Algebra implicativă

În matematică , o algebră involutivă sau o algebră involutivă este o algebră prevăzută cu un izomorfism pe algebra sa opusă care este involutivă , adică cu un pătrat egal cu identitatea .

În această lucrare, K denotă un inel comutativ , iar algebrele unui inel comutativ sunt presupuse a fi asociative și unitare, iar homomorfismele dintre algebre sunt presupuse a fi unitare, adică trimite 1 peste 1.

Definiții și proprietăți ale algebrelor involutive

Implicații

Să A o algebră de peste K și μ multiplicare A .

Algebra opusă la A , notat A op , este K A -modul prevăzut cu receptorii p multiplicare definit de μ '( x , y ) = μ ( y , x ). Numim antiautomorfismul lui A orice izomorfism al lui K -algebra lui A pe A op .

Chemat involuția (de K algebra) din A tuturor antiautomorphism J a A astfel încât J ∘ J este identitatea A . Involuțiile lui K -algebra lui A nu sunt altele decât automorfismele K -modulul f al lui A astfel încât f ( xy ) = f ( y ) f ( x )), f ( f ( x )) = x și f ( 1) = 1 , indiferent de elementele x și y din a .

Fie R un inel. Numim involuția inelară a lui A orice involuție a lui Z- algebră a lui A , adică orice hartă f de la R la R astfel încât f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ), f ( xy ) = f ( y ) f ( x ), f ( f ( x )) = x și f (1) = 1 , indiferent de elementele x și y din R . În cazul în care R este un corp , vorbim de involuție corpului de R .

Algebre implicative

Chemat algebra involutiv pe K fiecare pereche ( A , σ) , formată dintr - un K algebră A și un σ involuție pe A . Pentru orice element x al A , numit uneori adjunct al x și reprezintă x * sigma elementului ( x ) din A .

Numim inel involutiv orice inel involutiv Z- algebră și numim corp involuant orice inel involutiv al cărui inel subiacent este un corp.

În analiză, definiția algebrelor involutive este puțin diferită: presupunem că sunt algebre complexe și că involuția J este R- liniară și astfel încât J ( ax ) = a J ( x ), pentru orice număr complex a și pentru orice element x al algebrei.

Exemple de algebre implicative

Inelul de bază K este o algebră involutivă, luând identitatea ca involuție. Mai general, orice algebră comutativă peste K este o algebră involutivă care ia identitatea ca involuție.
Câmpul numerelor complexe este o algebră involutivă reală (și nu complexă) luând conjugarea ca involuție.
Câmpul cuaternionilor este o algebră involutivă reală care ia conjugarea ca involuție.
Fie L o extensie pătratică separabil (sau , mai general , o răspândire algebra pătratică) de K . Există o involuție unică a lui K- algebra L care este diferită de identitate. Dacă nu se specifică altfel în mod explicit, atunci când considerăm L ca o algebră involutivă peste K , este pentru această involuție.
Fie La o algebră quaternion de K . Deci , combinația A este o involuție A . Acesta este singurul involuția J din A astfel încât x + J ( x ) și xj ( x ) aparțin K pentru elementul x din K .
Dacă K este un câmp, algebra K [ε] a numerelor duale ale lui K are o involutie canonică, care la x + ε y asociază x - ε y .
Be G o (finit sau nu) și K [ G ] grupul algebra G . Apoi există o involuție unică a lui K [ G ] care trimite orice element g al lui G la g −1 .
Fie ( A , σ) o algebra involutiv peste K . Pentru fiecare element M de algebra matrice B = M n ( A ) sau τ ( M ) matricea obținută aplicând sigma și transpoziția M . In timp ce asocierea cu orice matrice M τ matricea ( M ) este obținut involuție B . De exemplu, dacă A = C și dacă σ este conjugarea, atunci τ asociată cu o matrice pătrată este transpunerea conjugatului pentru σ.
Fie ( D , σ) o algebră involutivă al cărei inel subiacent este un câmp. Fie E un spațiu vectorial dimensional finit pe D și φ să fie o formă sesquiliniară nedegenerată pe E relativ la σ care este Hermitian sau antihermitian. Pentru orice endomorphism f de E , există o endomorphism unică g de E , numit adjunctul lui f și pe care îl notăm cu f * astfel încât φ ( f ( x ), y ) = φ ( x , g ( y ). harta f ↦ f * de la capătul D ( E ) până la capătul D ( E ) este o involuție a K -algebră de la capătul D ( E ).
Să E un spațiu real sau complex Hilbert (sau quaternion) și o adevărată algebra L ( E ) a continua endomorphism E . Cartarea lui A în A care la orice element al lui A asociază operatorul adjunct al lui f cu o involutie reală de algebră a lui A = L ( E ).
Sau E un modul pe K . Pe tensorul algebra T ( E ), există o involuție unic T ( E ) , care se extinde identitatea E . În mod similar, pe algebra exterior ∧ ( E ), există o involuție unic , care se extinde identitatea E .
Se presupune că K este un corp și sunt E un spațiu vectorial de dimensiune peste K și q o formă pătratică nedegenerat pe E . Pe Clifford algebra CI ( q ) de q , există o involuție unic , care se extinde identitatea E , și există o involuție unic se extinde -id E . Algebra parțială Clifford Cl 0 ( q ) a lui q este stabilă pentru fiecare dintre aceste involuții, iar aceste involuții coincid în Cl 0 ( q ).
Să presupunem că K este un câmp și lăsați - L o algebră Lie pe K . În canonicește identificatorul L la un subspațiu al înfășurător algebra U ( L ), există o involuție unic de U ( L ) , care se extinde aplicația -id L .

Construcția algebrelor implicative

Algebre involutive centrale simple

Vezi și tu

C * -algebra