Coordonate cilindrice

Un sistem de coordonate cilindrice este un sistem de coordonate curbiliniene ortogonale care generalizează în spațiu cel al coordonatelor polare ale planului prin adăugarea unei a treia coordonate, în general notate $z$ , care măsoară înălțimea unui punct în raport cu planul identificat de coordonatele polare ( în același mod în care se extinde sistemul de coordonate carteziene de la două la trei dimensiuni). $(r, \ theta)$

Coordonatele cilindrice sunt folosite pentru a indica poziția unui punct în spațiu. Coordonatele cilindrice nu sunt utilizate pentru vectori. Atunci când se utilizează coordonate cilindrice pentru a localiza puncte, vectorii sunt , de obicei reperat într - un vector de marcaj curat în punctul în care se aplică: . ${\ displaystyle ({\ vec {u}} _ {r}, {\ vec {u}} _ {\ theta}, {\ vec {u}} _ {z})}$

Conversia între sistemul cartezian și cel cilindric

Din coordonatele carteziene , putem obține coordonatele cilindrice (denumite în general respectiv rază sau modul , azimut și dimensiune ) folosind următoarele formule: $(X Y Z)$ $(r, \ theta, z)$

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} r & = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\\ theta & = \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) \\ z & = z \ end {align}} \ right.}

De asemenea, putem converti coordonatele cilindrice în coordonate carteziene folosind următoarele formule: $(r, \ theta, z)$ $(X Y Z)$

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} x & = r \ cos \ theta \\ y & = r \ sin \ theta \\ z & = z \ end {align}} \ right.}

Proprietăți diferențiale

Diferenţial

Diferențialul lui r (vector infinitesimal):

dr→=∑eu=1nudtueu∂r→∂tueu=drtur→+rdθtuθ→+dztuz→{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {r}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {d} u_ {i} {\ partial {\ vec {r}} \ over \ partial {u} _ {i}} = \ mathrm {d} r \, {\ vec {u_ {r}}} + r \ mathrm {d} \ theta \, {\ vec {u _ {\ theta}} } + \ mathrm {d} z \, {\ vec {u_ {z}}}}

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {r}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {d} u_ {i} {\ partial {\ vec {r}} \ over \ partial {u} _ {i}} = \ mathrm {d} r \, {\ vec {u_ {r}}} + r \ mathrm {d} \ theta \, {\ vec {u _ {\ theta}} } + \ mathrm {d} z \, {\ vec {u_ {z}}}}

Element de volum

Volumul infinitesimal este scris:

d3V=rdrdθdz{\ displaystyle {\ text {d}} ^ {3} V = r \, {\ text {d}} r \, {\ text {d}} \ theta \, {\ text {d}} z}

{\ displaystyle {\ text {d}} ^ {3} V = r \, {\ text {d}} r \, {\ text {d}} \ theta \, {\ text {d}} z}

Element de suprafață infinitesimal

Elementele de suprafață infinitezimale sunt scrise:

{d2Sr=rdθdzd2Sθ=drdzd2Sz=rdrdθ{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & \ mathrm {d} ^ {2} S_ {r} = r \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} z \\ & \ mathrm {d} ^ {2} S _ {\ theta} = \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} z \\ & \ mathrm {d} ^ {2} S_ {z} = r \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ theta \\\ end {align}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & \ mathrm {d} ^ {2} S_ {r} = r \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} z \\ & \ mathrm {d} ^ {2} S _ {\ theta} = \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} z \\ & \ mathrm {d} ^ {2} S_ {z} = r \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ theta \\\ end {align}} \ right.}

Cinematic

Coordonatele cilindrice sunt utilizate în special în multe probleme mecanice în care un obiect este considerat într-un cadru rotativ. Se poate avea apoi nevoie de relațiile privind viteza și accelerația.

Într-un punct , vectorul de unitate radial și respectiv vectorul de unitate orthoradial sunt: ${\ displaystyle (r, \ theta, z)}$

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} {\ overrightarrow {u_ {r}}} & = \ cos \ theta \, {\ vec {u_ {x}}} + \ sin \ theta \, {\ vec {u_ {y}}} \\ {\ overrightarrow {u _ {\ theta}}} & = - \ sin \ theta \, {\ vec {u_ {x}}} + \ cos \ theta \, {\ vec {u_ {y}}} \ end {align}} \ right.}

unde este baza carteziană (vezi figura). ${\ displaystyle \ left ({\ vec {u_ {x}}}, {\ vec {u_ {y}}}, {\ vec {u_ {z}}} \ right)}$

