Coordonatele carteziene

Un sistem de coordonate carteziene face posibilă determinarea poziției unui punct într-un spațiu afin ( linie , plan , spațiu tridimensional etc.) prevăzut cu un sistem de coordonate cartesian . Cuvântul cartezian provine de la matematicianul și filosoful francez René Descartes .

Există alte sisteme de coordonate pentru localizarea unui punct în plan sau în spațiu.

Abscisa pe o linie afină

Pe o linie afină , un sistem de coordonate reprezintă datele: D{\ displaystyle D}

• o origine , adică un punct distinct de  ;O{\ displaystyle O}D{\ displaystyle D}
• un vector al liniei vectorului director . Acest vector conține două informații: v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}D→{\ displaystyle {\ vec {D}}}
  • o orientare: un punct este în dreapta când vectorul este pozitiv coliniar cu  ;LA{\ displaystyle A}O{\ displaystyle O}OLA→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}
  • o unitate: un punct este distanța de când .LA{\ displaystyle A}r{\ displaystyle r}O{\ displaystyle O}OLA→=±r⋅v→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}} = \ pm r \ cdot {\ vec {v}}}

În acest caz, axa x a punctului este singura reală , cum ar fi: . M{\ displaystyle M} r{\ displaystyle r}OM→=r⋅v→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = r \ cdot {\ vec {v}}}

Există deci o corespondență între punctele unei linii afine și mulțimea numerelor reale.

Notă: Există sisteme de absolvire neregulate, dar sistemul de coordonate nu mai este numit cartezian (vezi scara logaritmică ).

Coordonatele carteziene în plan

Într-un plan afin , coordonatele carteziene sunt, fără îndoială, cel mai natural mod de a defini un sistem de coordonate . Un sistem de coordonate (cartezian) al planului afin este datele comune ale: P{\ displaystyle P}

• un punct de origine .O{\ displaystyle O}
• doi vectori și nu coliniari ai planului vector master .eu→{\ displaystyle {\ vec {i}}}j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}P→{\ displaystyle {\ vec {P}}}

Cele axele de coordonate sunt liniile afine și . Aceste linii admit gradațiile respective furnizate de și vectorii și . (OX)=(O,eu→){\ displaystyle (Ox) = (O, {\ vec {i}})}}(Oy)=(O,j→){\ displaystyle (Oy) = (O, {\ vec {j}})}O{\ displaystyle O}eu→{\ displaystyle {\ vec {i}}}j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}

La un moment dat , avem dreptul să tragem: M{\ displaystyle M}

• o linie paralelă la care se taie pe abscisă , în referința(Oy){\ displaystyle (Oy)}(OX){\ displaystyle (Ox)}mX{\ displaystyle m_ {x}}X{\ displaystyle x}(O,eu→){\ displaystyle (O, {\ vec {i}})}
• o linie paralelă cu care se taie pe abscisă în referința .(OX){\ displaystyle (Ox)}(Oy){\ displaystyle (Oy)}my{\ displaystyle m_ {y}}y{\ displaystyle y}(O,j→){\ displaystyle (O, {\ vec {j}})}

Cuplul de numere reale este determinat doar de punct , se numește coordonatele lui în cadrul de referință  : (X,y){\ displaystyle (x, y)}M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}(O;eu→,j→){\ displaystyle (O; {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}

• Realul se numește abscisa lui  ;X{\ displaystyle x}M{\ displaystyle M}
• Realul se numește ordonată a .y{\ displaystyle y}M{\ displaystyle M}

Reciproc, oricărei perechi , corespunde un singur punct de coordonate de abscisă și ordonată . Este punctul de intersecție a următoarelor două linii: (X,y){\ displaystyle (x, y)}M{\ displaystyle M}X{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}

• Linia paralelă cu trecerea prin punctul de abscisă  ;(OX){\ displaystyle (Ox)}(Oy){\ displaystyle (Oy)}y{\ displaystyle y}
• Linia paralelă cu trecerea prin punctul de abscisă .(Oy){\ displaystyle (Oy)}(OX){\ displaystyle (Ox)}X{\ displaystyle x}

Această construcție poate fi interpretată ca stabilirea unui paralelogram de vârfuri și . O{\ displaystyle O}M{\ displaystyle M}

În termeni vectoriali, obținem următoarea identitate:

OM→=Xeu→+yj→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = x {\ vec {i}} + y {\ vec {j}}}

Ceea ce face posibilă realizarea unei corespondențe între calculul pe coordonate și calculul vector.

