Cercuri inscripționate și exinscrise ale unui triunghi

Având în vedere trei puncte nealiniate A , B și C ale planului, există patru cercuri tangente la cele trei linii ( AB ), ( AC ) și ( BC ). Acestea sunt cercul inscripționat (cel din interiorul triunghiului) și cercurile exinscrise ale triunghiului ABC .

Bisectoare

Un cerc tangent la cele trei linii ( AB ), ( BC ), ( CA ) trebuie să aibă un centru echidistant de aceste trei linii. Acum, setul de puncte echidistant de la două linii secante (d 1 ) și (d 2 ) formează două linii perpendiculare, alcătuite din patru jumătăți în bisecție , fiecare dintre cele patru sectoare unghiulare construite de liniile (d 1 ) și ( d 2 ), și numite bisectoare ale liniilor (d 1 ) și (d 2 ).

Dacă considerăm cele trei laturi ale triunghiului drept drepte, avem în total șase bisectoare, câte două pentru fiecare pereche de linii. Prin fiecare vârf al triunghiului, trece o bisectoare interioară (care întâlnește partea opusă a triunghiului) și o bisectoare exterioară .

Dacă o bisectoare din A întâlnește o bisectoare din B, atunci punctul de intersecție, fiind echidistant de la ( AB ) și ( AC ) și echidistant de la ( BA ) și ( BC ), este echidistant de la ( CA ) și ( CB ) și, prin urmare, aparține la una (și numai unul) din Bisectoarele de la C . Prin urmare, există patru puncte de concurență posibile.

Cazul cercului inscris . Bisectoarele interioare de la A și B se intersectează în interiorul sectoarelor unghiulare ( BAC ) și ( ABC ), adică în triunghi ( ABC ). Punctul de intersecție este așadar pe bisectoarea interioară rezultată din C și mai exact pe jumătatea liniei care bisectează sectorul unghiular ( ACB ). Punctul de intersecție este apoi centrul unui cerc tangent la cele trei laturi ale triunghiului. Este cercul inscris.

Cazul cercurilor exinscrise . Bisectoarele externe de la A și B se intersectează în sectorul unghiular ( ACB ) și, prin urmare, îndeplinesc și jumătatea liniei care bisectează unghiul ( ACB ). Intersecția este apoi centrul unui cerc tangente la segmentul [ AB ] și jumătate de linii de origine A și B , purtători ( AC ) și ( BC ) și excluzând C . Este un cerc exinscris triunghiului. Un raționament similar se poate face și pentru celelalte două perechi de bisectoare exterioare.

Notația : în acest articol, o lungimea laturii BC , b lungimea laturii AC și c lungimea laturii AB . În cele din urmă O reprezintă centrul cercului inscriptionare O A , O , B și O C trei centre excircles incluse în sectoarele unghiulare de respectiv A , B , C .

Cerc inscris

Există un singur cerc în interiorul triunghiului și tangent în același timp la cele trei laturi ale acestuia. Acest cerc este numit „ cerc inscripționat ” în interiorul triunghiului. Acesta este cel mai mare cerc pe care îl poate conține acest triunghi.

Centrul său este punctul de intersecție al bisectoarelor, este baricentrul sistemului , iar coordonatele sale triliniare față de vârfuri sunt 1: 1: 1. ${\ textstyle {\ begin {pmatrix} A & B & C \\ a & b & c \ end {pmatrix}}}$

Raza sa este egală, conform dovezii fără cuvinte opuse, cu

{\ displaystyle r = {\ frac {S} {p}} = {\ frac {2S} {a + b + c}}}

unde S denotă aria triunghiului și $p = a + b + c / 2$ jumătatea sa perimetrală .

