystyle w}

w=112720736q3+O(q4){\ displaystyle w = {\ frac {1127} {20736}} q ^ {3} + {\ mathcal {O}} (q ^ {4})}. Rareori este util să luăm calculul atât de departe: într-o configurație Soare-Planetă, ultimul termen corectiv este cel mai bine de ordinul 10-9 , deoarece cel mai mare raport de masă Planetă-Soare, în cazul lui Jupiter este de ordinul unei miimi. Prin urmare, termenul q 3 este, pentru Jupiter, de ordinul unui miliard, care, având în vedere dimensiunea orbitei sale, corespunde unei corecții de aproximativ cincizeci de metri, dat fiind că fracția factor a lui q 3 este de ordinul unei douăzeci . Pentru sistemul Pământ-Soare (distanță de aproximativ 150 de milioane de kilometri, raportul de masă de aproximativ 1 ⁄ 300.000 ), ultima corecție este o fracțiune de micron.  

Stabilitate

Calculul de mai sus nu indică nimic dacă punctele Lagrange sunt stabile. În plus, stabilitatea sau nu a acestor puncte nu este foarte intuitivă. În cadrul de referință care se rotește cu cele două corpuri, o particulă de test poate fi văzută ca fiind supusă unui potențial care include contribuția gravitațională și cea a forței centrifuge. Acest potențial, notat Ω, este scris ca

Ω=-GM1|r-r1|-Gm2|r-r2|-12|r|2ω2{\ displaystyle \ Omega = - {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |}} - {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} |}} - {\ frac {1} {2}} | {\ boldsymbol {r}} | ^ {2} \ omega ^ {2}}.

Toți termenii acestui potențial sunt negativi și scad pe măsură ce cineva se îndepărtează de mase (pentru primii doi termeni) sau de centrul de greutate al sistemului (pentru al treilea). Putem arăta astfel că punctele Lagrange L 4 și L 5 sunt maxime locale ale potențialului Ω (vezi mai jos) și că celelalte trei puncte sunt puncte de șa . De obicei, o poziție de echilibru (determinată de anularea derivatelor potențialului) este stabilă numai dacă una este situată în minimele locale ale potențialului. Cu toate acestea, având în vedere că ne aflăm într-un cadru de referință rotativ, cadrul de referință este non-inerțial . Un obiect care se mișcă în acest cadru de referință, de exemplu în vecinătatea unei poziții de echilibru, va fi supus forței Coriolis , iar mișcarea sa nu depinde doar de forma potențialului. Pentru a studia stabilitatea punctelor Lagrange, este deci necesar să se ia în considerare forța Coriolis.

Pentru a calcula stabilitatea punctelor Lagrange, este astfel necesar să se studieze ecuația de mișcare a unui obiect situat în vecinătatea unuia dintre aceste puncte. Notând δR vectorul coordonatelor δX și δY dând abaterea unui astfel de obiect la unul dintre punctele Lagrange (ceea ce se presupune limitat la planul orbital), se scrie ecuația mișcării

δR¨=-2ω∧δR˙+δf{\ displaystyle {\ ddot {\ boldsymbol {\ delta R}}} = - 2 {\ boldsymbol {\ omega}} \ wedge {\ dot {\ boldsymbol {\ delta R}}} + {\ boldsymbol {\ delta f }}},

unde δf reprezintă forța pe unitate de masă exercitată asupra obiectului. Această forță este mică datorită faptului că la punctul Lagrange forța (formată dintr-o componentă gravitațională și forța centrifugă) este zero și că cineva se plasează în apropierea unui astfel de punct. Această forță poate fi calculată în termeni de dezvoltare limitată. De exemplu, pentru componenta X , avem

δfX=fX(0)+∂fX∂XδX+∂fX∂DaδDa{\ displaystyle \ delta f_ {X} = f_ {X} (0) + {\ frac {\ partial f_ {X}} {\ partial X}} \ delta X + {\ frac {\ partial f_ {X}} {\ partial Y}} \ delta Y}.

Primul termen corespunde forței exercitate în punctul Lagrange, forță care este zero prin construcție. În plus, forța care derivă dintr-un potențial, se poate exprima derivatele forței în termeni de derivate secundare ale potențialului:

δfX=-∂2Ω∂X2δX-∂2Ω∂X∂DaδDa{\ displaystyle \ delta f_ {X} = - {\ frac {\ partial ^ {2} \ Omega} {\ partial X ^ {2}}} \ delta X - {\ frac {\ partial ^ {2} \ Omega } {\ partial X \ partial Y}} \ delta Y}.

Putem astfel exprima ecuația mișcării în termenii componentelor conform

δX¨=2ωδDa˙-∂2Ω∂X2δX-∂2Ω∂X∂DaδDa{\ displaystyle {\ ddot {\ delta X}} = 2 \ omega {\ dot {\ delta Y}} - {\ frac {\ partial ^ {2} \ Omega} {\ partial X ^ {2}}} \ delta X - {\ frac {\ partial ^ {2} \ Omega} {\ partial X \ partial Y}} \ delta Y}, δDa¨=-2ωδX˙-∂2Ω∂X∂DaδX-∂2Ω∂Da2δDa{\ displaystyle {\ ddot {\ delta Y}} = - 2 \ omega {\ dot {\ delta X}} - {\ frac {\ partial ^ {2} \ Omega} {\ partial X \ partial Y}} \ delta X - {\ frac {\ partial ^ {2} \ Omega} {\ partial Y ^ {2}}} \ delta Y}.

