Teorema lui Ceva

În matematică , teorema lui Ceva este o teoremă a geometriei afine plane care oferă o condiție necesară și suficientă pentru ca trei linii care trec prin cele trei vârfuri ale unui triunghi să fie paralele sau concurente . Este interpretat în mod natural în geometria euclidiană și se generalizează în geometria proiectivă .

Își datorează numele matematicianului italian Giovanni Ceva care, la câțiva ani după matematicianul spaniol José Zaragoza , afirmă și demonstrează o versiune a acestuia în De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio în 1678. Cu toate acestea, era deja cunoscut la pune capăt al XI - lea din secolul Yusuf al-Mu'taman ibn Hud , și inspector regele Zaragoza . O demonstrează în Cartea perfecțiunii sale ( Kitab al-Istikmal , în arabă : كتاب الإستكمال ), renumit la vremea sa și al cărui text a fost redescoperit în 1985.

Geometria euclidiană

Această secțiune prezintă un caz particular al teoremei lui Ceva, în care cele trei linii care trec prin fiecare dintre vârfurile triunghiului sunt interioare. Afirmația este simplificată: aceste trei linii nu pot fi paralele și este suficient să vorbim despre relații de lungime.

Enunț cu distanțe

Teorema - Fie ABC un triunghi, fie D , E și F să fie trei puncte distincte de vârfuri și aparținând respectiv segmentelor [ BC ], [ CA ] și [ AB ]. Liniile ( AD ), ( BE ) și ( CF ) sunt concurente dacă și numai dacă

{\ displaystyle {\ frac {DB} {DC}} \ times {\ frac {EC} {EA}} \ times {\ frac {FA} {FB}} = 1.}

În seria Cévienne a unui triunghi, vom apela o linie care trece printr-un vârf și care întâlnește segmentul opus. Aici, punctele D , E și F sunt pe laturi.

Vom face o demonstrație care implică numai noțiuni de proporționalitate a lungimilor și a zonelor, instrumente care erau deja disponibile în momentul Euclidului .

Demonstrație

Notăm în cele ce urmează aria triunghiului ABC și dovedim proprietatea în doi pași. ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {ABC}}$

Dacă liniile sunt concurente în M, atunci produsul raporturilor este egal cu 1. Deoarece triunghiurile MDB și MDC au aceeași înălțime, ariile lor sunt proporționale cu bazele DB și DC . În același mod pentru triunghiurile ADB și ADC , apoi prin diferență pentru triunghiurile MAB și MAC . Prin urmare, obținem egalitate

{\ displaystyle {\ frac {{\ mathcal {A}} _ {MAB}} {{\ mathcal {A}} _ {MAC}}} = {\ frac {DB} {DC}}}

Printr-un raționament similar, avem și

{\ displaystyle {\ frac {{\ mathcal {A}} _ {MBC}} {{\ mathcal {A}} _ {MBA}}} = {\ frac {EC} {EA}}}

{\ displaystyle {\ frac {{\ mathcal {A}} _ {MCA}} {{\ mathcal {A}} _ {MCB}}} = {\ frac {FA} {FB}}}

Produsul celor trei rapoarte este într-adevăr egal cu 1. Dacă produsul raporturilor este 1 atunci liniile sunt concurente Liniile fiind Céviennes, liniile ( AD ) și ( BE ) se intersectează în M, iar linia ( CM ) intersectează [ AB ] în F ' . Conform raționamentului anterior, avem

{\ displaystyle {\ frac {DB} {DC}} \ times {\ frac {EC} {EA}} \ times {\ frac {F'A} {F'B}} = 1}

Deoarece vine prin simplificare că . Acum există doar un singur punct de pe un segment pe care îl împarte în conformitate cu un anumit raport este F . Prin urmare , F = F ' și dreapta ( CF ) , necesită , de asemenea , M .

{\ displaystyle {\ frac {DB} {DC}} \ times {\ frac {EC} {EA}} \ times {\ frac {FA} {FB}} = 1}

{\ displaystyle {\ frac {FA} {FB}} = {\ frac {F'A} {F'B}}}

Enunț în formă trigonometrică

Putem deduce din teorema lui Ceva prin legea sinelor o versiune trigonometrică a acesteia.

