Teorema lui Blichfeldt

În matematică , teorema lui Blichfeldt este următoarea teoremă , demonstrată în 1914 de Hans Blichfeldt (de) :

Fie un număr întreg $k> 0$ . În orice regiune de ℝ n de volum strict mai mare decât și în orice compact de volum , există puncte distincte ale căror diferențe sunt la coordonatele întregi . $k$ $k$ $k + 1$

Sau, care este echivalent:

Fie o rețea de ℝ n de covolum . În orice regiune de ℝ n de volum strict mai mare decât și în orice compact de volum , există puncte distincte ale căror diferențe aparțin . $\ Lambda$ $V$ ${\ displaystyle kV}$ ${\ displaystyle kV}$ $k + 1$ $\ Lambda$

O mare parte din geometria numerelor rezultă din aceasta, începând cu teorema lui Minkowski , pe care cazul este suficient pentru a o dovedi foarte repede. $k = 1$

Demonstrații

Să considerăm mai întâi o „regiune” a lui of n (care trebuie luată aici în sensul: partea Lebesgue - măsurabilă ), de „volum” (în sensul măsurii Lebesgue ) . $M$ ${\ displaystyle \ lambda _ {n} (M)> k}$

Primele două dintre cele trei dovezi de mai jos se bazează pe următoarea lemă (care, pentru , este imediată): $k = 1$

Principiul sertarelor pentru măsurători . - Să fie un spațiu măsurat și o mai numărabilă familie de părți măsurabile ale . ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$ ${\ displaystyle (N _ {\ alpha})}$ $X$

Dacă atunci există un punct aparținând cel puțin acestor părți. ${\ displaystyle \ sum _ {\ alpha} \ mu (N _ {\ alpha})> k \, \ mu (\ cup _ {\ alpha} N _ {\ alpha})}$ $X$ $k + 1$

Dovada este simplu: prin notarea indicatrix a oricărei părți a , avem , prin urmare , au funcția este strict mai mare decât cel puțin la un moment dat. ${\ displaystyle \ mathbb {1} _ {N}}$ $NU$ $X$ ${\ displaystyle \ int _ {\ cup _ {\ beta} N _ {\ beta}} \ sum _ {\ alpha} \ mathbb {1} _ {N _ {\ alpha}} \ \ mathrm {d} \ mu > \ int _ {\ cup _ {\ beta} N _ {\ beta}} k \ \ mathrm {d} \ mu}$ ${\ displaystyle \ sum _ {\ alpha} \ mathbb {1} _ {N _ {\ alpha}}}$ $k$

Cele traducerile din domeniul fundamental de vectorii cu coordonate întregi formează o partiție de ℝ n , deci intersecțiile lor cu formă o partiție . Cu toate acestea, măsura Lebesgue este invariantă prin traducere . Prin urmare: ${\ displaystyle D: = \ left [0,1 \ right [^ {n}}$ $M$ $M$ ${\ displaystyle \ sum _ {\ alpha \ in \ mathbb {Z} ^ {n}} \ lambda _ {n} (D \ cap (M- \ alpha)) = \ sum _ {\ alpha \ in \ mathbb { Z} ^ {n}} \ lambda _ {n} ((D + \ alpha) \ cap M) = \ lambda _ {n} (M)> k = k \, \ lambda _ {n} (D) \ geq k \, \ lambda _ {n} (\ cup _ {\ alpha \ in \ mathbb {Z} ^ {n}} (D \ cap (M- \ alpha))}$ .Conform principiului sertarelor, există deci cel puțin un punct și vectori distincti, cum ar fi . Cele Punctele sunt apoi distincte, iar diferențele dintre ele sunt într - adevăr la coordonate întregi, care se termină prima demonstratie. ${\ displaystyle z \ în D}$ $k + 1$ ${\ displaystyle \ alpha _ {0}, \ dots, \ alpha _ {k} \ in \ mathbb {Z} ^ {n}}$ ${\ displaystyle z \ în M- \ alpha _ {i}}$ $k + 1$ ${\ displaystyle m_ {i}: = z + \ alpha _ {i} \ în M}$ ${\ displaystyle m_ {i} -m_ {j} = \ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}}$

