Funcția caracteristică (teoria mulțimilor)
În matematică , o funcție caracteristică sau indicator de funcție este o funcție definită pe un set E ceea ce explică de membru sau nu un subset F de E oricărui element de E .
În mod formal, funcția caracteristică a unui subset F al unui set E este o funcție:
χF:E⟶{0,1}X⟼{1 dacă X ∈ F0 dacă X ∉ F{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ chi _ {F}: E & \ longrightarrow & \ {0.1 \} \\ x & \ longmapsto & \ left \ {{\ begin {matrix} 1 \ {\ mbox {si}} \ x \ \ in \ F \\ 0 \ {\ mbox {si}} \ x \ \ notin \ F \ end {matrix}} \ right. \ end {array}}}
Alte notații utilizate adesea pentru funcția caracteristică a lui F sunt 1 F și ? F , sau chiar I ( majuscule i ).
Termenul funcție indicator este uneori folosit pentru funcția caracteristică. Această denumire evită confuzia cu funcția caracteristică utilizată în probabilitate, dar induce o alta, cu funcția indicator în analiza convexă .
(Notă: funcția 1 F poate desemna și funcția de identitate ).
Proprietăți
Dacă A și B sunt două subseturi ale lui E atunci
(LA⊆B) ⇔ (χLA≤χB){\ displaystyle \ left (A \ subseteq B \ right) \ \ Leftrightarrow \ \ left (\ chi _ {A} \ leq \ chi _ {B} \ right)}
și
χLA¯=1-χLA,χLA∩B=min{χLA,χB}=χLA×χB,χLA∪B=max{χLA,χB}=χLA+χB-χLA×χB,χLA△B=χLA+χB-2χLA×χB.{\ displaystyle {\ begin {align} \ chi _ {\ overline {A}} & = 1- \ chi _ {A}, \\\ chi _ {A \ cap B} & = \ min \ {\ chi _ {A}, \ chi _ {B} \} = \ chi _ {A} \ times \ chi _ {B}, \\\ chi _ {A \ cup B} & = \ max \ {{\ chi _ { A}, \ chi _ {B}} \} = \ chi _ {A} + \ chi _ {B} - \ chi _ {A} \ times \ chi _ {B}, \\\ chi _ {A \ triunghi B} & = \ chi _ {A} + \ chi _ {B} -2 \ chi _ {A} \ times \ chi _ {B}. \ end {align}}}
Aplicația
χ:P(E)→{0,1}E,LA↦χLA{\ displaystyle \ chi: {\ mathcal {P}} (E) \ to \ {0,1 \} ^ {E}, \ quad A \ mapsto \ chi _ {A}}este o bijecție , de la mulțimea subseturilor lui EP(E){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (E)} la mulțimea {0, 1} E a mapărilor de la E la {0, 1} .
Bijectie inversă este aplicația
{0,1}E→P(E),f↦f-1({1}){\ displaystyle \ {0,1 \} ^ {E} \ to {\ mathcal {P}} (E), \ quad f \ mapsto f ^ {- 1} (\ {1 \})},
unde f −1 ({1}) denotă imaginea reciprocă de f a singletonului {1} , adică partea lui E formată din elementele x astfel încât f ( x ) = 1 .
Continuitate
Dacă F este o parte a unui spațiu topologic E și dacă perechea {0, 1} este dotată cu topologia discretă (care este topologia indusă de topologia obișnuită a lui ℝ ), setul de puncte ale lui E la care funcția χ F : e → {0, 1} este discontinuă este granița dintre F .
Exemplu
E = ℝ și F =
ℚ
χ ℚ : ℝ → {0, 1} este funcția care asociază 1 cu orice rațional și 0 cu orice
irațional .
Funcția
Dirichlet :
ℝ → ℝ este definită în același mod (cu alte cuvinte:
corestricția sa la
{0, 1} este
χ ℚ ).
În ℝ, frontiera lui ℚ este ℝ (deoarece
ℚ și ℝ \ ℚ sunt dense în ℝ ) deci
χ ℚ este discontinuă peste tot.
Prin urmare, funcția Dirichlet este, de asemenea, discontinuă peste tot.
Măsurabilitate
Dacă ( E , Ω) este un spațiu măsurabil (adică dacă Ω este un trib pe E ), o parte din E este un set măsurabil (adică aparține acestui trib) dacă și numai dacă indicatorul său este o funcție măsurabilă .
Vezi și tu
Articole similare
Bibliografie
-
(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia în limba engleză intitulat „ Indicator function ” (a se vedea lista autorilor ) .
-
(în) Gerald Folland (în) , Analiza reală: tehnici moderne și aplicațiile lor , ediția a II- a John Wiley & Sons , 1999
-
(ro) Thomas H. Cormen , Charles E. Leiserson , Ronald L. Rivest și Clifford Stein , Introducere în algoritmi , MIT Press și McGraw-Hill ,2001, A 2 -a ed. [ detaliul ediției ], § 5.2: Variabile aleatoare ale indicatorului, p. 94-99
-
(ro) Martin Davis (ed.), The Undecidable , Raven Press Books, New York, 1965
-
(ro) Stephen Cole Kleene (1952), Introducere în metamatematică , Wolters-Noordhoff și Olanda de Nord, Olanda, ed. a 6- a . corectat, 1971
-
(în) George Boolos , John P. Burgess și Richard Jeffrey (în) , Computabilitate și logică , Cambridge University Press , 2002 ( ISBN 978-0-521-00758-0 )
- (ro) Lotfi Zadeh , „ Fuzzy sets ” , Information and Control , vol. 8,1965, p. 338-353 ( citiți online )
-
(ro) Joseph Goguen (ro) , „ L -fuzzy sets”, Journal of Mathematical Analysis and Applications , vol. 18, 1967, p. 145-174
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">