Torus

Un tor este un solid geometric care reprezintă un tub curbat închis pe sine. Termenul "tor" are diferite semnificații mai specifice, în funcție de context:

• în inginerie sau geometrie elementară, un toro este un solid de revoluție a spațiului obținut dintr-un cerc sau suprafața acestuia. Un tub interior , o geamandură , anumite sigilii sau chiar anumite gogoși ( North America gogoși ) au astfel o mai mult sau mai puțin toric formă  ;
• în arhitectură , un toro corespunde unei mulaje rotunde, semicilindrice.
• în matematică , mai ales în topologie , un tor este un coeficient al unui spațiu vectorial real de dimensiune finită de o rețea sau a oricărui spațiu topologic care îi este homeomorf . Suprafața solidului de revoluție descris mai sus este, în general, homeomorfă la ( R / Z ) × ( R / Z ), cu excepția cazurilor degenerate .
• în electronică , un tor magnetic a fost elementul de bază al amintirilor computerizate de a doua generație.
• în astronomie , un tor poate fi un inel planetar sau satelit.

Solidul revoluției în geometria euclidiană

Un tor este volumul spațiului euclidian R 3 generat de rotația unui cerc C de rază r în jurul unei linii afine D situate în planul său la o distanță R de centrul său. În acest sens, unii autori desemnează solidul obținut ca un tor solid, rezervând termenul tor pentru suprafața corespunzătoare. Cu acțiunea unei izometrii afine directe aproape, torul (plin) este determinat doar de cei doi parametri reali R și r .

Forma torului (solid) depinde de semnul  : r-R{\ displaystyle rR}

• si , torul este redus la un punct;r=0=R{\ displaystyle r = 0 = R}
• si , torul este redus la un cerc cu raza R  ;r=0<R{\ displaystyle r = 0 <R}
• da , torul este declarat a fi „deschis“ și arată ca un tub interior sau chiar o gogoasa ( America de Nord gogoașă ). Unii autori își rezervă numele de tor pentru acest caz (sau includ următorul caz).0<r<R{\ displaystyle 0 <r <R}
• dacă se spune că torul este „cu guler zero”;0<r=R{\ displaystyle 0 <r = R}
• da , se spune că torul este „încrucișat” și seamănă vizual cu un dovleac  ; solidul este topologic o bilă închisă a spațiului tridimensional, iar suprafața sa o sferă.0<R<r{\ displaystyle 0 <R <r}
• si , torul (solid) este o minge (solidă obținută prin rotația unui disc în jurul unuia dintre diametrele sale) de rază r .R=0<r{\ displaystyle R = 0 <r}

Ecuațiile torului

Un tor poate fi definit parametric prin:

X(tu,v)=(R+rcos⁡v)cos⁡tu{\ displaystyle x (u, v) = (R + r \ cos {v}) \ cos {u} \,} y(tu,v)=(R+rcos⁡v)păcat⁡tu{\ displaystyle y (u, v) = (R + r \ cos {v}) \ sin {u} \,} z(tu,v)=rpăcat⁡v{\ displaystyle z (u, v) = r \ sin {v} \,}

sau

u , v aparțin intervalului [0, 2π [ , R este distanța dintre centrul tubului și centrul torului, r este raza cercului C.

Prin însumarea pătratelor

X2+y2+z2=R2+2Rrcos⁡v+r2{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = R ^ {2} + 2Rr \ cos {v} + r ^ {2} \,} Ne izolăm și ne pătrundem din noucos⁡v{\ displaystyle \ cos {vb} \,}

(X2+y2+z2-R2-r2)2=(2Rrcos⁡v)2,{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -R ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2} = (2Rr \ cos {v}) ^ {2 },}

Rămâne doar să injectați:

z2=r2păcat2⁡v{\ displaystyle z ^ {2} = r ^ {2} \ sin ^ {2} {v} \,} Pentru a obține în cele din urmă:

(X2+y2+z2-R2-r2)2=4R2r2(1-păcat2⁡v) ,{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -R ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2} = 4R ^ {2} r ^ {2} ( 1- \ sin ^ {2} {v}) \,} (X2+y2+z2-R2-r2)2=4R2(r2-z2) ,{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -R ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2} = 4R ^ {2} (r ^ {2} -z ^ {2}) \,}

O altă ecuație carteziană pentru un tor simetric în jurul axei z este

(X2+y2-R)2+z2=r2,{\ displaystyle \ left ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} - R \ right) ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2}, \, \!}

Algebric prin eliminarea rădăcinii pătrate obținem o ecuație a 4 - lea  grad.