Să presupunem, fără pierderea generalității , că este delimitat . Considerăm un număr întreg m > 0 și cu fiecare vector α cu coordonate între 0 și m , asociem M + α tradus . Pentru δ astfel încât M este inclus în [–δ, δ] n , toate aceste traduceri sunt incluse în blocul [–δ, m + δ] n , așa cum este ilustrat în figură. Pentru m suficient de mare, avem ( m + 1) n λ n ( M )> k ( m + 2δ) n , adică: $M$ ${\ displaystyle \ sum _ {\ alpha \ in \ {0, \ dots, m \} ^ {n}} \ lambda _ {n} (M + \ alpha)> k \, \ lambda _ {n} (\ left [- \ delta, m + \ delta \ right] ^ {n}) \ geq k \, \ lambda _ {n} \ left (\ cup _ {\ alpha \ in \ {0, \ dots, m \} ^ {n}} (M + \ alfa) \ dreapta)}$ .Încheiem, ca la prima demonstrație, grație principiului sertarelor.
Această a treia demonstrație se aplică numai dacă este cubabilă . Pentru orice număr întreg , indicați numărul de puncte care aparțin . Acest număr este echivalent cu atunci , prin urmare este strict mai mare decât pentru suficient de mare. Cu toate acestea modulo , elementele numai formează clase. Unul dintre ele , prin urmare , conține cel puțin în puncte luate în considerare, și anume că acesta există , deoarece conține puncte distincte ale . Diferențele sunt în coordonate întregi, ceea ce pune capăt acestei a treia demonstrații. $M$ $r> 0$ ${\ displaystyle N_ {r}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {r}} \ mathbb {Z} ^ {n}}$ $M$ ${\ displaystyle r ^ {n} \ lambda _ {n} (M)}$ $r \ to \ infty$ ${\ displaystyle r ^ {n} k}$ $r$ $\ mathbb {Z} ^ {n}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {r}} \ mathbb {Z} ^ {n}}$ ${\ displaystyle r ^ {n}}$ $k + 1$ ${\ displaystyle N_ {r}}$ ${\ displaystyle z \ in {\ frac {1} {r}} \ mathbb {Z} ^ {n}}$ ${\ displaystyle z + \ mathbb {Z} ^ {n}}$ $k + 1$ ${\ displaystyle m_ {0} = z + \ alpha _ {0}, \ dots, m_ {k} = z + \ alpha _ {k}}$ $M$ ${\ displaystyle m_ {i} -m_ {j} = \ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}}$

Acum, ia în considerare un volum compact . Conform celor de mai sus, pentru orice întreg , există un tuplu , cum ar fi , . Secvența (cu valori în produsul compact ) are o valoare de aderență , care este, de asemenea, o valoare de aderență de . Căci , deci aparține închisului . $M$ $k$ $t> 0$ $(k + 1)$ ${\ displaystyle m_ {t} = \ left (1 + {\ frac {1} {t}} \ right) p_ {t} \ in \ left (1 + {\ frac {1} {t}} \ right) M ^ {k + 1}}$ $i \ ne j$ ${\ displaystyle m_ {t, i} -m_ {t, j} \ in \ mathbb {Z} ^ {n} \ setminus \ {0 \}}$ ${\ displaystyle (p_ {t}) _ {t \ in \ mathbb {N} ^ {*}}}$ ${\ displaystyle M ^ {k + 1}}$ ${\ displaystyle p \ în M ^ {k + 1}}$ ${\ displaystyle (m_ {t}) _ {t \ in \ mathbb {N} ^ {*}}}$ $i \ ne j$ ${\ displaystyle p_ {i} -p_ {j}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n} \ setminus \ {0 \}}$

Note și referințe

(în) HF Blichfeldt, „ Un nou principiu în geometria numerelor, cu unele aplicații ” , Trans. Amar. Matematica. Soc. , vol. 15,1914, p. 227-235 ( citiți online ).
(în) John WS Cassels , Introducere în geometria numerelor , Springer ,1971( 1 st ed. 1959) ( linia citit ) , p. 69.
(ro) Jesús A. De Loera, Raymond Hemmecke și Matthias Köppe, Idei algebrice și geometrice în teoria optimizării discrete , SIAM ,2013( citiți online ) , p. 41-42.
(în) Carl Douglas Olds , Anneli Lax și Giuliana Davidoff, Geometria numerelor , MAA ,2000, 174 p. ( citește online ) , cap. 9 („Un nou principiu în geometria numerelor”) , p. 119 : „ Meritul pentru această descoperire revine lui Hans Frederik Blichfeldt, care în 1914 a publicat o teoremă din care urmează o mare parte din geometria numerelor ” .
(în) Pascale Gruber și Cornelis Gerrit Lekkerkerker , Geometry of Numbers , Wolters-Noordhoff și North-Holland,1987, A 2 -a ed. ( 1 st ed. , 1969, 510 p.), 731 p. ( citiți online ) , p. 42-43.
(în) Pete L. Clark, „ Geometria numerelor cu aplicații la teoria numerelor ” , din 2011 până în 2012 , Propunerea 5.9, p. 30 .
Cazul teoremei lui Blichfeldt este astfel demonstrat în (en) Carl Douglas Olds, Anneli Lax și Giuliana Davidoff, The Geometry of Numbers , MAA , ${\ displaystyle k = 1, n = 2}$ 2000, 174 p. ( citiți online ) , p. 69-73.
Gruber și Lekkerkerker 1987 , p. 48.
Cassels 1971 , p. 70.