Numărul e este baza de logaritmilor naturali , adică numărul definit de ln (e) = 1 . Această constantă matematică , numită și numărul lui Euler sau constanta lui Neper cu referire la matematicienii Leonhard Euler și John Napier , valorează aproximativ 2,71828 .
Acest număr este stabilit la sfârșitul XVII - lea secol , într - o corespondență între Leibniz și Huygens creștine , ca bază a logaritmului natural . Cu alte cuvinte, se caracterizează prin relația ln (e) = 1 sau într-un mod echivalent este imaginea lui 1 prin funcția exponențială , de unde notația exp ( x ) = e x . Descompunerea acestei funcții într-o serie întreagă duce la definirea lui e de către Euler ca suma seriei : Acest număr apare, de asemenea, ca limită a secvenței numerice a termenilor generali și în multe formule din analize, cum ar fi identitatea lui Euler e iπ = -1 sau formula lui Stirling care oferă un echivalent al factorialului . El este, de asemenea, implicat în teoria probabilității sau în combinatorică.
Euler demonstrează în 1737 că e este irațional , prin urmare că expansiunea sa zecimală nu este periodică și oferă o primă aproximare cu 23 de zecimale. Acesta explică pentru aceasta dezvoltarea sa în fracțiuni continue . În 1873, Charles Hermite arată că numărul e este chiar transcendent , adică nu este rădăcina vreunui polinom diferit de zero cu coeficienți întregi.
La începutul secolului al XVII - lea secol , matematicianul scoțian John Napier a construit primele tabele logaritmice , care permit simplificarea calculelor de produse și coeficienti precum și rădăcini pătrate , cub și altele. Acestea constau în asocierea fiecărui număr dintr-o listă cu un alt număr (numit logaritm ), astfel încât o relație de proporționalitate între patru termeni din prima listă să ducă la diferențe egale între termenii corespunzători ai celei de-a doua liste: dacă a , b , c și d au logaritmii respective o , b , C și D , în timp ce relația a / b = c / d este echivalentă cu relația a - b = C - D .
Mai precis, Napier fixează o rază inițială de zece milioane și construiește o listă în care fiecare număr îl calculează pe următorul prin scăderea unei zecimi milionime din valoarea sa. Aceste operații succesive sunt deci multiplicări iterate cu 1 - 10 –7 și lista constituie o succesiune geometrică a primului termen 10 7 . Logaritmul fiecărui număr din listă fiind rangul său de apariție, formula logaritmului astfel obținută de Napier este apoi scrisă:
.Napier interpretează această construcție folosind o problemă cinematică în care un mobil se mișcă cu o viteză constantă și altul mișcă o lungime finită cu o viteză proporțională cu distanța pe care trebuie să o parcurgă. În termeni moderni, problema se traduce prin urmare în două ecuații diferențiale ale căror soluții sunt liniare pentru primul mobil și exponențiale pentru al doilea. Egalând viteza inițială a celor două telefoane mobile și fixând lungimea de parcurs pentru cel de-al doilea mobil la 10 7 , poziția L a primului telefon mobil se obține de la distanța rămasă x a primului telefon mobil prin formula:
Cu toate acestea, aproximarea afină a logaritmului natural în 1 face posibilă abordarea ln (1 - 10 −7 ) cu −10 −7 cu o precizie de ordinul 10 −14 , adică 7 cifre semnificative. Tabelele de valori obținute de Napier oferă, prin urmare, la citirea acelorași prime zecimale ca și cele ale logaritmului natural și, în special, logaritmul său este egal cu 10 7 între sinele de 21 ° 35 'și de 21 ° 36, unde găsim primele zecimale de 1 ⁄ th (adică 3678 ...). Dar acest număr nu este evidențiat de Napier.
În 1624, Henry Briggs , corespondent cu Napier, a modificat parametrii de construcție ai tabelelor de logaritmi. În primul rând, el stabilește logaritmul de la 1 la 0, ceea ce înseamnă alegerea unei unități de rază. Tabelele sale transformă apoi produsele în sume, care este scrisă într-o formulare modernă: log ( ab ) = log ( a ) + log ( b ) . Apoi stabilește logaritmul de 10 la 1, astfel încât înmulțirea unui număr cu 10 are ca rezultat adăugarea unei unități la logaritmul său.
Briggs obține astfel un tabel de valori ale logaritmului zecimal , pe baza sistemului de numerotare din baza 10, dar noțiunea de funcție nu a apărut încă la momentul respectiv. În special, nu există nicio urmă a unei evaluări a unei rate de creștere în 1, care ar fi putut duce la o aproximare a logului (e) .