{\ displaystyle {\ frac {\ sin {\ widehat {BAD}}} {\ sin {\ widehat {CAD}}}} \ times {\ frac {\ sin {\ widehat {ACF}}} {\ sin {\ widehat {BCF}}}} \ times {\ frac {\ sin {\ widehat {CBE}}} {\ sin {\ widehat {ABE}}}} = 1.}

Geometrie afină

Se pare că teorema lui Ceva (prima versiune) este o afirmație a geometriei afine , adică nu este nevoie să vorbim despre lungime, ortogonalitate sau unghi, chiar dacă, desigur, teorema rămâne valabilă a fortiori în acest context. Pentru aceasta trebuie să abandonăm lungimile și să oferim o declarație în ceea ce privește raporturile măsurilor algebrice . O măsură algebrică este intuitiv, în geometria euclidiană, o lungime cu un semn care depinde de o orientare arbitrară pe o linie dată. Dar putem defini într-un mod pur afin, fără a vorbi nici despre lungime, nici despre orientare, următorul raport de măsurare algebric pentru trei puncte aliniate P , Q , R , Q și R fiind distinct de P , și anume:

{\ displaystyle {{\ overline {PR}} \ over {\ overline {PQ}}}}

Este vorba despre raportul dintre singura omoteză a centrului P care transformă Q în R , sau într-un mod echivalent, al singurei verificări scalare:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {PR}} = {{\ overline {PR}} \ over {\ overline {PQ}}} \ cdot {\ overrightarrow {PQ}}}

Declarația teoremei care urmează este deci într-adevăr o declarație de geometrie afină.

Teorema

Teorema - Fie ABC un triunghi, fie D , E și F să fie trei puncte distincte de vârfuri și aparținând respectiv liniilor ( BC ), ( CA ) și ( AB ). Liniile ( AD ), ( BE ) și ( CF ) sunt concurente sau paralele dacă și numai dacă

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} {\ frac {\ overline {FA}} { \ overline {FB}}} = - 1}

Demonstrație

Există multe dovezi ale teoremei lui Ceva în geometria afină. În loc să adaptăm dovada anterioară, care ar necesita introducerea unei noțiuni de zonă algebrică, vom folosi direct baricentrul și vom apela la următoarele proprietăți.

Dacă M este baricentrul lui ${( A , α ); ( B , β )}$ distinct de A și B atunci . ${\ displaystyle {\ frac {\ overline {MB}} {\ overline {MA}}} = - {\ frac {\ alpha} {\ beta}}}$
Fie M baricentrul lui ${( A , α ); ( B , p ); ( C , γ )}$ , M nu este localizat pe [ AB ], [ BC ] sau [ CA ]. ( AM ) întâlnește ( BC ) în D dacă și numai dacă . ${\ displaystyle {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} = - {\ frac {\ gamma} {\ beta}}}$

Demonstrația are loc în trei etape.

Dacă liniile ( AD ), ( BE ), ( CF ) sunt paralele, atunci produsul celor trei rapoarte este –1 Aplicarea teoremei lui Thales pe de o parte în triunghi ( CBE ), cu ( DA ) paralel cu ( BE ), pe de altă parte în triunghi ( BCF ), cu ( DA ) paralel cu ( CF ) conduce la a spune acea :

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} = {\ frac {\ overline {BC}} {\ overline {BD}}}}

și

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {FA}} {\ overline {FB}}} = {\ frac {\ overline {CD}} {\ overline {CB}}}}

Apoi este suficient să înlocuiți pentru a arăta că produsul celor trei rapoarte este egal cu –1.Dacă liniile sunt concurente atunci produsul celor trei rapoarte este –1 Notăm cu M punctul de intersecție . Nu este localizat pe [ AB ], nici pe [ BC ], nici pe [ CA ]. Este baricentrul lui

{( A , α ); ( B , p ); ( C , γ )}

. ( AM ) întâlnește ( BC ) în D, prin urmare .