Acest grup de ecuații poate fi pus sub forma unui sistem de patru ecuații diferențiale de primul ordin:

∂∂t(δXδDaδX˙δDa˙)=(00100001-Ω,XX-Ω,Xy02ω-Ω,Xy-Ω,yy-2ω0)(δXδDaδX˙δDa˙){\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ begin {array} {c} \ delta X \\\ delta Y \\ {\ dot {\ delta X}} \\ { \ dot {\ delta Y}} \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ - \ Omega _ {, xx} & - \ Omega _ {, xy} & 0 & 2 \ omega \\ - \ Omega _ {, xy} & - \ Omega _ {, yy} & - 2 \ omega & 0 \ end { array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {c} \ delta X \\\ delta Y \\ {\ dot {\ delta X}} \\ {\ dot {\ delta Y}} \ end {matrice}} \ dreapta)},

unde derivatele parțiale ale potențialului Ω au fost notate ca un index precedat de o virgulă (de exemplu, Ω , xx corespunde ). ∂2Ω/∂X2{\ displaystyle \ partial ^ {2} \ Omega / \ partial x ^ {2}}

Stabilitatea punctului Lagrange luat în considerare se obține prin căutarea soluțiilor acestei ecuații. Pentru a face acest lucru, este suficient să găsiți soluții de tip exponențial , în . Vom proceda astfel , la diagonalizarea matricea de mai sus, care vor fi notate A . Valorile proprii găsite vor corespunde mărimilor Γ de mai sus, abaterile de la poziția de echilibru fiind atunci o anumită combinație de cel mult patru exponențiale. Stabilitatea sistemului este asigurată de faptul că exponențialele nu cresc în timp, adică cantitățile Γ sunt fie negative, fie complexe cu părți reale negative. De fapt, nu este necesară diagonalizarea completă a matricei, este suficient să găsim valorile proprii, adică soluțiile ecuației eΓt{\ displaystyle e ^ {\ Gamma t}}

det(LA-λEu)=0{\ displaystyle \ det (A- \ lambda I) = 0}.

Acest determinant este scris

|-λ0100-λ01-Ω,XX-Ω,Xy,-λ2ω-Ω,Xy-Ωyy-2ω-λ|{\ displaystyle \ left | {\ begin {array} {cccc} - \ lambda & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \ lambda & 0 & 1 \\ - \ Omega _ {, xx} & - \ Omega _ {, xy}, & - \ lambda & 2 \ omega \\ - \ Omega _ {, xy} & - \ Omega _ {yy} & - 2 \ omega & - \ lambda \ end {array}} \ right |},

și merită

λ4+(Ω,XX+Ω,yy+4ω2)λ2+Ω,XXΩ,yy-Ω,Xy2{\ displaystyle \ lambda ^ {4} + (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}) \ lambda ^ {2} + \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2}}.

Această ecuație poate fi redusă la o ecuație polinomială de ordinul doi în λ 2 . Soluțiile ecuației de pornire sunt, prin urmare, două perechi de numere opuse două câte două. Pentru ca două numere opuse să fie negative sau zero sau apoi să aibă o parte reală negativă sau zero, ele trebuie să fie neapărat numere imaginare pure, astfel încât soluțiile ecuației din λ 2 să fie reale și negative. Pentru ca aceste soluții să fie reale, discriminantul trebuie, prin urmare, să fie pozitiv sau aici

(Ω,XX+Ω,yy+4ω2)2-4(Ω,XXΩ,yy-Ω,Xy2)>0{\ displaystyle (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}) ^ {2} -4 (\ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2})> 0}.

Odată obținut acest lucru, cele două soluții reale trebuie să fie negative, ceea ce implică faptul că simultan suma lor este negativă și produsul lor pozitiv, ceea ce implică

Ω,XX+Ω,yy+4ω2>0{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}> 0}, Ω,XXΩ,yy-Ω,Xy2>0{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2}> 0}.

Stabilitatea unui punct Lagrange este supusă realizării acestor trei constrângeri. Printre aceste constrângeri, ultima are o interpretare simplă: semnul cantității determină dacă poziția luată în considerare este un extremum local sau un punct de șa. În acest caz, pozitivitatea acestei mărimi implică faptul că trebuie să fie un extremum local, o condiție necesară, dar nu suficientă pentru stabilitatea punctului Lagrange. Când această cantitate este negativă, avem un punct de șa și punctul Lagrange este instabil. Pe de altă parte, mai surprinzător, un punct Lagrange poate fi stabil dacă corespunde unui maxim local al potențialului, adică Ω , xx  + Ω , yy poate fi negativ, cu condiția ca această cantitate să nu depășească valoarea critică de -4  ω 2 . În practică, acest lucru se întâmplă în anumite cazuri pentru punctele Lagrange L 4 și L 5 . Interpretarea fizică a acestei situații este că stabilitatea este apoi asigurată de forța Coriolis. Un obiect ușor decalat de la un astfel de punct se va îndepărta inițial radial, înainte de a-și vedea traiectoria curbată de forța Coriolis. Dacă potențialul este peste tot în scădere în jurul punctului, atunci este posibil ca forța Coriolis să forțeze obiectul să se învârtă în jurul punctului Lagrange, ca norii dintr-o depresiune care nu indică spre centrul depresiunii, dar sunt forțați să cale circulară în jurul ei. Ω,XXΩ,yy-Ω,Xy2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2}}

Calcul ulterior Preliminar

Pentru a studia stabilitatea punctelor Lagrange, va trebui să calculați derivatele succesive ale potențialului. Acest potențial implică distanță | r  -  r 1 |. Prin urmare, este necesar să cunoaștem derivatele diferitelor puteri ale unei astfel de mărimi. În coordonatele carteziene , această cantitate este scrisă

|r-r1|=(X-X1)2+(y-y1)2+(z-z1)2{\ displaystyle | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | = {\ sqrt {(x-x_ {1}) ^ {2} + (y-y_ {1}) ^ {2} + (z-z_ {1}) ^ {2}}}}.