În 1647, Grégoire de Saint-Vincent a demonstrat o relație analogă cu cea a logaritmului între zonele domeniilor delimitate de o ramură de hiperbolă și asimptota acesteia . În 1661, Christian Huygens a făcut legătura dintre logaritmi și cvadratura hiperbolei, în special cea a ecuației x y = 1 . Prin urmare, logaritmul natural este evidențiat, dar baza sa ( e ) nu este identificată.
Într-o scrisoare de la Leibniz către Huygens, acest număr este în cele din urmă identificat ca baza logaritmului natural, în jurul anului 1690, dar Leibniz îl notează b .
Euler, într-un articol scris în 1727 sau 1728, este primul care notează e „numărul al cărui logaritm este unitatea” . El folosește această notație, cu aceeași definiție, într-o scrisoare către Goldbach în 1731.
Alegerea literei e ca tribut adus însuși numelui lui Euler fiind, prin urmare, puțin probabilă, au fost prezentate și alte ipoteze: prima vocală sau prima literă nefolosită într-un calcul literal , inițiala „exponențială” etc. .
Euler a văzut în funcții exponențiale și funcții de logaritm funcții reciproce reciproc. Scrierea echivalarea , el a numit logaritmului l în discuție de bază logaritm A și a observat că l ( a ) = 1 . Conform acestei corespondențe, există un număr numit de Euler e care verifică echivalența , acest număr verifică ln ( e ) = 1 . Funcția exponențială care admite o descompunere întreagă a seriei întregi , Euler obține expansiunea lui e ca o serie a inverselor factorialelor numerelor întregi naturale.
Potrivit lui Hervé Lehning, el ar fi avut „intuiția absolut strălucită de a scrie exponențialul bazei a oricărui drept polinom al exponentului” :
El va exprima toți coeficienții pe baza B . Iată cum. Mai întâi, prin setarea x = 0 , el obține A = 1 . Apoi, calculează:
dar din moment ce a 2 x = ( a x ) 2 , se setează și el
prin urmare,
El dezvoltă membrul drept astfel încât să poată identifica coeficienții din stânga cu cei din dreapta: 2 B = 2 B , 4 C = B 2 + 2 C (deci C = B 2 ⁄ 2 ), 8 D = 2 D + 2 î.Hr. (deci D = B 3 ⁄ 6 ) etc.
Prin urmare, ajunge la această ecuație:
Baza e fiind singura care permite egalitatea între exponențială și derivată, rămâne să găsim B astfel încât acest polinom și derivatul său să fie egale. Soluția este banală: B = 1 . În cele din urmă, observăm că 1, 2, 6, 24 sunt valorile succesive ale factorialului , ceea ce îl determină pe Euler să concluzioneze:
a cărei valoare aproximativă fusese deja calculată de Isaac Newton în 1669.
Diferitele caracterizări ale funcției exponențiale, printre alte funcții exponențiale ale oricărei baze , ajută, de asemenea, la redefinirea e ca cea reală, deoarece funcția la x combină e x coincide cu derivata sa în orice punct, sau doar în punctul 0 (acest lucru este echivalent) .
Prima dovadă a iraționalității lui e se datorează lui Euler ( vezi mai jos ). Fourier a dat următoarea dovadă mai simplă, folosind descompunerea lui e prin seria exponențială și raționamentul din absurd .
Este vorba de a demonstra că pentru orice număr întreg n > 0 , numărul n e nu este întreg. Pentru aceasta, el arată că n ! E în sine nu este întreg, descompunându-l în formă , unde numerele x și y sunt definite de: .
Astfel, n ! E este suma unui număr întreg și a unui număr întreg; de aceea nu este întreg; a fortiori , n e nu este plin. Această concluzie fiind valabilă indiferent de numărul întreg n > 0 , e este irațională.
O altă dovadă a iraționalității lui e este utilizarea fracțiilor continue . Dacă dovada este mai complexă, oferă și mai multe posibilități de generalizare.
În 1737, Euler a obținut expansiunea continuă a fracției lui e : . Această dezvoltare fiind infinită, acest număr este irațional.
În 1761, Lambert a extins dovada dată de Euler și a arătat, folosind expansiuni în fracții continuate generalizate , că pentru orice r rațional non-zero (în special pentru orice număr întreg non-zero), e r este irațional.
Această abordare face posibilă stabilirea faptului că e nu este o irațională pătratică , adică nu este o soluție a unei ecuații pătratice cu coeficienți raționali ( cf. Fracție continuă și aproximare diofantină ).
Cu toate acestea, măsura iraționalității lui e este egală cu 2 , la fel ca cea a numerelor algebrice iraționale, așa cum este indicat de teorema lui Roth .
Pentru a merge mai departe, adică pentru a arăta că e nu este o soluție a unei ecuații de gradul al treilea cu coeficienți raționali, atunci este transcendentă , ceea ce înseamnă că nu este o soluție de d 'fără ecuații polinomiale cu coeficienți raționali, sunt necesare idei noi.
