Structură fină

În fizica atomică , structura fină descrie divizarea liniilor spectrale ale unei particule. Detectabilă prin spectroscopie la rezoluție spectrală înaltă , structura fină este un efect de origine relativistă a cărui expresie corectă este dedusă din ecuația relativistă pentru particulele de spin 1/2: ecuația Dirac .

Liniile dense observate în spectre sunt prezise prin studierea energiei de interacțiune dintre electron și proton fără a lua în considerare spinul și efectele relativiste ale electronului. Pentru atomii hidrogenoizi, energia depinde doar de numărul cuantic principal n, iar Hamiltonianul nerelativist este scris:

${\ displaystyle H_ {o} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + V (R)}$ .

Modelul luând în considerare efectele relativiste face posibilă corectarea acestei energii, eliminarea parțială a degenerării nivelului de energie și separarea liniilor spectrale.

Structura fină este descrisă de structura fină Hamiltoniană H f conținând trei termeni corecți:

${\ displaystyle H_ {f} = H_ {r} + H_ {d} + H_ {so}}$ ;

H r ia în calcul corecția relativistică a masei electronului;
H d este termenul lui Darwin datorat efectului zitterbewegung al electronului: acesta din urmă simte câmpul electric nuclear mediu pe o regiune și nu într-un mod punctual;
H la fel este și termenul de spin-orbită care rezultă din cuplarea dintre momentul magnetic de spin al electronului și câmpul magnetic generat de rotația electronului în jurul nucleului ( moment magnetic orbital ).

Hamiltonianul total este deci:

${\ displaystyle H = H_ {o} + H_ {f}}$ .

Descoperirea structurii fine a hidrogenului atomic a câștigat Premiul Nobel pentru fizică lui Willis Eugene Lamb în 1955 .

Corecție relativistă a energiei cinetice

În cazul clasic, se scrie termenul de energie cinetică al hamiltonianului nerelativist

{\ displaystyle E_ {c} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}

care este cantitatea de mișcare și masa electronului. $p$ $m$

În relativitatea specială , energia cinetică a unei particule de masă este scrisă: $m$

${\ displaystyle E_ {c} = {\ sqrt {p ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4}}} - mc ^ {2}}$ ${\ displaystyle = mc ^ {2} \ left [{\ sqrt {1 + {\ frac {p ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}}}} - 1 \ right]}$ .

Pentru particule relativiste (slabit , ceea ce este echivalent cu p << mc ), putem „cut“ , a expansiunii limitate in de paranteza la ordinul al doilea (adică la sfârșitul anului în ): ${\ displaystyle {\ frac {p ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}} << 1}$ ${\ displaystyle {\ frac {p ^ {2}} {2m ^ {2} c ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {p ^ {4}} {m ^ {4} c ^ {4}}}}$

${\ displaystyle E_ {c} \ approx mc ^ {2} \ left ({\ frac {p ^ {2}} {2m ^ {2} c ^ {2}}} - {\ frac {p ^ {4} } {8m ^ {4} c ^ {4}}} \ dreapta)}$ , care este echivalent cu . ${\ displaystyle E_ {c} \ approx {\ frac {p ^ {2}} {2m}} - {\ frac {p ^ {4}} {8m ^ {3} c ^ {2}}}}$

În prima ordine după termenul clasic, termenul de corecție H r merită, prin urmare:

${\ displaystyle H_ {r} = - {\ frac {p ^ {4}} {8m ^ {3} c ^ {2}}}}$ .