Prin urmare, derivata sa față de una dintre coordonatele x , y , z , notată colectiv x i, este scrisă

∂eu|r-r1|=122(Xeu-X1eu)(X-X1)2+(y-y1)2+(z-z1)2=Xeu-X1eu|r-r1|{\ displaystyle \ partial _ {i} | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | = {\ frac {1} {2}} {\ frac {2 (x_ {i } -x_ {1 \; i})} {\ sqrt {(x-x_ {1}) ^ {2} + (y-y_ {1}) ^ {2} + (z-z_ {1}) ^ {2}}}} = {\ frac {x_ {i} -x_ {1 \; i}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |}}}.

Prin urmare, derivata oricărei puteri p a acestei mărimi este

∂eu(|r-r1|p)=p(Xeu-X1eu)|r-r1|p-2{\ displaystyle \ partial _ {i} (| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {p}) = p (x_ {i} -x_ {1 \; i }) | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {p-2}}.

Prin adaptarea acestui rezultat la al doilea derivat al cantităților care intervin în potențial, avem

∂euj(1|r-r1|)=-δeuj|r-r1|3+3(Xeu-X1eu)(Xj-X1j)|r-r1|5{\ displaystyle \ partial _ {ij} \ left ({\ frac {1} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |}} \ right) = - {\ frac {\ delta _ {ij}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3}}} + 3 {\ frac {(x_ {i} -x_ { 1 \; i}) (x_ {j} -x_ {1 \; j})} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {5}}}},

care, pentru întregul potențial, dă

∂eujΩ=δeujGM1|r-r1|3-3(Xeu-X1eu)(Xj-X1j)GM1|r-r1|5+δeujGm2|r-r2|3-3(Xeu-X2eu)(Xj-X2j)Gm2|r-r2|5-ω2δeuj{\ displaystyle \ partial _ {ij} \ Omega = \ delta _ {ij} {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3}}} - 3 {\ frac {(x_ {i} -x_ {1 \; i}) (x_ {j} -x_ {1 \; j}) GM_ {1}} {| {\ boldsymbol { r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {5}}} + \ delta _ {ij} {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3}}} - 3 {\ frac {(x_ {i} -x_ {2 \; i}) (x_ {j} -x_ {2 \; j}) Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {5}}} - \ omega ^ {2} \ delta _ {ij}},

unde δ ij reprezintă simbolul Kronecker . Este valoarea acestor derivate parțiale pe care este necesar să o calculăm pentru a determina stabilitatea diferitelor puncte ale Lagrange. Pentru punctele Lagrange L 4 și L 5, acest calcul este cel mai simplu.

Cazul punctelor Lagrange L 4 și L 5

Aceste puncte se caracterizează prin faptul că distanța lor de cele două corpuri este identică și egală cu R  :

|r-r1|=|r-r2|=R{\ displaystyle | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | = | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | = R}.

În plus, se poate folosi a treia lege a lui Kepler pentru a transmite cantități de tipul G M  /  R 3 la ω și se știe coordonatele exacte ale punctelor Lagrange. Evaluând derivatele potențialului la punctele Lagrange L 4 sau L 5 , avem

Xeu-X1eu=(12R,±32R){\ displaystyle x_ {i} -x_ {1 \; i} = \ left ({\ frac {1} {2}} R, \ pm {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} R \ right )}},

și

Xeu-X2eu=(-12R,±32R){\ displaystyle x_ {i} -x_ {2 \; i} = \ left (- {\ frac {1} {2}} R, \ pm {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} R \ dreapta)},

semnul + aplicarea pentru L 5 și semnul - pentru L 4 . În cele din urmă, matricea dorită are pentru componente

∂eujΩ=ω2(-34∓334(1-2q)∓334(1-2q)-94){\ displaystyle \ partial _ {ij} \ Omega = \ omega ^ {2} \ left ({\ begin {array} {cc} - {\ frac {3} {4}} & \ mp {\ frac {3 { \ sqrt {3}}} {4}} (1-2q) \\\ mp {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {4}} (1-2q) & - {\ frac {9} {4}} \ end {array}} \ right)}.

Determinantul acestei matrici este

det(∂eujΩ)=Ω,XXΩ,Xy-Ω,Xy2=2716(1-(1-2q)2)ω2=274ω2q(1-q){\ displaystyle \ det (\ partial _ {ij} \ Omega) = \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, xy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2} = {\ frac {27} { 16}} \ left (1- (1-2q) ^ {2} \ right) \ omega ^ {2} = {\ frac {27} {4}} \ omega ^ {2} q (1-q)},

care este întotdeauna pozitiv din moment ce q este limitat între 0 și 1. Se stabilește această primă condiție de stabilitate. A doua condiție de stabilitate este scrisă

Ω,XX+Ω,yy+4ω2=ω2(-34-94+4)=+ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2} = \ omega ^ {2} \ left (- {\ frac {3} {4}} - {\ frac {9} {4}} + 4 \ right) = + \ omega ^ {2}},

cantitatea din nou pozitivă. În cele din urmă, discriminantul dă

(Ω,XX+Ω,yy+4ω2)2-4(Ω,XXΩ,Xy-Ω,Xy2)=ω2(1-27q(1-q))=ω2(27q2-27q+1){\ displaystyle \ left (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2} \ right) ^ {2} -4 \ left (\ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, xy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2} \ right) = \ omega ^ {2} \ left (1-27q (1-q) \ right) = \ omega ^ {2} (27q ^ {2} -27q + 1)}.