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} = - {\ frac {\ gamma} {\ beta}}}

Printr-un raționament similar, obținem și

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} = - {\ frac {\ alpha} {\ gamma}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {FA}} {\ overline {FB}}} = - {\ frac {\ beta} {\ alpha}}}

Produsul celor trei rapoarte este apoi egal cu –1. Dacă produsul celor trei rapoarte este –1 atunci liniile sunt paralele sau concurente Dacă cele trei linii sunt paralele, nu este nimic de demonstrat. În caz contrar, cel puțin două sunt secante, se poate, fără a pierde generalitatea, să presupunem că sunt liniile ( AD ) și ( BE ) secante în M care nu sunt situate pe [ AB ], [ BC ] sau [ CA ] și baricentrul lui

{( A , a ); ( B , p ); ( C , γ )}

. Deoarece ( AM ) se întâlnește ( BC ) în D și ( BM ) se întâlnește ( CA ) în E , putem scrie și

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} = - {\ frac {\ gamma} {\ beta}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} = - {\ frac {\ alpha} {\ gamma}}}

În cele din urmă, avem

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ beta}} = {\ frac {\ gamma} {\ beta}} \ times {\ frac {\ alpha} {\ gamma}} = {\ frac {\ overline { DB}} {\ overline {DC}}} \ times {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}}}

Acum, deci

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} \ times {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} \ times {\ frac {\ overline { FA}} {\ overline {FB}}} = - 1}

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} \ times {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} = - {\ frac {\ overline { FB}} {\ overline {FA}}}}

Deci , acest lucru asigură că dreptul ( CM ) proprietatea intersectează linia dreaptă ( AB ) în F .

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ beta}} = - {\ frac {\ overline {FB}} {\ overline {FA}}}}

Cele trei linii sunt într-adevăr concurente în M.

Observăm o relație formală între această dovadă și cea prin ariile: M este baricentrul punctelor A , B și C luând ca coeficienți ariile celor trei triunghiuri MAB , MBC și MCA ale primei dovezi.

Teorema lui Ceva și teorema lui Menelau

Teorema lui Ceva este strâns legată de teorema lui Menelaus, care oferă o condiție foarte similară (același produs trebuie să fie egal cu 1), astfel încât trei puncte de pe laturile (ca linii) ale unui triunghi să fie aliniate.

Configurația teoremei lui Ménélaüs este, de fapt, duală cu cea a teoremei lui Ceva: dualitatea face ca punctul și linia să corespundă și își ia întregul sens în geometria proiectivă , dualul unui triunghi este un triunghi ale cărui vârfuri și vârfuri au fost schimbate. . Punctele duale ale Céviennes (care trec prin vârfuri) sunt puncte de pe laturile triunghiului dual. Condiția de concurență a Céviennes devine o condiție de aliniere a acestor puncte.

Pe de altă parte, arătăm teorema lui Ceva utilizând teorema lui Menelau de două ori. Aceasta este una dintre implicațiile echivalenței teoremei și presupunem în continuare cele trei linii concurente. Cu aceleași notații ca mai sus, aplicăm teorema lui Menelaus triunghiurilor ABD , cu cele trei puncte incidente la laturile F , M și C și la triunghiul ADC cu B , M și E și obținem teorema lui Ceva prin coeficient.

În cele din urmă trecem de la teorema lui Ceva la teorema lui Menelaüs printr-o diviziune armonică . În triunghiul ABC , punctele D , E și F sunt pe laturile ( BC ), ( AC ) și respectiv ( AB ), astfel încât liniile ( AD ), ( CF ) și ( BE ) sunt concurente și dreapta ( FG ) nu este paralel cu latura ( BC ), punctul D ' este apoi intersecția acestor două linii, adică D' este pe ( BC ) și D ' , F și G sunt aliniate; atunci cele patru puncte [ D ' , D , B , C ] sunt în diviziune armonică:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} {\ frac {\ overline {FA}} {\ overline {FB}}} & = & - 1 & \ qquad {\ text {(Ceva)}} \\ [3pt] {\ frac {\ overline {D'B}} {\ overline {D'C}}} {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} {\ frac {\ overline {FA}} {\ overline {FB}}} & = & 1 & \ qquad {\ text {(Ménélaüs)}} \\ [3pt] {\ frac {\ overline {D'B}} {\ overline {D'C}}}: {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} & = & - 1 & \ end {align}}}$

( AD ) este polarul lui D ' față de ( AB ) și ( AC )

Trecem, printr-un produs sau coeficient simplu, de la două dintre aceste rezultate la al treilea (a se vedea articolul diviziunea armonică pentru definiția polarului și o demonstrație a proprietății utilizate, este cea care permite construirea polarului, folosind armonică grinzi). O altă modalitate de a demonstra această proprietate este de a observa că cele patru linii ( AB ), ( BE ), ( CF ) și ( CA ) sunt laturile unui patrulater complet cu vârfurile A , F , M , E , B și C : diagonala [ BC ] este deci împărțită la cele două diagonale ( EF ) și ( AM ) conform unei diviziuni armonice.