Transcendența lui e a fost stabilită de Charles Hermite în 1873, printr-o metodă care prefigurează teoria aproximativelor lui Padé , dezvoltată în 1892 în teza elevului său Henri Padé . Diferenții aproximanți Padé ai funcției exponențiale oferă într-adevăr multe expresii ale lui e sub formă de fracții continuate generalizate.
Deoarece e este transcendent, la fel este și r , pentru orice r rațional non-zero (și mai general: f ( e ), pentru orice funcție algebrică neconstantă f ).
Gelfond-Schneider teorema , de asemenea , face posibil să se demonstreze că, de exemplu, e π este transcendent, dar noi nu știm încă, în 2020, dacă e e și π e sunt transcendent sau nu (este totuși conjectured că toate numerele de această formă sunt).
De asemenea, se presupune că e este un număr normal .
În 1685, Jacques Bernoulli a studiat problema dobânzii compuse în progresie continuă: dacă o sumă a produce o sumă b de dobândă la sfârșitul unui timp finit, putem considera că aceste dobânzi sunt dobândite liniar în funcție de timp. Dar, în intervalul de timp considerat, aceste interese ar trebui să producă ele însele interes și așa mai departe. Bernoulli obține astfel o expresie care evocă dezvoltarea în serii exponențiale.
Dintre numerele raționale cu numărător și numitor mai mici de 1000, cel mai apropiat de e este878323≈ 2,718 27 .
Valoarea numerică a e trunchiată la 15 zecimale este 2,718 281 828 459 045 .
Numărul de zecimale cunoscute ale constantei e a crescut semnificativ în ultimele decenii. Această precizie se datorează creșterii performanței computerelor, precum și îmbunătățirii algoritmilor.
Datat | Numărul de zecimale | Performanță datorată |
---|---|---|
1748 | 23 | Leonhard Euler |
1853 | 137 | William shanks |
1871 | 205 | William shanks |
1884 | 346 | Marcus Boorman |
1949 | 2.010 | John von Neumann (cu ENIAC ) |
1961 | 100 265 | Daniel Shanks și John Wrench (ro) |
1978 | 116.000 | Stephen Gary Wozniak (cu Apple II ) |
1 st aprilie 1994 | 10.000.000 | Robert Nemiroff și Jerry Bonnell |
21 noiembrie 1999 | 1.250.000.000 | Xavier Gourdon |
16 iulie 2000 | 3 221 225 472 | Colin Martin și Xavier Gourdon |
18 septembrie 2003 | 50 100.000.000 | Shigeru Kondo și Xavier Gourdon |
27 aprilie 2007 | 100.000.000.000 | Shigeru Kondo și Steve Pagliarulo |
6 mai 2009 | 200.000.000.000 | Shigeru Kondo și Steve Pagliarulo |
5 iulie 2010 | 1.000.000.000.000 | Shigeru Kondo și Alexander J. Yee |
24 iunie 2015 | 1.400.000.000.000 | Matthew hebert |
29 august 2016 | 5.000.000.000.000 | Ron Watkins |
3 ianuarie 2019 | 8.000.000.000.000 | Gerald Hofmann |
Numărul e face obiectul a numeroase tribute în comunitatea IT.
Pentru IPO-ul său din 2004, Google a anunțat că dorește să strângă nu o cifră rotundă, așa cum se întâmplă în general, ci 2.718.281.828 dolari , sau e miliarde de dolari (până la cel mai apropiat dolar). Google este, de asemenea, în spatele unei campanii originale de recrutare în iulie 2004: semne care menționează „{primele 10 cifre găsite în cifrele consecutive ale e} .com” ({primul număr prim din 10 cifre găsit în zecimale succesive ale e} .com) afișat inițial în Silicon Valley , apoi în Cambridge , Seattle și Austin a încurajat curioșii să viziteze site-ul acum defunct 7427466391.com. Acolo, vizitatorul a trebuit să rezolve o problemă și mai dificilă, care la rândul său l-a trimis pe site-ul Google Labs unde a fost invitat să trimită un CV. Primul număr de zece cifre în zecimal e este 7427466391, care începe cu 99 a zecimală.
Informaticianul Donald Knuth a numerotat diferitele versiuni ale programului său Metafont în funcție de zecimalele e : 2, 2,7, 2,71, 2,718 și așa mai departe. La fel, numerele de versiune ale programului său TeX abordează π .
(ro) John J. O'Connor și Edmund F. Robertson , „The number e ” , în arhiva MacTutor History of Mathematics , Universitatea din St Andrews ( citește online ).
(ro) Edward Kasner și James R. Newman , Matematica și imaginația (ro) , Dover ,2013( 1 st ed. 1940), 400 p. ( ISBN 978-0-486-32027-4 , citit online ) , p. 84