Stabilitatea colonului este, în cele din urmă, determinată de pozitivitatea cantității . Zerourile q a , q b ale acestui polinom sunt date de formula obișnuită, care aici indică 27q2-27q+1{\ displaystyle 27q ^ {2} -27q + 1}

qLa,b=12±122327{\ displaystyle q_ {a, b} = {\ frac {1} {2}} \ pm {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {23} {27}}}}.

Acest polinom are astfel valori negative în interval . Astfel, stabilitatea acestor două puncte Lagrange este asigurată numai dacă cea mai mică masă nu depășește 3,852% din masa totală sau, în mod echivalent, dacă raportul celor două mase nu depășește 4,006%. q∈]12-122327,12+122327[≃]0,03852,0,96148[{\ displaystyle q \ in \ left] {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {23} {27}}}, {\ frac {1 } {2}} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {23} {27}}} \ right [\ simeq] 0, \! 03852,0, \! 96148 [}

Această condiție este verificată pentru toate configurațiile de tip Soare-Planetă (unde q nu depășește aproximativ o miime pentru Jupiter) sau pentru sistemul Pământ-Lună (unde q este de ordinul 1/80, adică 1, 25%).

Cazul punctelor Lagrange L 1 până la L 3

Cele trei puncte Lagrange L 1 până la L 3 sunt situate pe axa care leagă cele două corpuri. În formula care dă a doua derivată, cantitățile y i  -  y 1 i sunt zero, în timp ce analogii lor din x sunt identificați cu distanțele dintre unul dintre corpuri și punctul Lagrange considerat. În consecință, se scrie matricea derivatelor secundare

∂eujΩ=(-2GM1|r-r1|3-2Gm2|r-r2|3-ω200GM1|r-r1|3+Gm2|r-r2|3-ω2){\ displaystyle \ partial _ {ij} \ Omega = \ left ({\ begin {array} {cc} -2 {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} | ^ {3}}} - 2 {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3} }} - \ omega ^ {2} & 0 \\ 0 & {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3} }} + {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3}}} - \ omega ^ {2} \ end { matrice}} \ dreapta)}.

Termenul Ω , xx este clar negativ. Semnul determinantului matricei este determinat de cel al lui Ω , yy  : dacă acesta din urmă este pozitiv, atunci punctul Lagrange este un punct de șa și este instabil. Putem rescrie acest termen folosind a treia lege a lui Kepler:

Ω,yy=ω2((1-q)R3|r-r1|3+qR3|r-r2|3-1){\ displaystyle \ Omega _ {, yy} = \ omega ^ {2} \ left ((1-q) {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} | ^ {3}}} + q {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3 }}} - 1 \ dreapta)}. Cazul L 1

Punctul Lagrange  L 1 este situat între cele două corpuri. Distanța sa de ei, | r  -  r 1 | și | r  -  r 2 | De aceea, de fiecare dată strict mai mică decât R . Avem astfel

Ω,yy|THE1=ω2((1-q)R3|r-r1|3+qR3|r-r2|3-1)>ω2((1-q)+q-1)=0{\ displaystyle \ left. \ Omega _ {, yy} \ right | _ {L_ {1}} = \ omega ^ {2} \ left ((1-q) {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3}}} + q {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3}}} - 1 \ right)> \ omega ^ {2} \ left ((1-q) + q-1 \ right) = 0}.

Prin urmare, această cantitate este strict pozitivă, ceea ce asigură că determinantul este negativ, adică L 1 este un punct de șa, ceea ce îl face un punct instabil.

Cazul L 2 și L 3

Poziționăm, pentru a simplifica notațiile,

tu1=|r-r1|R{\ displaystyle u_ {1} = {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |} {R}}}, tu2=|r-r2|R{\ displaystyle u_ {2} = {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} |} {R}}}.

Prin urmare, suntem interesați de semnul cantității

Ω,yyω2=(1-q)1tu13+q1tu23-1{\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = (1-q) {\ frac {1} {u_ {1} ^ {3}}} + q { \ frac {1} {u_ {2} ^ {3}}} - 1},

acesta este

Ω,yyω2=(1-q)(1tu13-1)+q(1tu23-1){\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = (1-q) \ left ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {3}}} -1 \ right) + q \ left ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {3}}} - 1 \ right)},

știind că u 1 și u 2 sunt conectate între ele prin faptul că diferența lor este egală cu 1 și că definesc un punct Lagrange, adică relația

-(1-q)1tu12-q1tu22+|r|R=0{\ displaystyle - (1-q) {\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - q {\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} + {\ frac { | {\ boldsymbol {r}} |} {R}} = 0}.

Distanța de la punctul Lagrange la centrul de greutate al sistemului poate fi scrisă, pentru punctul L 2 ,

|r|R=tu2+(1-q)=tu1-q{\ displaystyle {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} |} {R}} = u_ {2} + (1-q) = u_ {1} -q},

relații care pot fi combinate în

|r|R=qtu2+(1-q)tu1{\ displaystyle {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} |} {R}} = qu_ {2} + (1-q) u_ {1}}.

Poziția punctului L 2 este, prin urmare, dată de

-(1-q)(1tu12-tu1)-q(1tu22-tu2)=0{\ displaystyle - (1-q) \ left ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - u_ {1} \ right) -q \ left ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} - u_ {2} \ right) = 0}.

Întrebăm atunci

LA=(1-q)(1tu12-tu1){\ displaystyle A = (1-q) \ left ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - u_ {1} \ right)}, B=q(1tu22-tu2){\ displaystyle B = q \ left ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} - u_ {2} \ right)}.