(X2+y2+z2+R2-r2)2=4R2(X2+y2).{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2} = 4R ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}). \, \!}

Suprafață și volum

Pentru R - r pozitiv sau zero, avem:

• Zona torului:LA=∫02πRdθ(∫02πrdθ)=4π2rR{\ displaystyle A = \ int \ limits _ {0} ^ {2 \ pi} R \, {\ text {d}} \ theta \; \ left (\ int \ limits _ {0} ^ {2 \ pi} r \, {\ text {d}} \ theta \ right) = 4 \ pi ^ {2} rR}

• Volumul intern al torului:V=∫02πRdθ(∫02π∫0rrdrdθ)=2π2r2R{\ displaystyle V = \ int \ limits _ {0} ^ {2 \ pi} R \, {\ text {d}} \ theta \; \ left (\ int \ limits _ {0} ^ {2 \ pi} \ int \ limits _ {0} ^ {r} r \, \ mathrm {d} r {\ text {d}} \ theta \ right) = 2 \ pi ^ {2} r ^ {2} R}

Cele mai Teoremele Guldin posibil pentru a obține aceste rezultate și se determină , de asemenea , formulele de suprafața și volumul de cross-torus (pentru R < r ).

Grup de izometrii

Pentru R > 0, printre izometriile remarcabile ale torului, distingem:

• rotațiile r u ale axei (presupuse a fi orientate) D și ale unghiului u  ;
• inversarea a față de planul afin P ortogonal către D care trece prin centrul lui C  ;
• inversarea b Q față de orice plan afin Q care conține D  ;
• simetria centrală s față de proiecția ortogonală O a lui C pe D  ;
• simetriile axiale cu privire la orice linie dreaptă care trece prin O și conținută în P  ;
• compușii unei rotații r u prin inversarea a .

Evident, simetria centrală și simetriile axiale sunt obținute ca fiind compuse din inversările descrise. Grupul G al izometriilor torului este izomorf la produsul direct al Z / 2 Z prin produsul semidirect al S 1 la Z / 2 Z  :

G=Z/2Z×(R/2πZ⋊Z/2Z){\ displaystyle G = Z / 2Z \ times (R / 2 \ pi Z \ rtimes Z / 2Z)}.

Un izomorf natural este descris după cum urmează:

• r u corespunde (0, u, 0);
• a corespunde (1,0,0);
• Pentru un plan Q fix arbitrar, b Q corespunde (0,0,1).

În special, b r u ( Q ) = r u b Q r - u corespunde (0, u, 1); s corespunde (1, π, 0).

Cercurile din Villarceau

Cercurile Villarceau sunt două cercuri obținute prin secționarea unui tor de-a lungul unui plan diagonal bitangent care trece prin centrul torului. Își iau numele de la astronomul și matematicianul francez Yvon Villarceau (1813–1883). Având în vedere un punct al torului, putem construi pe tor patru cercuri care trec prin acest punct: unul în planul torului, altul perpendicular pe acest plan; celelalte două sunt cercurile lui Villarceau.

Colorarea unui tor

Patru culori teoremei nu se aplică pentru un torus: este posibil să se împartă suprafața unui torus în 7 zone de diferite culori (maxim) , astfel încât fiecare atinge celelalte 6. The Ringel - Youngs teorema arată că 7 culori sunt întotdeauna suficiente.

Euler caracteristic unui tor

Caracteristica Euler a unui tor este egală cu 0: este posibil să se plaseze torul fără a introduce o singularitate.

Aplicații

• În cercetarea nucleară pentru producerea de energie prin fuziune , în reactoarele de tip tokamak , plasma este conținută de câmpuri magnetice puternice într-o cameră în formă de toric. Unul dintre aceste reactoare poartă numele de Tore Supra . Este, de asemenea, forma camerelor de vid ale acceleratoarelor de particule de tip sincrotron (neglijând canalele de intrare și ieșire).
• În electricitate, forma ideală a circuitului magnetic al unui transformator este cea a torului.