Cazul bazei ortonormale

Bazele ortonormale au sens doar în planurile afine euclidiene . Într-un plan afin euclidian, se spune că o bază este ortonormală atunci când vectorii și sunt pe de o parte de lungimea 1 (din norma 1) și, pe de altă parte, ortogonali, adică produsul scalar al celor doi vectori este nr. (O;eu→,j→){\ displaystyle (O; {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}eu→{\ displaystyle {\ vec {i}}}j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}

Cu alte cuvinte, axele de coordonate sunt două linii afine ortogonale cu același sistem de absolvire.

În acest caz, putem calcula distanțele și ortogonalitățile folosind teorema lui Pitagora . Iată un formular:

• Pentru un punct de coordonată , distanța este scrisă:M{\ displaystyle M}(X,y){\ displaystyle (x, y)}OM{\ displaystyle OM}

OM=X2+y2{\ displaystyle OM = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} În tabelul din dreapta desenul a fost plasat într-un punct de coordonate ortonormale coordonate și coordonate . Calculul distanței este apoi: LA{\ displaystyle A}(1,1){\ displaystyle (1,1)}B{\ displaystyle B}(4,5){\ displaystyle (4,5)}LAB{\ displaystyle AB}LAB=(4-1)2+(5-1)2=5{\ displaystyle AB = {\ sqrt {(4-1) ^ {2} + (5-1) ^ {2}}} = 5}

• Vectorii și sunt ortogonali dacă și numai dacă .tu→(X,y){\ displaystyle {\ vec {u}} (x, y)}v→(X,Da){\ displaystyle {\ vec {vb}} (X, Y)}XX+yDa=0{\ displaystyle xX + yY = 0}

Deoarece calculul distanțelor și al unghiurilor este adesea un obiectiv al geometriei planului euclidian, sunt preferate în mod special semnele de referință ortonormale. Atât de mult încât unele lucrări își rezervă termenul de coordonate carteziene pentru acest tip de sistem de coordonate, celelalte coordonate fiind numite coordonate oblice .

Coordonatele carteziene în spațiu

Principiul construcției va fi același. Într-un spațiu afin de dimensiunea 3, un sistem de coordonate (cartezian) este datele comune ale: E{\ displaystyle E}

• un punct de origine ,O{\ displaystyle O}
• și trei vectori nu sunt coplanare , și .eu→{\ displaystyle {\ vec {i}}}j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}

Cele axele de coordonate sunt concurente liniile afine , și . (OX)=(O;eu→){\ displaystyle (Ox) = (O; {\ vec {i}})}(Oy)=(O;j→){\ displaystyle (Oy) = (O; {\ vec {j}})}(Oz)=(O;k→){\ displaystyle (Oz) = (O; {\ vec {k}})}}

Pentru un punct , avem dreptul să tragem: M{\ displaystyle M}

• un plan paralel cu planul care taie pe abscisă ,Oyz{\ displaystyle Oyz}OX{\ displaystyle Ox}mX{\ displaystyle m_ {x}}X{\ displaystyle x}
• un plan paralel cu planul care taie pe abscisă ,OXz{\ displaystyle Oxz}Oy{\ displaystyle Oy}my{\ displaystyle m_ {y}}y{\ displaystyle y}
• un plan paralel cu planul care taie pe abscisa .OXy{\ displaystyle Oxy}Oz{\ displaystyle Oz}mz{\ displaystyle m_ {z}}z{\ displaystyle z}

Tripletul numerelor reale este determinat doar de poziția punctului . Se numește coordonatele (carteziene) din cadru  : (X,y,z){\ displaystyle (x, y, z)}M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}(O;eu→,j→,k→){\ displaystyle (O; {\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}})}