Ținând cont de formula lui Heron , obținem:

{\ displaystyle r ^ {2} = {\ frac {(pa) (pb) (pc)} {p}} = {\ frac {(a + bc) (a-b + c) (- a + b + c) } {4 (a + b + c)}},}

care poate fi scris, prin poziționarea clasică $a = y + z$ , $b = z + x$ , $c = x + y$ :

{\ displaystyle r ^ {2} = {\ frac {xyz} {x + y + z}}}

Relația Euler dă distanța $dintre$ centrul cercului înscris în centrul cercului circumscris : $d 2 = R 2 - 2 Rr$ (cu $R$ raza cercului circumscris).

Punctul Gergonne

Să notăm respectiv T A , T B și T C punctele de contact ale cercului înscris cu laturile [ BC ], [ AC ] și [ AB ].

Pentru fiecare dintre vârfurile triunghiului, tangențele determină două segmente, de sus până la punctele de contact, de lungime egală: T C A = T B A și T A B = T C B și T A C T = B C .

Produsul raporturilor este, prin urmare, egal cu 1. ${\ frac {T_ {C} A} {T_ {C} B}} \ times {\ frac {T_ {A} B} {T_ {A} C}} \ times {\ frac {T_ {B} C} {T_ {B} A}}$

Dacă T ' A este intersecția liniilor T B T C și BC, atunci punctele T' A , B, T A și C sunt în diviziune armonică.

Conform teoremei lui Ceva aceste trei Céviennes sunt concurente într-un punct G e care se numește punctul Gergonne al triunghiului și triunghiul T A T B T C se numește triunghiul de contact (sau triunghiul Gergonne) al triunghiului ABC .

Putem cita o proprietate a unghiurilor triunghiului de contact: unghiul de la unul dintre vârfurile triunghiului Gergonne este egal cu unghiul dintre cele două bisectoare de la vârfurile triunghiului inițial care formează latura în care vârful triunghiului Gergonne .

Intersecțiile bisectoarelor și laturile triunghiului de contact fac posibilă construirea a trei linii ortogonale cu bisectoarele.

Cercuri excluse

Prin urmare, există trei cercuri exinscrise: fiecare este tangent la o singură latură a triunghiului (considerat ca un segment). Numim C Un cerc exinscribed latura ating [ CB ], C B cercul exinscribed partea mișcător [ AC ] și C C cerc exinscribed partea ating [ AB ].

Razele cercurilor exinscrise sunt respectiv ${\ displaystyle r_ {A} = {\ frac {S} {pa}}, \ quad r_ {B} = {\ frac {S} {pb}} \ quad {\ rm {et}} \ quad r_ {C } = {\ frac {S} {pc}}}$ prin urmare

${\ displaystyle {\ frac {1} {r_ {A}}} + {\ frac {1} {r_ {B}}} + {\ frac {1} {r_ {C}}} = {\ frac {p } {S}} = {\ frac {1} {r}}.}$

Centrele lor sunt baricentrele punctelor ( A , - a ), ( B , b ), ( C , c ) pentru primul, ( A , a ), ( B , - b ), ( C , c ) pentru al doilea și ( A , a ), ( B , b ), ( C , - c ) pentru al treilea.

Punctul Nagel

Se notează cu U A punctul de contact al lui C A cu [ CB ], U B punctul de contact al lui C B cu [ AC ] și U C punctul de contact al lui C C cu [ AB ].

Atunci liniile ( AU A ), ( BU B ) și ( CU C ) sunt concurente: punctul lor de intersecție N a se numește punctul Nagel al triunghiului. Noi numim triunghiul U A U B U C Nagel triunghiul triunghiului ABC .

Punctul Nagel Na , centrul cercului inscripționat I și centrul de greutate G sunt aliniate pe linia Nagel și legate de relația IN a = 3 IG . Punctul Spieker este, de asemenea, pe această linie, este centrul cercului înscris în triunghiul median.

Este posibil să se construiască în câteva secunde punctul de Nagel al unui triunghi inspirându-se dintr-o construcție care are ca rezultat cercul lui Conway.

