Soi plat

În matematică , se spune că o suprafață Riemann este plană dacă curbura Gaussiană este zero în orice punct. Intuitiv, un colector plat „local” seamănă cu spațiul euclidian în termeni de distanțe și unghiuri, de exemplu suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este egală cu 180 °. Această definiție este generalizată la varietăți Riemanniene al căror tensor de curbură este zero în toate punctele. Cele feluri de mâncare tori sunt una dintre cele mai simple exemple de soiuri plate compacte .

Acoperirea universală a unui complet colector plat este spațiu euclidian. O teoremă a lui Bieberbach arată, de asemenea, că orice distribuitor compact plat este un coeficient finit al unui tor.

Exemple

Dimensiunea 1

Dreapta
Torul unidimensional

Dimensiunea 2

Teorema clasificării

Clasificarea varietăților plate compacte dă naștere la interesant înainte și înapoi cu teoria reprezentării grupurilor finite . Rezultatul fundamental este obținut prin transpunerea în cadrul soiurilor a lucrărilor efectuate de Ludwig Bieberbach în anii 1910-1912 asupra grupurilor de simetrii spațiale:

Teorema lui Bieberbach - Fie $M$ un distribuitor plat, compact, de dimensiunea $n$ . Apoi, grupul fundamental al lui $M$ are un subgrup cu indice finit, care este un grup abelian liber de rang $n$ . În special $M$ este un coeficient finit al unui tor plat.

Clasificarea soiurilor plate compacte este apoi redusă la cea a grupului lor fundamental: grupurile posibile se numesc grupe Bieberbach ; acestea sunt, printre grupurile cristalografice , cele care nu sunt răsucite .

Astfel, un grup Bieberbach este un subgrup discret, fără torsiune, al grupului afin de index $n$ , astfel încât spațiul este compact . Verifică o secvență exactă a formularului $\Gamma$ ${\ displaystyle M = \ mathbb {R} ^ {n} / \ Gamma}$

{\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} ^ {n} \ to \ Gamma \ to H \ to 0}

unde $H$ este un grup finit , care este interpretat ca grupul holonomy soiului $M$ . Putem arăta apoi că orice grup finit poate fi realizat ca un astfel de grup de holonomie.

Note și referințe

(în) Jürgen Jost , Riemannian Geometry and Geometric Analysis ,2002[ detaliu ediții ], p. 227
Utilizarea acestui termen a fluctuat, anterior se referea la toate grupurile cristalografice. Vizualizați (ro) LS Charlap , Grupuri și colectoare Bieberbach Flat Springer al. „Universitext”,1986( ISBN 978-0-387-96395-2 ), p. 74-75 .
Andrzej Szczepański, Probleme privind grupurile Bieberbach și colectoarele plate , Universitatea din Gdańsk , februarie 2008

Bibliografie

(de) L. Bieberbach , „ Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume I ” , Mathematische Annalen , vol. 70, t. 3,1911, p. 297–336 ( DOI 10.1007 / BF01564500 ).

(de) L. Bieberbach , „ Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume II: Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich ” , Mathematische Annalen , vol. 72, t. 3,1912, p. 400–412 ( DOI 10.1007 / BF01456724 ).

(de) A. Schoenflies , Kristallsysteme und Kristallstruktur , Teubner ,1891.