Teorema lui Roth
În matematică , Roth teorema sau Thue - Siegel - Roth teorema , este o teorie număr declarație , în ceea ce privește mai precis apropierea Diophantine .
Rezultatul este următorul:
Pentru orice număr algebric irațional α și pentru orice ε> 0, inegalitatea necunoscutelor q > 0 și p întregi :
|α-pq|<1q2+ε{\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {q ^ {2+ \ varepsilon}}} \,}
are doar un număr finit de soluții (nu mai este cazul pentru ε = 0, conform teoremei de aproximare a lui Dirichlet ).
Sau, din nou, sub aceleași ipoteze: există o constantă A > 0 (în funcție de α și ε) astfel încât
∀p∈Z,∀q∈NU∗|α-pq|≥LAq2+ε.{\ displaystyle \ forall p \ in \ mathbb {Z}, \ forall q \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | \ geq {\ frac {A} {q ^ {2+ \ varepsilon}}}.}
Aceasta înseamnă că măsura iraționalității unui număr algebric irațional este egală cu 2 și permite, prin contrapunere , să arate transcendența anumitor numere (totuși, numărul e , care este transcendent, scapă acestui criteriu: măsura sa d irațional este egală la 2). Această teoremă este, în plus, o generalizare a teoremei lui Liouville, care istoric fusese primul criteriu cunoscut al transcendenței.
Acest rezultat a câștigat Klaus Roth Medalia Fields în 1958.
Note și referințe
-
(în) Steven R. Finch , Constantele matematice , UPC ,2003, 602 p. ( ISBN 978-0-521-81805-6 , citit online ) , p. 171-172
-
(en) Daniel Duverney , The Number Theory: An Elementary Introduction Through Diophantine Problems , World Scientific , col. „Monografii în teoria numerelor” ( nr . 4),2010, 335 p. ( ISBN 978-981-4307-46-8 , citit online ) , p. 147
-
(ro) Yann Bugeaud , Aproximare după numere algebrice , CUP,2004, 292 p. ( ISBN 978-0-521-82329-6 , citit online ) , p. 28
-
(în) KF Roth , „ Aproximări raționale la numerele algebrice ” , Mathematika , vol. 2, n o 1,1955, p. 1-20 ( DOI 10.1112 / S0025579300000644 )și „Rectificare”, p. 168, DOI : 10.1112 / S0025579300000826 .
Articole similare
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">