Vom nota , și . ${\ displaystyle \ {\ dot {r}} = {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ mathrm {d} t}} \}$ ${\ displaystyle \ {\ dot {\ theta}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} \}$ ${\ displaystyle \ {\ dot {z}} = {\ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t}} \}$

Asa de :

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} ({\ overrightarrow {u_ {r}}})} {\ mathrm {d} t}} & = {\ frac { \ mathrm {d} ({\ overrightarrow {u_ {r}}})} {\ mathrm {d} \ theta}} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} = {\ dot {\ theta}} {\ overrightarrow {u _ {\ theta}}} \\ {\ frac {\ mathrm {d} ({\ overrightarrow {u _ {\ theta}}})} {\ mathrm { d} t}} & = {\ frac {\ mathrm {d} ({\ overrightarrow {u _ {\ theta}}}) {\ mathrm {d} \ theta}} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} = - {\ dot {\ theta}} {\ overrightarrow {u_ {r}}} \\ {\ frac {\ mathrm {d} ({\ overrightarrow {u_ { z}}})} {\ mathrm {d} t}} & = {\ overrightarrow {0}} \ end {align}} \ right.}

Vom observa deja că mărimile cinematice, poziția, viteza, accelerația sunt date de:

{\ begin {align} \ overrightarrow {OM} & = r \ overrightarrow {u_ {r}} + z \ overrightarrow {u_ {z}} \\ {\ dot {\ overrightarrow {OM}}} & = \ overrightarrow { V_ {M}} = {\ dot r} \ overrightarrow {u_ {r}} + r {\ dot \ theta} \ overrightarrow {u _ {\ theta}} + {\ dot z} \ overrightarrow {u_ {z} } \\ {\ ddot {\ overrightarrow {OM}}} & = \ overrightarrow {\ Gamma _ {M}} = ({\ ddot r} -r {\ dot \ theta} ^ {2}) \ overrightarrow {u_ {r}} + (r {\ ddot \ theta} +2 {\ dot r} {\ dot \ theta}) \ overrightarrow {u _ {\ theta}} + {\ ddot z} \ overrightarrow {u_ {z} } = ({\ ddot r} -r {\ dot \ theta} ^ {2}) \ overrightarrow {u_ {r}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {d (r ^ {2 } {\ dot \ theta})} {dt}} \ overrightarrow {u _ {\ theta}} + {\ ddot z} \ overrightarrow {u_ {z}} \ end {align}}

Trebuie remarcat faptul că aceste rezultate pot fi găsite după cum urmează:

{\ begin {align} {\ dot {\ overrightarrow {OM}}} & = {\ frac {d \ overrightarrow {OM}} {dt}} = {\ frac {d (r \ overrightarrow {u_ {r}} + z \ overrightarrow {u_ {z}})} {dt}} = {\ frac {d (r \ overrightarrow {u_ {r}})} {dt}} + {\ frac {d (z \ overrightarrow {u_ {z}})} {dt}} \\ & = {\ frac {dr} {dt}} \ overrightarrow {u_ {r}} + r {\ frac {d (\ overrightarrow {u_ {r}})} {dt}} + {\ frac {dz} {dt}} \ overrightarrow {u_ {z}} + z {\ frac {d (\ overrightarrow {u_ {z}})} {dt}} \\\\ { \ ddot {\ overrightarrow {OM}}} & = {\ frac {d ({\ dot {\ overrightarrow {OM}}})} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} (\ overrightarrow {OM })} {dt ^ {2}}} = {\ frac {d ({\ dot {r}} \ overrightarrow {u_ {r}} + r {\ dot \ theta} \ overrightarrow {u _ {\ theta} } + {\ dot z} \ overrightarrow {u_ {z}})} {dt}} = {\ frac {d ({\ dot r} \ overrightarrow {u_ {r}})} {dt}} + {\ frac {d (r {\ dot \ theta} \ overrightarrow {u _ {\ theta}})} {dt}} + {\ frac {d ({\ dot z} \ overrightarrow {u_ {z}})} { dt}} \\ & = {\ ddot r} \ overrightarrow {u_ {r}} + {\ dot r} {\ frac {d (\ overrightarrow {u_ {r}})} {dt}} + {\ dot r} {\ dot \ theta} \ overrightarrow {u _ {\ theta}} + r {\ ddot \ theta} \ overrightarrow {u _ {\ theta}} + r {\ dot \ theta} {\ frac {d (\ overrightarrow {u _ {\ theta}})} {dt}} + {\ ddot z} \ overrightarrow {u_ {z}} + {\ dot z} { \ frac {d (\ overrightarrow {u_ {z}})} {dt}} \\\\\ end {align}}

etc.