Deci avem, pe de o parte

LA+B=0{\ displaystyle A + B = 0},

Și pe de altă parte

Ω,yyω2=LAtu1+Btu2{\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = {\ frac {A} {u_ {1}}} + {\ frac {B} {u_ {2} }}}.

Cu alte cuvinte,

Ω,yyω2=LAtu1+Btu1+B(1tu2-1tu1){\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = {\ frac {A} {u_ {1}}} + {\ frac {B} {u_ {1} }} + B \ left ({\ frac {1} {u_ {2}}} - {\ frac {1} {u_ {1}}} \ right)}.

Primul termen din partea dreaptă este zero în virtutea relației A  +  B  = 0. Prin urmare, rămâne

Ω,yyω2=B(1tu2-1tu1){\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = B \ left ({\ frac {1} {u_ {2}}} - {\ frac {1} { u_ {1}}} \ right)}.

Cu toate acestea, pentru punctul L 2 , suntem situați mai aproape de corpul 2 decât de corpul 1 . Prin urmare, u 2 este mai mic decât u 1 și, prin urmare, este pozitiv. Semnul celei de-a doua derivate corespunde deci cu cel al lui B , care în sine este determinat de valoarea lui u 2  : dacă această cantitate este mai mare de 1, atunci B este negativ, în timp ce, în caz contrar, B este pozitiv, ceea ce implică faptul că punctul este instabil. Punctul Lagrange L 2 este situat dincolo de corpul 2 . Forța totală (gravitațională plus centrifugă) exercitată în această regiune este mai întâi întoarsă spre corpul 2 când unul este aproape de acesta, apoi este anulată în L 2 și apoi este direcționată opusă L 2 . În punctul în care u 2 este egal cu 1, componenta acestei forțe, de-a lungul axei care leagă cele două corpuri, este dată (până la o constantă multiplicativă pozitivă) de (1tu2-1tu1){\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {u_ {2}}} - {\ frac {1} {u_ {1}}} \ right)} 

δf∝-(1-q)(1tu12-tu1)-q(1tu22-tu2){\ displaystyle \ delta f \ propto - (1-q) \ left ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - u_ {1} \ right) -q \ left ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} - u_ {2} \ right)},

cu, aici,

tu2=1{\ displaystyle u_ {2} = 1}, tu1=2{\ displaystyle u_ {1} = 2},

acesta este

δf|tu2=1∝74(1-q){\ displaystyle \ left. \ delta f \ right | _ {u_ {2} = 1} \ propto {\ frac {7} {4}} (1-q)}. Această cantitate fiind strict pozitivă, punctul u 2  = 1 al axei este situat dincolo de punctul L 2 . În consecință, la punctul L 2 , u 2 este mai mic de 1, prin urmare B este pozitiv, prin urmare punctul este într-adevăr un punct de șa, care îi asigură instabilitatea. O demonstrație strict analogică poate fi făcută pentru punctul L 3 , care completează demonstrația instabilității lor datorită caracterului lor de punct de șa.  

Timpi caracteristici în L 1 și L 2 pentru sisteme cu mare eterogenitate de masă

Una dintre cele mai importante aplicații ale instabilității punctelor Lagrange, L 1 și L 2 , este că sateliții artificiali pot fi trimiși în aceste puncte ale sistemului Pământ-Soare (vezi mai jos). Pentru astfel de sateliți, trebuie aplicate corecții regulate ale cursului pentru a menține satelitul în apropierea punctului. Acest timp caracteristic poate fi evaluat în cazul în care raportul de masă al celor două corpuri al sistemului este ridicat. În acest caz, timpul caracteristic de instabilitate γ -1 este dat de

1γ=T2π1+27{\ displaystyle {\ frac {1} {\ gamma}} = {\ frac {T} {2 \ pi {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}}}}},

unde T este perioada orbitală a sistemului. În cazul sistemului Pământ-Soare, unde T este puțin mai mare de 365 de zile, timpul caracteristic al instabilității este apoi de 23 de zile și 4 ore.

În plus, componenta stabilă a traiectoriei apare la pulsație

ωTrLaj=ω27-1{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {Traj}} = \ omega {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}},

sau, într-un mod echivalent, cu perioada

TTrLaj=T27-1{\ displaystyle T _ {\ rm {Traj}} = {\ frac {T} {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}}},

care, în același caz ca mai sus, dă o perioadă de 176 de zile.

Demonstrație

Ecuația care dă valorile proprii ale sistemului este întotdeauna

λ4+(Ω,XX+Ω,yy+4ω2)λ2+Ω,XXΩ,yy-Ω,Xy2=0{\ displaystyle \ lambda ^ {4} + (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}) \ lambda ^ {2} + \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2} = 0},

cu, pentru punctele L 1 și L 2 ,

Ω,Xy=0{\ displaystyle \ Omega _ {, xy} = 0}, Ω,XX=-2Ω,yy-3ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} = - 2 \ Omega _ {, yy} -3 \ omega ^ {2}}, Ω,yy=ω2(qtu23+1-qtu13-1){\ displaystyle \ Omega _ {, yy} = \ omega ^ {2} \ left ({\ frac {q} {u_ {2} ^ {3}}} + {\ frac {1-q} {u_ {1 } ^ {3}}} - 1 \ dreapta)}.

restrângându-ne la termenii de ordine mai mici din q , u 1 este 1, iar u 2 este determinat de relația dată de primul tabel de pe această pagină. Avem astfel

Ω,yy=ω2(3+1-1)=3ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, yy} = \ omega ^ {2} \ left (3 + 1-1 \ right) = 3 \ omega ^ {2}}, Ω,XX=-9ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} = - 9 \ omega ^ {2}}.