Torul de dimensiune n

În topologie , termenul torus este rezervat pentru a desemna spații (sau soiuri ) topologice . Există mai multe prezentări, toate echivalente cu homeomorfismul (sau difeomorfismul ) aproape. Numim un tor de dimensiune n sau n -tor și notăm cu T n , spațiul topologic definit ca:

• produs de n copii ale cercului unitar S 1  ;
• coeficientul lui R n cu Z n  ;
• mai general, coeficientul unui spațiu vectorial real E de dimensiune finită n de o rețea G  ;

Torul dimensiunii n este o varietate topologică compactă și conectată a dimensiunii n . Obținut ca un coeficient E / G , T n este o varietate diferențială și chiar un grup Lie abelian  ; cele maxime corespunzătoare atlas nu depinde de zăbrele sau pe spațiul vectorial. Dacă E este un spațiu vectorial euclidian , coeficientul T n = E / G se prezintă în mod natural ca un distribuitor plat .

Pentru a construi un cerc, puteți uni capetele unui segment îndoindu-l într-un plan. În mod similar, pentru a construi un 2-tor, putem uni două câte două părțile opuse ale unui pătrat, îndoindu-l într-o a treia dimensiune și, mai general, pentru a construi un n- tor, putem uni două câte două fețele ( n - 1) - dimensiunile opuse ale unui hipercub de dimensiunea n prin îndoirea acestui hipercub într-o nouă dimensiune n + 1. Astfel, un 3-tor este lipirea celor 3 perechi de fețe opuse ale unui cub, într-o a patra dimensiune.

Grupul fundamental al lui T n este grupul abelian liber cu n generatoare, adică Z n .

Tori sunt singurele grupuri Lie abeliene compacte conectate. Introducerea tori maxime ( subgrupuri compacte abeliene conectate maxime ) este de o importanță capitală în studiul grupurilor Lie compacte .

Dinamica unei plasme sau a unui fluid într-un tor

Rezervoarele toroidale sau toroidale (în formă de toroid) sunt prezente în mai multe modele de centrale nucleare, inclusiv recentele AP 1000 sau reactoarele din seria Mark .

În cazul unui cutremur major cu deplasare laterală a solului, o explozie sau șoc care are aceleași consecințe, spălarea (valurile și valurile induse și efectul lor de slăbire ) poate fi o sursă de solicitări neobișnuite și diferențiate în tor. Înțelegerea spălării este, prin urmare, o problemă pentru anumite tehnologii care utilizează rezervoare toroidale, precum și pentru rezervoare circulare sau toroidale într-un vehicul în mișcare, inclusiv un avion, rachetă sau vehicul spațial .

Fizica plasmelor formate în tori este, de asemenea, subiectul a numeroase studii, în cadrul dezvoltării Tokamaks și a fuziunii nucleare .

Vezi și tu

Articole similare

• Sticla Klein
• Cercurile din Villarceau
• Complex simplificat
• Planul proiectiv
• Torus necomutativ
• Stanford Torus
• Conjectura Willmore
• Tub (matematică)
• Univers în toro bidimensional .

linkuri externe

• Jocuri Torus Unele jocuri descărcabile gratuite, care rulează pe Windows și Mac OS X, care detaliază topologia torusului
• [video] Henri Paul de Saint-Gervais, Acoperire universală a torului pe YouTube

Bibliografie

• (ro) Meserole, JS, A. Fortini (1987), „Slosh Dynamics in a Toroidal Tank”, Journal Spacecraft, Volumul 24, Numărul 6, noiembrie-decembrie 1987 ( rezumat )
• (ro) Hiroki Takahara, Kensuke Hara, Takeshi Ishida. (2012) Oscilația neliniară a lichidului într-un rezervor cilindric cu un butoi de miez excentric . Jurnalul fluidelor și structurilor, volumul 35, noiembrie 2012, paginile 120-132 ( rezumat
• (ro) Hiroki Takahara, Koji Kimura. (2012) Răspunsul în frecvență al sloshingului într-un rezervor cilindric inelar supus excitației de înclinare . Journal of Sound and Vibration 331: 13, 3199-3212; Online: 01.06.2012. ( rezumat )

Note și referințe

1. http://www.geom.uiuc.edu/zoo/toptype/torus/standard/eqns.html
2. NASA (1969), Ștergere Slosh , mai 1969, PDF, 36p