Note și referințe

Note

Nu există o unicitate a coordonatelor cilindrice în specie.

Referințe

Denizet 2008 , p. 70.
Noirot, Parisot și Brouillet 2019 , p. 87.
El Jaouhari , p. 80.

Vezi și tu

Bibliografie

[Bert 2019] (en + fr) Jacques Bert , lexicon științific englez-francez: 25.000 de intrări , Malakoff, Dunod , hors coll. ,Mai 2019, Ed. A 5- a . ( 1 st ed. Ianuarie 2000), 1 vol. , VI -362 p. , 14,1 × 22 cm ( ISBN 978-2-10-079360-0 , EAN 9782100793600 , OCLC 1101087170 , notificare BnF n o FRBNF45725288 , SUDOC 235716839 , prezentare online , citit online ) , sv cilindric (al).
[Denizet 2008] Frédéric Denizet , Algebra și geometrie: MPSI , Paris, Nathan , col. „Clasa de pregătire. / 1 st an“,iunie 2008, 1 st ed. , 1 vol. , 501 p. , bolnav. și fig. , 18,5 × 24,5 cm ( ISBN 978-2-09-160506-7 , EAN 9782091605067 , OCLC 470844518 , notificare BnF n o FRBNF41328429 , SUDOC 125304048 , prezentare online , citiți online ) , cap. 3 , sect. 1 , ss-sect. 1.2 („Coordonate cilindrice”), p. 69-70.
[El Jaouhari 2017] Noureddine El Jaouhari , Calcul diferențial și calcul integral , Malakoff, Dunod , col. "Științe Sup. / Matematică ”,Mai 2017, 1 st ed. , 1 vol. , IX -355 p. , bolnav. și fig. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-10-076162-3 , EAN 9782100761623 , OCLC 987791661 , notificare BnF n o FRBNF45214549 , SUDOC 200872346 , prezentare online , citit online ) , cap. 4 , sect. 2 , § 2.1 („Coordonate cilindrice”), p. 80-82.
[Gautron și colab. 2015] Laurent Gautron (dir.), Christophe Balland , Laurent Cirio , Richard Mauduit , Odile Picon și Éric Wenner , Fizică , Paris, Dunod , col. „Tot cursul în fișiere”,iunie 2015, 1 st ed. , 1 vol. , XIV -570 p. , bolnav. și fig. , 19,3 x 25 cm ( ISBN 978-2-10-072407-9 , EAN 9782100724079 , OCLC 913572977 , notificare BnF n o FRBNF44393230 , SUDOC 187110271 , prezentare on - line , citiți on - line ) , foaie n o 2 § 2 ( "cilindrice coordonate "), p. 4-5.
[Noirot, Parisot și Brouillet 2019] Yves Noirot , Jean-Paul Parisot și Nathalie Brouillet ( pref. De Michel Combarnous ), Matematica pentru fizică , Malakoff, Dunod , col. "Științe Sup. ",august 1997( repr. Noiembrie 2019), 1 st ed. , 1 vol. , X -229 p. , bolnav. și fig. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-10-080288-3 , EAN 9782100802883 , OCLC 492916073 , notificare BnF n o FRBNF36178052 , SUDOC 241085152 , prezentare online , citiți online ) , cap. 3 , sect. 1 , ss-sect. 1.2 , § 1.2.3 („Exemplu de coordonate curvilinee: coordonate cilindrice”), p. 86-27.
[Taillet, Villain și Febvre 2018] Richard Taillet , Loïc Villain și Pascal Febvre , Dicționar de fizică , Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur , în afara col. ,Ianuarie 2018, A 4- a ed. ( 1 st ed. Mai 2008), 1 vol. , X -956 p. , bolnav. și fig. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , notificare BnF n o FRBNF45646901 , SUDOC 224228161 , prezentare online , citit online ) , sv coordonate cilindrice, p. 159.

Articole similare

Coordonate sferice

linkuri externe

[ Enciclopedia Larousse ] „ Coordonatele unui punct M : coordonate cilindrice ” , Enciclopedia Larousse , § 3 și fig. 4 .
[E ncyclopædia Universalis ] „ Coordonate carteziene, poli sferici și poli cilindrici ” , Encyclopædia Universalis .