Ecuația polinomială devine atunci

λ4-2ω2λ2-27ω4=0{\ displaystyle \ lambda ^ {4} -2 \ omega ^ {2} \ lambda ^ {2} -27 \ omega ^ {4} = 0},

ale cărei soluții sunt

λ±2=(1±27)ω2{\ displaystyle \ lambda _ {\ pm} ^ {2} = \ left (1 \ pm 2 {\ sqrt {7}} \ right) \ omega ^ {2}}.

Soluția pozitivă la această ecuație indică faptul că abaterile punctului de echilibru cresc exponențial în timp în funcție de relație

δX∝eλ+t{\ displaystyle \ delta X \ propto e ^ {\ lambda _ {+} t}},

cu

λ+=ω1+27=2πT1+27{\ displaystyle \ lambda _ {+} = \ omega {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}} = {\ frac {2 \ pi} {T}} {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}}}.

Prin urmare, timpul caracteristic asociat este

1γ=1λ+=T2π1+27≃0,0635T{\ displaystyle {\ frac {1} {\ gamma}} = {\ frac {1} {\ lambda _ {+}}} = {\ frac {T} {2 \ pi {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}}}} \ simeq 0, \! 0635 \; T},

sau, așa cum a fost anunțat, un timp caracteristic de ordinul a 23 de zile pentru punctele Lagrange ale Pământului.

În același mod, există traiectorii periodice a căror pulsație este dată de rădăcinile complexe ale ecuației, adică

ωTrLaj=ω27-1{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {Traj}} = \ omega {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}},

adică o perioadă de

TTrLaj=T27-1≃0,4827T{\ displaystyle T _ {\ rm {Traj}} = {\ frac {T} {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}} \ simeq 0, \! 4827 \; T}, ceea ce corespunde unui timp de aproape șase luni pentru punctele Lagrange ale Pământului.  

Structura orbitelor în prezența instabilității

Odată ce valorile proprii ale unui punct instabil sunt cunoscute, o traiectorie în vecinătatea unui punct Lagrange va fi o combinație liniară a vectorilor proprii asociați cu valorile proprii. Notând λ i una dintre aceste valori proprii, vectorul propriu asociat are ca componente

Veu=(1μeuλeuλeuμeu){\ displaystyle V_ {i} = \ left ({\ begin {array} {c} 1 \\\ mu _ {i} \\\ lambda _ {i} \\\ lambda _ {i} \ mu _ {i } \ end {array}} \ right)},

cu

μeu=-12ω(Ω,XXλ+λ){\ displaystyle \ mu _ {i} = - {\ frac {1} {2 \ omega}} \ left ({\ frac {\ Omega _ {, xx}} {\ lambda}} + \ lambda \ right)},

iar o traiectorie este de formă

(δXδDaδX˙δDa˙)=∑euαeuVeu{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} \ delta X \\\ delta Y \\ {\ dot {\ delta X}} \\ {\ dot {\ delta Y}} \ end {array} } \ right) = \ sum _ {i} \ alpha _ {i} V_ {i}},

unde cantitățile sunt orice numere determinate de valoarea lui δX , δY și derivată a acestora la un moment dat. În cazul celor trei puncte Lagrange instabile, determinantul celei de-a doua matrice derivate este negativ, ceea ce implică faptul că discriminantul ecuației pătratice din λ 2 are rădăcini reale ale semnelor opuse și că, la sfârșitul lui, valorile proprii căutate sunt două numere imaginare pure opuse și două numere reale opuse. Prin urmare, o traiectorie generică cuprinde, în planul orbital, o componentă periodică (legată de rădăcinile imaginare pure), o componentă amortizată (legată de rădăcina reală pozitivă) și o componentă instabilă. Pentru o poziție dată δX , δY , este întotdeauna posibil să alegeți o viteză astfel încât cei doi vectori proprii de la rădăcinile reale să nu contribuie la soluția corespunzătoare. Traiectoria obținută este apoi periodică, perioada fiind dată de rădăcina complexă. O astfel de soluție nu este totuși stabilă. O mică abatere de la traiectorie va adăuga de fapt o componentă instabilă la traiectorie, care va îndepărta treptat traiectoria de componenta sa periodică. Spunem că traiectoria obținută nu este stabilă dinamic. Aceasta este o generalizare a faptului că un obiect situat exact pe un punct Lagrange instabil se află într-o situație instabilă: o mică abatere de la această poziție de echilibru, generată inevitabil de tulburările cauzate de celelalte corpuri ale sistemului, va ajunge să se îndepărteze. obiectul poziției sale inițiale. Același lucru se întâmplă și pentru traiectorii situate în jurul punctului de echilibru instabil. αeu{\ displaystyle \ alpha _ {i}}

Relevanța conceptului

Calculul de mai sus se referă la o configurație în care cele două corpuri ale sistemului se află pe o orbită circulară. Cu toate acestea, conceptul de punct Lagrange este valabil pentru orice tip de orbită, inclusiv eliptică. Prin urmare, putem defini aceste puncte în orice sistem cu două corpuri legate gravitațional. Pe de altă parte, traiectoriile, stabile sau instabile, în jurul diferitelor puncte Lagrange depind în mod explicit de circularitatea sau nu a orbitei celor două corpuri ale sistemului.

