Curba algebrică reală plană

O curbă algebrică plan real este o curbă a cărei ecuație carteziană poate fi pusă sub formă polinomială (se spune că o curbă nonalgebrică este transcendentă):, unde P este un polinom. P(X,y)=0{\ displaystyle P (x, y) = 0}

În geometria algebrică , o curbă este o varietate algebrică ale cărei componente conectate sunt toate de dimensiunea 1. În practică, ne limităm adesea la curbe proiective non-singulare și conectate.

Definiție

O curbă algebrică este ansamblul punctelor unui spațiu geometric ale cărui coordonate carteziene sunt soluții ale unei ecuații algebrice .

Spațiul geometric considerat este cel mai adesea planul afinar euclidian real , dar este posibil:

• să recurgă la spații cu dimensiuni mai mari de două (spațiu sau hiperspațiu în loc de plan);
• a se plasa în cadrul unei alte geometrii decât afinele euclidiene ( proiective de exemplu);
• pentru a lucra cu un alt câmp de bază decât cel al realilor (în criptografie, de exemplu, folosim planuri pe câmpuri finite ).

Cu toate acestea, ne vom limita aici la cazul planului afinar real euclidian.

De coordonatele carteziene ale unui punct M în planul sunt două numere ( de obicei reale, dar care poate depinde de planul considerat) , numit , respectiv abscisă și ordonată , și de obicei notat x și y . Ele denotă valorile proiecțiilor punctului M pe două axe ortogonale ale planului.

O ecuație algebrică în plan este o ecuație care poate fi pusă sub forma:

P(X,y)=0{\ displaystyle P (x, y) = 0}

unde P denotă un polinom ireductibil non- zero în două nedeterminate .

Diplomă și terminologie

Polinomul P asociat astfel cu o curbă este unic până la produsul unui real diferit de zero. Gradul său n face posibilă clasificarea curbelor algebrice; Avem :

• pentru n = 1, liniile  ;
• pentru n = 2, conicele  ;
• pentru n = 3, cubicii  ;
• pentru n = 4, cvarticulele  ;
• pentru n = 5, chinticii  ;
• pentru n = 6, sexticele  ;
• dincolo de aceasta, vorbim mai mult despre o „curbă algebrică de grad n  ”.

Proprietăți

Universalitatea Kempe teoremei  (en) a demonstrat in 1875 de Alfred Kempe spune că orice curbă algebrică plan real , pot fi trase dintr - o anumită combinație de tije rigide articulate. Aceasta teorema răspunde la generalizarea unei probleme studiate în XIX - lea  secol  : proiectarea mecanism pentru a desena direct . Invenția unor mecanisme precum dispozitivul Peaucellier-Lipkin a devenit într-adevăr un subiect important de cercetare datorită aplicațiilor sale industriale.

Referințe

1. Franco Conti, Scuola Normale Superiore , „Curbe și mecanism” , în Enrico Giusti  (en) , Franco Conti, Dincolo de busolă: geometria curbelor ,2000, 91  p. ( ISBN  88-8263-015-3 ).

Link extern

„  Sextic  ” , pe mathcurve , cu multe exemple de sextice raționale ( gen nul) și non-raționale.