Algebra cuaternară
În matematică , o algebra quaternion peste un câmp comutativ K este un K algebră de dimensiune 4 care generalizează atât organismul de cuaternionii lui Hamilton și algebra matricelor pătrate de ordinul 2. Pentru a fi mai specific, este simplu algebra centrală peste K de gradul 2.
În acest articol, notăm cu K un câmp comutativ (cu orice caracteristică ).
Definiții și exemple
Chemat quaternion algebra pe K toate algebra (Unitate și asociative) O dimensiune 4 K este pur și simplu (adică, A și {0} sunt singurele idealuri cu două fețe ) și al cărei centru este K .
Numim un câmp de cuaterniuni peste K orice algebră de cuaternion peste K al cărui inel subiacent este un câmp.
Exemple
- Corpul unic al cuaternionilor de pe R ( până la izomorfism ) este câmpul H al cuaternionilor Hamilton.
- Algebra M 2 ( K ) matricelor pătrate de ordinul 2 este o algebră quaternion pe K . Este izomorfă algebra End K ( E ) din endomorphisms oricărui plan vectorial E pe K .
Conjugare
Definiție și exemple
Fie La o algebră quaternion peste K . O algebră de involuție a lui A este un endomorfism spațiul vectorial al lui A este involutiv ( J 2 = Id A ) și este un inel antihomomorfism ( J ( xy ) = J ( y ) J ( x ) indiferent dacă x și y să fie în A ) .
Există o involuție unică algebra J a A astfel încât, pentru orice element x din A , x + J ( x ) și xj ( x ) aparțin K . Se numește conjugare a A . Pentru orice element x al A , numit conjugat de x și se notează cu x elementul J ( x - ) din A .
Pentru orice element x al lui A , numim urmă redusă a lui x și notăm cu T ( x ) elementul x + x al lui K ; numita normă redusă de x și notat cu N ( x ) , elementul x x din K .
Exemple
- În H , conjugat cuaternionului q = a + b i + c j + d k este a - b i - c j - d k , urmele lui q sunt 2 a și norma q este a 2 + b 2 + c 2 + d 2 .
- In H 2 ( K ), conjugatul matricei M = este transpusa sale matrice adjugate : trace redusă M este piesa uzuală A + d a M și norma redusă M este determinant comun ad - de M .
- În algebra End K ( E ) a endomorfismelor unui plan vector E , conjugatul unui endomorfism f este adjunctul lui f față de orice formă bilineară alternativă non-zero ω pe E (toate aceste forme sunt proporționale ), adică endomorfism unic g astfel încât ω ( f ( x ), y ) = ω ( x , g ( y )). Urma redusă și norma redusă a lui f sunt urmele obișnuite și determinantul lui f .
Proprietăți
Fie La o algebră quaternion peste K .
- Funcția x ↦ T ( x ) de la A la K este o formă liniară neidentic zero.
- T (1) = 2.
- Funcția x ↦ N ( x ) din A în K este o formă pătratică nedegenerat pe A . Forma bilineară simetrică asociată acestei forme pătratice este funcția ( x , y ) ↦ T ( x y ) a lui A × A în K : indiferent de x și y în A , avem T ( x y ) = N ( x + y ) - N ( x ) - N ( y ).
- Pentru toate a în K și pentru toate x în A , avem N ( ax ) = a 2 N ( x ).
- Oricare ar fi x și y în A , avem N ( xy ) = N ( x ) N ( y ).
- N (1) = 1.
- Pentru ca un element x din A să fie inversabil în A , este necesar și suficient ca N ( x ) să fie diferit de zero. Funcția x ↦ N ( x ) a grupului A * al elementelor inversabile de la A la K este un morfism de grup .
O proprietate fundamentală este următoarea: pentru orice element x al lui A , avem
x 2 - T ( x ) x + N ( x ) = 0.Construcții de algebre de cuaternion
Remarcăm La o algebră quaternion peste K .
Caz de caracteristică diferit de 2
Presupunem că caracteristica lui K este diferită de 2.
Există o bază (1, u , v , w ) din A căreia 1 îi aparține astfel încât u 2 și v 2 să aparțină lui K * și astfel încât uv = - vu = w .
Invers, indiferent de elementele nenule a și b ale lui K , există o structură unică de algebră unitară pe K 4 pentru care, dacă notăm ( e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) baza canonică, e 1 este elementul unitar și astfel încât e 2 2 = a , e 3 2 = b și e 4 = e 2 e 3 = - e 3 e 2 . Notă privind ( a , b ) K .
Dacă K = R și dacă a = b = –1, atunci este câmpul H al cuaternionilor Hamilton.
Caz caracteristic 2
Presupunem că caracteristica lui K este egală cu 2.
Există o bază (1, u , v , w ) din A căreia 1 îi aparține astfel încât u 2 + u și v 2 să aparțină lui K * și astfel încât uv = vu + v = w .
În schimb, oricare ar fi elementele nenule a și b ale lui K , există o structură de algebră unitară unică pe K 4 pentru care, dacă notăm ( e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) baza canonică, e 1 este elementul unitar și astfel încât e 2 2 + e 2 = a , e 3 2 = b și e 4 = e 2 e 3 = e 3 e 2 + e 3 2 . Notă privind [ a , b ) K .
Construcție folosind algebre etatice pătrat
În orice caracteristică, putem construi o algebră cuaternară utilizând algebră etalon quadratică , prin construcția Cayley-Dickson (en) .
Fie C o algebră etalon pătratică peste K (acestea sunt algebre izomorfe până la K × K sau care sunt extensii pătratice separabile pe K - în altă caracteristică decât 2, orice extensie pătratică este separabilă). Există un automorphism unic J de C diferit de identitate, și se numește conjugare de C și are un element nenul al K .
Fie are un element nenul al K . În spațiul K -vector Q = C × C , multiplicarea definită prin ( x , y ) ( x ', y ') = ( xx '+ aJ ( y ') y , yJ ( x ') + y ' x ) face Q o algebră quaternion pe K . Notă On ( C , b ) K . În schimb, orice algebră quaternon peste K este izomorfă pentru o astfel de algebră.
De exemplu, dacă K = R , C este câmpul C al numerelor complexe și dacă a = –1, atunci Q este câmpul H al cuaternionilor Hamilton.
Tipuri de algebre de cuaternion
Spunem că o algebră de cuaternion este desfășurată ( împărțită în engleză) dacă există un vector x zero diferit de A astfel încât N ( x ) = 0. Algebra M 2 ( K ) este (până la izomorfism) l algebră de cuaternion unică dislocat K .
Algebrele cuaternarului peste K care nu sunt extinse nu sunt altele decât câmpurile cuaternionilor și este posibil să nu existe.
Algebre cuaternare pe unele câmpuri comutative
Dacă K = R , atunci orice algebra quaternion pe R este fie dislocat sau izomorfă H .
Dacă K este închis algebric (sau mai general dacă K este închis separat ), care este cazul dacă K = C , se desfășoară orice algebră cuaternară peste K.
Dacă K este finit, atunci se desfășoară orice algebră de cuaternion peste K (aceasta rezultă din faptul că orice câmp finit este comutativ).
Referințe
- N. Bourbaki , Elemente de matematică , Algebră , capitolul 3.
- (ro) Max-Albert Knus (de) , Alexander Merkurjev , Markus Rost (de) și Jean-Pierre Tignol, The Book of Involutions , AMS , 1998.