Utilizare în misiuni spațiale

Studiul matematic al punctelor Lagrange, precum și proprietățile lor matematice, precum varietățile invariante asociate, au fost exploatate pentru a proiecta misiuni de sondă spațială în sistemul solar. Pentru misiuni precum Rosetta , Voyager sau Galileo , viteza relativă a sondei în comparație cu corpurile luate în considerare este suficient de mare pentru aproximare, având în vedere că orbitele Kepleriene sunt doar ușor perturbate de celelalte corpuri din sfera de influență. Cu toate acestea, de îndată ce luăm în considerare viteze mici și împingeri mici, este necesară o aproximare mai fină. Teorema Liapounov-Poincaré ne asigură existența unei familii de orbite periodice în jurul acestor puncte de echilibru. Orbitele plane periodice sunt numite apoi orbite Liapunov , în timp ce în cazul 3D, ele sunt numite în funcție de proprietățile lor topologice, fie orbite Halo, fie orbite Lissajous. Se poate observa că acest tip de orbită periodică în jurul punctelor Lagrange a fost deja utilizat în construcția unor misiuni reale precum misiunea SoHO .

Din aceste orbite periodice din jurul punctelor Lagrange, provin varietăți invariante ( tuburi Conley-McGee ) care sunt separatoare ale dinamicii și care în acest sens pot fi considerate curenți gravitaționali . Din ce în ce mai mult, acești curenți sunt utilizați pentru proiectarea misiunilor, în special cu Rețeaua de transport interplanetar (ITN) .

Punctele Lagrange sunt utilizate pentru a satisface nevoile specifice ale anumitor misiuni spațiale:

• Punctul Lagrange  L 1 al sistemului Pământ-Soare, situat între Pământ și Soare (deși mult mai aproape de planeta noastră), permite Soarelui să fie observat fără interferențe sau umbriri de la Pământ și Lună. Prin urmare, este posibilă măsurarea activității solare (erupții, cicluri, vânt solar) fără ca aceasta să fie afectată de magnetosfera terestră . Aceasta este poziția ideală pentru misiunile meteorologice spațiale, precum cea efectuată de SoHO și ACE .
• Punctul Lagrange  L 2 al sistemului Pământ-Soare oferă o stabilitate termică mare în timp ce este amplasat suficient de aproape de Pământ (1,5 milioane km), astfel încât datele colectate să poată fi transferate la o rată ridicată. Este folosit în special de observatoarele astronomice spațiale mari lansate în ultimele două decenii: Planck , James-Webb , Gaia , Euclide . Acest punct Lagrange  L 2 a fost utilizat pentru prima dată în 2018 ca intermediar Pământ-Lună de către satelitul chinez Queqiao . Acest satelit de telecomunicații poate retransmite astfel pe Pământ datele colectate de sonda spațială Chang'e 4 plasată pe partea îndepărtată a Lunii.

În sistemul solar

Troieni

Punctele L 4 și L 5 sunt în general stabile, deci există multe corpuri naturale, numite troieni  :

• în sistemul Sun- Jupiter , există (în 2011) în jur de 5.000 de asteroizi în punctele L 4 și L 5  ;
• în sistemul Soare- Neptun , opt;
• în sistemul Soare- Marte , patru;
• în sistemul Saturn - Tethys , punctele L 4 și L 5 sunt ocupate de Telesto și , respectiv, de Calypso ;
• în sistemul Saturn- Dione , Hélène și Pollux ocupă aceste puncte.

În mod curios, s-ar părea că sistemul Soare-Saturn nu este capabil să acumuleze troieni din cauza tulburărilor joviene .

În sistemul Soare- Pământ , știm de atunci1 st Septembrie Octombrie Noiembrie anul 2010un troian în punctul L 4 , asteroidul 2010 TK7 , care măsoară 300 de metri în diametru. Unii astronomi subliniază că acest obiect ar putea reprezenta un risc comparabil cu NEO-urile. Acești autori propun, de asemenea, că impactorul presupus la originea Lunii ( Théia ) ar fi staționat un timp pe punctul L 4 sau L 5 și ar fi acumulat masa înainte de a fi expulzat din acesta sub acțiunea celorlalte planete.

Aplicații

Punctele L 1 și L 2 sunt echilibre instabile, ceea ce le face utilizabile în cadrul misiunilor spațiale: nu există corpuri naturale și un echilibru dinamic poate fi menținut acolo pentru un consum rezonabil de combustibil (câmpul gravitațional fiind slab în vecinătatea lor ).

Sistemul Soare-Pământ

Principalele avantaje ale acestor poziții, în comparație cu orbitele terestre, sunt distanța față de Pământ și expunerea constantă la Soare în timp. Punctul L 1 este deosebit de potrivit pentru observarea Soarelui și a vântului solar . Acest punct a fost ocupat pentru prima dată în 1978 de către ISEE-3 satelit , și este în prezent ocupat de SoHo , DSCOVR , Advanced Composition Explorer și Lisa Pathfinder sateliți .

Pe de altă parte, punctul L 2 este deosebit de interesant pentru misiunile de observare a cosmosului, care încorporează instrumente extrem de sensibile care trebuie să fie deviate de pe Pământ și Lună și care funcționează la o temperatură foarte scăzută. În prezent, este ocupat de sateliții Herschel , Planck , WMAP , Gaia și ar trebui să fie ocupat și de JWST în 2021, Euclid în 2022 și Nancy-Grace-Roman în jurul anului 2025.

Sistemul Pământ-Lună

Ca parte a misiunii chineze Chang'e 4 , o sondă spațială lunară care a aterizat în 2019 pe faza ascunsă a lunii, un satelit cu releu Quequio a fost plasat în punctul L 2 pentru a asigura comunicațiile între Pământ și sondă.

S-a considerat pentru o vreme să plaseze un telescop spațial în punctul L 4 sau L 5 al sistemului Pământ-Lună, dar această opțiune a fost abandonată după ce acolo s-au observat nori de praf.