• realul se numește abscisă .X{\ displaystyle x}
• realul se numește ordonată sau adâncime .y{\ displaystyle y}
• realul se numește dimensiune sau înălțime .z{\ displaystyle z}

În schimb, oricărui triplet de reali corespunde un singur punct de abscisă , ordonată și dimensiune . Acest punct este obținut ca intersecție: (X,y,z){\ displaystyle (x, y, z)}M{\ displaystyle M}X{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}z{\ displaystyle z}

• a planului paralel cu planul care trece prin punctul de abscisă ,Oyz{\ displaystyle Oyz}OX{\ displaystyle Ox}X{\ displaystyle x}
• a planului paralel cu planul care trece prin punctul de abscisă șiOXz{\ displaystyle Oxz}Oy{\ displaystyle Oy}y{\ displaystyle y}
• a planului paralel cu planul care trece prin punctul de abscisă .OXy{\ displaystyle Oxy}Oz{\ displaystyle Oz}z{\ displaystyle z}

Aceste trei planuri, precum și cele trei planuri de bază , și trasează un paralelipiped. OXy{\ displaystyle Oxy}OXz{\ displaystyle Oxz}Oyz{\ displaystyle Oyz}

Există o corespondență unu-la-unu între orice punct și orice triplet de numere reale numit apoi sistemul de coordonate al . M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}

Ca și în plan, aceste coordonate sunt reinterpretate prin scrierea vectorială:

OM→=Xeu→+yj→+zk→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = x {\ vec {i}} + y {\ vec {j}} + z {\ vec {k}}}

Repere ortonormale

Într - un spațiu euclidian afin de dimensiune 3, un marker se spune ortonormală când vectorii , și sunt unitare și pairwise ortogonale. Această a doua condiție este scrisă: (O;eu→,j→,k→){\ displaystyle (O; {\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}})}eu→{\ displaystyle {\ vec {i}}}j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}

⟨eu∣j⟩=0{\ displaystyle \ langle \ mathbf {i} \ mid \ mathbf {j} \ rangle = 0} ;  ;⟨j∣k⟩=0{\ displaystyle \ langle \ mathbf {j} \ mid \ mathbf {k} \ rangle = 0}⟨k∣eu⟩=0{\ displaystyle \ langle \ mathbf {k} \ mid \ mathbf {i} \ rangle = 0}

Ca și în plan, va fi necesar să se ia un sistem de coordonate ortonormale dacă se dorește să se lucreze la distanțe și unghiuri. Distanța va fi apoi scrisă:

OM=X2+y2+z2{\ displaystyle OM = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}

Coordonatele carteziene în dimensiunea n

Observațiile precedente fac posibilă observarea unei legături între cuplul sau tripletul de numere reale și vectori ai planului sau al spațiului. Această legătură poate fi generalizat la orice spațiu vectorial sau dimensiune afin peste un corp K .

Dacă este baza unui spațiu vectorial pe un câmp K atunci, pentru orice vector , există un element unic n- triplu al lui K n  astfel încât: (e1→,e2→,...,enu→){\ displaystyle ({\ vec {e_ {1}}}, {\ vec {e_ {2}}}, \ dots, {\ vec {e_ {n}}})}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}(X1,X2,...,Xnu){\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) \,}

v→=X1e1→+X2e2→+⋯+Xnuenu→{\ displaystyle {\ vec {v}} = x_ {1} {\ vec {e_ {1}}} + x_ {2} {\ vec {e_ {2}}} + \ dots + x_ {n} {\ vec {e_ {n}}} \,} .