În geometria proiectivă

În planul proiectiv , toate liniile sunt secante. Putem construi planul proiectiv adăugând o linie dreaptă, numită linie dreaptă la infinit, la planul afin. Liniile planului afin din aceeași direcție sunt secante în același punct (uneori numit punctul necorespunzător) pe această linie la infinit. Devine inutil să distingem două cazuri în enunțul teoremei. Pe de altă parte, raporturile măsurilor algebrice nu sunt noțiuni proiective. Putem vorbi de un raport transversal : în construcția planului proiecțional finalizat de planul afinar, raportul transversal [ A , B , C , D ] este egal cu raportul dintre măsura algebrică a [ CA ] și cea a [ CB ] când D este la infinit. Putem da, de asemenea, o versiune a teoremei în coordonate omogene, care sunt extensia coordonatelor barentric la planul proiectiv.

Exemple de aplicare

Teorema lui Ceva ne permite să dovedim multe proprietăți ale liniilor concurente.

Îl putem aplica unui caz simplu, cum ar fi punctul de intersecție al medianelor . În acest caz, D este punctul mediu al lui [ BC ] și, prin urmare, BD = DC . La fel și pentru celelalte puncte. Toate rapoartele implicate în teoremă valorează 1 și, prin urmare, și produsul lor, ceea ce dovedește că medianele unui triunghi sunt concurente.
Isogonal combinate și isotomiques sunt două exemple de aplicare a teoremei lui CEVA.
Liniile care leagă vârfurile unui triunghi de punctele de contact ale cercului inscris sunt concurente cu punctul Gergonne al acestui triunghi.
Liniile care leagă fiecare vârf al unui triunghi la punctul de contact al unui cerc exinscris cu latura opusă acestui vârf sunt concurente la punctul Nagel al acestui triunghi.

Note și referințe

vezi referințele articolului Giovanni Ceva (vezi Giovanni Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio )
(în) ianuarie Hogendijk , „Al-Mutaman Ibn Hud, 11 Regele secolului Saragozei și matematician strălucit”, în Historia Mathematica , Vol. 22, 1995, p. 1-18
(în) JP Hogendijk , „Descoperirea unei compilații geometrice din secolul al XI-lea: The Istikmal of Mu'taman ibn Yusuf al-Hud, King of Saragossa”, în Historia Mathematica , Vol. 13, 1986, p. 43-52
Această definiție nu este universală, este în unele lucrări un segment, iar în altele un Cévienne întâlnește mai general linia care poartă partea opusă, a se vedea de exemplu Coxeter și Greitzer, primul capitol și glosar.
legat de aria unui triunghi dat, folosim determinantul , a se vedea de exemplu (en) HSM Coxeter , Introducere în geometrie [ detaliu ediții ], capitolul despre geometrie afină.

Anexe

Bibliografie

HSM Coxeter și SL Greitzer Geometry revisited , The matematic association of America (1967), traducere în franceză Redécouvrons la géometry , Dunod Paris (1971).
Jean Fresnel, Metode moderne în geometrie , Paris, Hermann ,1996, 408 p. ( ISBN 2-7056-1437-0 ).
Jean-Denis Eiden, Geometrie analitică clasică , Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN 978-2-916352-08-4 )
Bruno Ingrao, Affine, Euclidean and Projective Conics , Calvage & Mounet, 2011 ( ISBN 978-2-916352-12-1 )
Yves Ladegaillerie, Geometrie: afină, proiectivă, euclidiene și anallagmatic , Paris, elipse ,2003, 515 p. ( ISBN 2-7298-1416-7 ).
Michel Chasles Privire de ansamblu istorică asupra originii și dezvoltării metodelor în geometrie, în special cele referitoare la geometria modernă Bruxelles Hayez (1837), în special nota VII p 294 privind linia rectis .. de Ceva, accesibilă de google books .

Articole similare

Cévienne
Giovanni Ceva
Symédiane
Teorema lui Menelau
Teorema lui Routh, din care Ceva poate fi văzută ca un caz special
Teorema lui Van Aubel