În science fiction

În science fiction, datorită stabilității lor, punctele L 4 și L 5 ale sistemului Pământ-Lună adăpostesc adesea colonii spațiale gigantice. Autorii de science fiction și benzi desenate le place să plaseze un punct anti-Pământ L 3 . Această idee precede fizica newtoniană, ceea ce arată că este destul de nerealistă. Punctul Lagrange prezintă interes doar pentru un obiect cu masă neglijabilă în comparație cu cele două elemente ale sistemului, ceea ce nu este cazul unei planete gemene.

Printre autorii care au folosit aceste puncte în relatările lor, John Varley are în vedere în mai multe dintre romanele și nuvelele sale instalarea coloniilor în punctele Lagrange ale ansamblului Pământ-Lună, profitând de faptul că un obiect cu masă mică n ' nu ar avea nevoie de energie pentru a-și menține poziția față de cele două stele. Acesta este cazul în special în seria sa numită Trilogia lui Gaïa, unde anumite personaje principale din ultimele două volume provin dintr-una dintre aceste colonii, „Coventul”,

Ele se regăsesc, de multe ori într-un mod secundar, în poveștile (romane și nuvele) care sunt plasate în contextul serialului Les Huit Mondes . În romanul Gens de la Lune în special, punctul L 5 este locul de asamblare al navei spațiale Robert Anson Heinlein care ar trebui să se angajeze într-o călătorie interstelară, înainte ca proiectul să fie abandonat și carcasa navei să fie depozitată într-un depozit de deșeuri pe Lună. .

În diferitele lucrări ale universurilor Gundam , coloniile spațiale sunt adesea situate în punctele Lagrange, ceea ce le face poziții strategice importante în aceste conflicte orbitale.

În filmul 2010: Anul primului contact de Peter Hyams (1984) (care urmează din 2001, A Space Odyssey ), giganticul monolit a cărui natură rămâne misterioasă este prezentat ca poziționat pe un punct Lagrange între Jupiter și una dintre lunile sale , Io.

Note și referințe

1. Eseu despre problema celor trei corpuri [PDF] , ltas-vis.ulg.ac.be.
2. Geometria lui Roche, Jean-Marie Hameury, Observatorul Strasbourg [PDF] , astro.u-strasbg.fr.
3. Bernard Bonnard , Ludovic Faubourg și Emmanuel Trélat , Mecanica celestă și controlul vehiculelor spațiale , Berlin, Springer, col.  „Matematică și aplicații”,2005, XIV -276  p. ( ISBN  978-3-540-28373-7 , notificare BnF n o  FRBNF40153166 , citiți online ), p.  73 ( citit online ) pe Google Cărți (accesat la 25 iulie 2014).
4. http://www.esa.int/Enabled_Support/Operations/What_are_Lagrange_points
5. Dacă definim q ca raportul dintre cea mai mică masă și total, numai valorile de q mai mici de 0,5 au sens, deoarece valorile mai mari corespund raportului dintre cea mai mare masă și masa totală.
6. (în) Martin Connors și colab. , „  Asteroidul troian al Pământului  ” , Natura , vol.  475, nr .  7357,28 iulie 2011, p.  481-483 ( DOI  10.1038 / nature10233 , Bibcode  2011Natur.475..481C , citit online [PDF] , accesat la 3 decembrie 2014 ) Coautorii articolului sunt, pe lângă Martin Connors, Paul Wiegert și Christian Veillet.
   Articolul a fost primit de revista Nature pe11 aprilie 2011, acceptată de comisia sa de lectură la 27 mai 2011 și postat pe site-ul său web pe 27 iulie 2011.
7. (în) Whitney Clavin și Trent J. Perrotto , „  Misiunea WISE a NASA găsește primul asteroid troian care împarte orbita Pământului  ” pe NASA , postat pe 27 iulie 2011 (accesat la 3 decembrie 2014 ) .
8. Philippe Ribeau-Gésippe , „  Un nou satelit pentru Pământ: a fost descoperit primul satelit troian al Pământului  ”, Pour la Science , nr .  407,septembrie 2011, p.  6 ( citit online , consultat la 3 decembrie 2014 ) Articolul a fost încărcat pe 8 august 2011, pe site-ul jurnalului.
9. (în) Găurile gravitaționale adăpostesc asasini planetari? , newscientist.com.
10. (în) „  Călătoria LISA Pathfinder prin spațiu - adnotată  ” pe sci.esa.int (accesat la 29 februarie 2016 ) .
11. (în) „  Observatorul Webb al NASA necesită mai mult timp de testare și evaluare; Noua Lansarea fereastra în curs de examinare  " pe nasa.gov (accesat la 1 st aprilie 2018 ) .
12. (în) „  Puncte Lagrange  ” , The Gundam Wiki ,12 septembrie 2016( citiți online , consultat la 14 decembrie 2016 ).

• Grégory Archambeau , Studiul dinamicii în jurul punctelor Lagrange , Orsay, Universitatea Paris XI ,2008, X -114  p., citiți online [PDF] la [1]
• Maxime Chupin , Transferuri interplanetare cu consum redus folosind proprietățile problemei cu trei corpuri restricționate , Paris, Université Pierre-et-Marie-Curie ,2016, XXVIII -171  p., citiți online [PDF] la [2]
• (ro) Richard Fitzpatrick, Dynamic Classical Dynamics , curs susținut la Universitatea din Texas la Austin Vezi online (versiuni pdf și html) .

Vezi și tu

Articole similare

• Lista obiectelor sistemului solar situate într-un punct din Lagrange
• Théia

linkuri externe

• (în) Înregistrări de autoritate  :
  • Biblioteca Națională a Franței ( date )
  Librăria Congresului

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">