Punctul Bevan

Liniile ( O A U A ), ( O B U B ) și ( O C U C ) sunt, de asemenea, concurente: punctul lor de intersecție B e se numește punctul Bevan al triunghiului ABC și triunghiul O A O B O C este numit triunghiul Bevan al ABC .

Punctul Bevan este simetric al centrului cercului înscris în ABC , în raport cu centrul cercului circumscris lui ABC . Punctul lui Bevan și aceste două centre sunt, prin urmare, aliniate.

Punctul Bevan este centrul cercului circumscris triunghiului Bevan.

Triunghiul Bevan și triunghiul Gergonne sunt omotetice .

Punctul Apollonius

Există un singur cerc tangent simultan celor trei cercuri exinscrise și care le conține (vezi Problema de contact ); este cercul Apollonius al triunghiului. Dacă notăm cu V A , V B și V C cele trei puncte de tangență, atunci liniile ( AV A ), ( BV B ) și ( CV C ) sunt concurente: punctul lor de intersecție A p ) se numește punctul lui Apollonius a triunghiului.

Mittenpunkt

Numim mittenpunkt al triunghiului ABC punctul de intersecție al liniilor care leagă centrele O A , O B , O C ale celor trei cercuri exinscrise punctelor medii respective ale laturilor triunghiului.

Mittenpunkt M i este situat pe linia dreaptă care leagă centrul de greutate G până la punctul de Gergonne G e cu relația M i G e = 3 M i G .

Mittenpunkt M i este situat în dreapta, conectând centrul cercului înscris la punctul Lemoine.

Mittenpunkt este, de asemenea, punctul Lemoine al triunghiului lui Bevan O A O B O C , triunghi format din bisectoarele exterioare, ale vârfurilor centrelor celor trei cercuri exinscrise.

Este centrul elipsei Mandart a triunghiului (elipsa înscrisă în triunghi și tangentă la punctele de contact ale cercurilor exinscrise U A , U B , U C ).

Punctele Feuerbach

Cele trei cercuri exinscrise și cercul inscripționat sunt tangente la cercul Euler al triunghiului ABC . Punctele de contact F e , F A e , F B e , F C e ale acestor cercuri se numesc punctele Feuerbach ale triunghiului. Acest rezultat constituie teorema lui Feuerbach.

Cele trei puncte de tangență ale cercurilor exinscrise formează triunghiul Feuerbach F A e F B e F C e al triunghiului ABC .

Fie S punctul de intersecție al liniilor AF A e , BF B e , CF C e . Apoi punctul S , centrul cercului inscris, centrul cercului Euler și punctul Feuerbach F e sunt aliniate și în diviziune armonică.

Cercul care trece prin picioarele bisectoarelor interioare ale triunghiului ABC trece și prin punctul Feuerbach F e .

Punctul Feuerbach F e este centrul de simetrie al unei hiperbole echilaterale (numită hiperbolă Feuerbach) care trece în special prin:

cele trei vârfuri ale triunghiului,
ortocentrul
centrul cercului inscris
punctul Gergonne
Punctul lui Nagel
mittenpunkt.

Punctul Feuerbach se află pe elipsa Mandart (elipsă tangentă la laturile triunghiului la punctele de contact ale cercurilor exinscrise și având pentru centru mittenpunkt).

Note și referințe

Demonstrație pe tube.geogebra.org.
Xavier Dussau, „ Construcția elementară a punctului Nagel ” , pe HAL

Sortais Yvonne și René, Geometria triunghiului , Hermann 1997 ( ISBN 978-2-7056-1429-4 )
Jean-Denis Eiden, Geometrie analitică clasică, Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN 978-2-91-635208-4 )

Vezi și tu

Articol asociat

Cerc circumscris triunghiului

Numărul Kimberling

Triplet pitagoric ; triunghiul asociat are cercuri înscrise și exinscrise foarte simple

Link extern

(ro) A. Bogomolny, „ Cercuri și cercuri într-un triunghi ” , pe Cut The Knot