Acest n -tuple este numit sistemul de coordonate cartezian al vectorului din baza de date ). Corespondența dintre fiecare vector și fiecare n -placet face posibilă construirea unui izomorfism al spațiilor vectoriale între V și K n . v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}(e1→,e2→,...,enu→{\ displaystyle ({\ vec {e_ {1}}}, {\ vec {e_ {2}}}, \ dots, {\ vec {e_ {n}}}}

Pentru a lucra la sisteme de coordonate de puncte, este suficient să adăugați la baza anterioară un punct O numit origine. Coordonatele punctului M fiind cele ale vectorului . OM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}}}

În cele din urmă, pentru a lucra la distanțe, va fi necesar să se construiască o bază ortonormală (în care toți vectorii sunt de norma 1 și fiecare vector este ortogonal față de toți ceilalți). Distanța OM va fi apoi exprimată în următoarea formă:

OM=X12+X22+⋯+Xnu2{\ displaystyle OM = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ dots + x_ {n} ^ {2}}} \,}

Cinematica în spațiu

Mărimile cinematice, poziția, viteza și accelerația sunt date de:

OM→=XtuX→+ytuy→+ztuz→OM→˙=X˙tuX→+y˙tuy→+z˙tuz→OM→¨=X¨tuX→+y¨tuy→+z¨tuz→{\ displaystyle {\ begin {align} {\ overrightarrow {OM}} & = x {\ overrightarrow {u_ {x}}} + y {\ overrightarrow {u_ {y}}} + z {\ overrightarrow {u_ {z }}} \\ {\ dot {\ overrightarrow {OM}}} & = {\ dot {x}} {\ overrightarrow {u_ {x}}} + {\ dot {y}} {\ overrightarrow {u_ {y }}} + {\ dot {z}} {\ overrightarrow {u_ {z}}} \\ {\ ddot {\ overrightarrow {OM}}} & = {\ ddot {x}} {\ overrightarrow {u_ {x }}} + {\ ddot {y}} {\ overrightarrow {u_ {y}}} + {\ ddot {z}} {\ overrightarrow {u_ {z}}} \\\ end {align}}}

Coordonatele carteziene în spațiu-timp

Coordonatele carteziene au fost imaginate de Descartes în XVII - lea  secol și au fost utilizate pe scară largă mai târziu în mecanica newtoniană pentru a descrie spațiul fizic în trei dimensiuni (adesea simbolizate prin literele x , y , z ). Relativitatea specială a fost o adevărată revoluție științifică și, în anii 1900, a condus oameni de știință precum Henri Poincaré și Hermann Minkowski să concepă spațiul și timpul ca indisolubil legate, în ceea ce se numește spațiu-timp , teoretizat de noțiunea de spațiu Minkowski . La cele trei dimensiuni ale spațiului se adaugă astfel a patra dimensiune a timpului .

În această teorie, Minkowski folosește o reprezentare simplificată a spațiului-timp în coordonate carteziene, diagrama Minkowski , cu o dimensiune a spațiului și dimensiunea timpului (simbolizată prin ct , unde c este viteza luminii și t timp), pentru a explica pentru fenomene precum dilatarea timpului , contracția lungimilor sau noțiunea de simultaneitate , fără a utiliza o ecuație matematică .

Introducere istorică de către Descartes

Introducerea coordonatelor carteziene este făcută în prima carte de geometrie de René Descartes ca instrument pentru a rezolva problema Pappus. El arată de fapt în această carte cum să rezolve o problemă geometrică printr-un calcul algebric, participând la nașterea geometriei analitice .

„Să se numească x segmentul dreptei AB, care se află între punctele A și B; și că BC se numește y; și ca toate celelalte linii date să fie extinse până când le intersectează pe acestea două, de asemenea, extinse, dacă este necesar și dacă nu sunt paralele cu ele; după cum puteți vedea aici că intersectează linia AB în punctele A, E, G și BC în punctele R, S, T. (...) "

- René Descartes, Geometrie, prima carte.

Note și referințe

1. Descartes 1637
2. Lucrările lui Descartes, ed. Văr, volumul V, p. 331
3. Lucrările lui Descartes, ed. Văr, volumul V, p. 332

Anexe

Articole similare

• Identificarea în plan și în spațiu
• Geometrie analitică
• Sistem de coordonate
  • Coordonate cilindrice
  • Coordonate polare
  • Coordonate sferice
• Diagrama Minkowski
• Orizontală și verticală

Bibliografie

• René Descartes , Prima carte a geometriei lui Descartes ,1637, 18  p. ( citește online )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">