Ecuația produs zero

În matematică , o ecuație produs zero este o ecuație a cărei:

un membru este dat ca produs ;
celălalt membru este zero .

Acest tip de ecuație este simplificat de îndată ce avem următoarea afirmație:

Un produs este zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factorii săi este zero

Exemplu

Să rezolvăm în mulțimea numerelor reale ecuația $x$ necunoscut : $x$ $2$ $= 9$ .

Vedem că această ecuație este echivalentă cu $x 2 - 9 = 0$ ; care factorizează în $( x + 3) ( x - 3) = 0$ . Acest ultim produs este zero dacă și numai dacă unul dintre factorii săi este zero, adică dacă și numai dacă $x = 3$ sau $x = -3$ .

Deci un $x$ real satisface $x 2 = 9$ dacă și numai dacă $x = 3$ sau $x = -3$ . Ecuația este rezolvată.

Principiul

Principiul unei ecuații produs zero este să treacă de la rezolvarea unei ecuații „complicate” la rezolvarea mai multor ecuații mai simple. Dacă A , B , C și D sunt funcții ale unei variabile $x$ , ecuația A . B . C . D = 0 este echivalent cu sistemul: A = 0 sau B = 0 sau C = 0 sau D = 0.

Într-un inel, produsul unui număr de 0 este neapărat zero.

Într-adevăr, ca element nul 0 este elementul neutru al adunării: $0 = 0 + 0$ . Astfel, pentru orice element $un$ al inelului ( A , +,.), Produsul $unei .0 = a . (0 + 0)$ . Prin distributivitatea legii. pe legea +, $a . (0 + 0) = a .0 + a .0$ . Deci, $a .0 = a .0 + a .0$ . Deoarece ( A , +) este un grup , elementul $a .0$ admite un invers și este posibil să simplificăm această egalitate cu $un .0$ . Prin urmare, $un .0 = 0$ .

Într-un inel, elementul neutru al primei legi este astfel elementul absorbant al celei de-a doua.

Dar teorema citată în introducere este valabilă numai atunci când inelul este o integrală . De exemplu, nu este valid în ℤ / 14ℤ . În acest inel, produsul [2] × [7] este egal cu [0] fără ca vreunul dintre factori să fie. De asemenea, în ℤ / 6ℤ , produsul din clasa 2 și clasa 3 este zero. Teorema citată în introducere este scrisă după cum urmează, pentru a fi perfect riguroasă:

Teorema - Într-un inel integral, produsul unui număr finit de factori este zero dacă și numai dacă unul dintre factori este zero.

Mai multe seturi

Teorema poate fi extinsă la un spațiu vectorial : fiind produsul unui scalar de către un vector , avem dacă și numai dacă (element zero al câmpului de bază al spațiului vectorial) sau (vector zero al spațiului vectorial). ${\ displaystyle k \ cdot u}$ ${\ displaystyle k \ cdot u = 0}$ ${\ displaystyle k = 0}$ ${\ displaystyle u = 0}$