Pornind de la Hamiltonianul soluției nerelativiste H 0 a statelor proprii ale energiei E n , ${\ displaystyle \ psi _ {nlm_ {l}}}$

{\ displaystyle H = H_ {0} - {\ frac {1} {2mc ^ {2}}} (H_ {0} -V) ^ {2}}

unde V reprezintă potențialul, teoria perturbațiilor face posibilă scrierea:

{\ displaystyle \ Delta E_ {nlm_ {l}} ^ {\ mathrm {rel}} = - {\ frac {1} {2mc ^ {2}}} \ left \ langle \ psi _ {nlm_ {l}} | (H_ {0} -V) ^ {2} | \ psi _ {nlm_ {l}} \ right \ rangle}

Asa de :

{\ displaystyle \ Delta E_ {nlm_ {l}} ^ {\ mathrm {rel}} = - {\ frac {1} {2mc ^ {2}}} \ left (E_ {n} ^ {2} -2E_ { n} \ langle \ psi _ {nlm_ {l}} | V | \ psi _ {nlm_ {l}} \ rangle + \ langle \ psi _ {nlm_ {l}} | V ^ {2} | \ psi _ { nlm_ {l}} \ rangle \ right)}

În cazul unui hidrogenoid , potențialul este Coulomb, iar statele proprii netulburate sunt armonici sferice . Expresia de mai sus devine:

{\ displaystyle \ Delta E_ {nlm_ {l}} ^ {\ mathrm {rel}} = - {\ frac {(Z \ alpha) ^ {2}} {n}} \ left ({\ frac {1} { l + 1/2}} - {\ frac {3} {4n}} \ right) | E_ {n} |}

Cuplare spin-orbită

Originea termenului perturbativ

Cele relativiste mecanica cuantică arată, printre altele, faptul că electronii posedă de spin. Acest lucru generează un moment magnetic de rotire

{\ displaystyle {\ vec {M_ {s}}} = {\ frac {q} {m_ {e}}} {\ vec {S}}}

Pe măsură ce electronul se mișcă într-un mediu în care există un câmp electric creat de sarcinile nucleului și a altor electroni , conform relativității speciale , electronul , în cadrul său de referință, percepe un câmp magnetic numit câmp emoțional:

{\ displaystyle {\ vec {B '}} = - {\ frac {{\ vec {v}} \ wedge {\ vec {E}}} {c ^ {2}}}}

Prin urmare, energia asociată cu această interacțiune este

{\ displaystyle W_ {so} = - {\ vec {M_ {s}}} \ cdot {\ vec {B '}}}

Deoarece cadrul de referință al electronului este rotativ și nu galilean , calculul câmpului emoțional necesită efectuarea a două modificări ale cadrului de referință (una în traducere și una în rotație). Calculul făcut de Thomas dă

{\ displaystyle W_ {so} = {\ frac {1} {2m_ {e} ^ {2} c ^ {2}}} {\ frac {1} {r}} {\ frac {{\ mathrm {d} } V} {{\ mathrm {d}} r}} {\ vec {L}} \ cdot {\ vec {S}}}

cu momentul cinetic al electronului în jurul nucleului și impulsul de rotație a electronului . ${\ vec {L}}$ ${\ vec {S}}$

Este obișnuit să notăm acest termen

{\ displaystyle W_ {so} = \ xi (r) {\ vec {L}} \ cdot {\ vec {S}} {{\ textrm {~}} ~ with ~~} \ xi (r) = {\ frac {1} {2m_ {e} ^ {2} c ^ {2}}} {\ frac {1} {r}} {\ frac {{\ mathrm {d}} V} {{\ mathrm {d} } r}}}

ceea ce face posibilă evidențierea termenului pur radial.

Calcul în perturbare

Presupunând că acest termen aduce o contribuție slabă la energie în comparație cu termenul principal , acesta poate fi tratat ca o perturbare. Dar mai întâi, trebuie remarcat faptul că termenul nu se schimbă cu și . Prin urmare, este esențial să se găsească un nou set complet de observabile de navetă (ECOC). Pentru a face acest lucru, impulsul unghiular total $H_0$ ${\ displaystyle {\ vec {L}} \ cdot {\ vec {S}}}$ ${\ vec {L}}$ ${\ vec {S}}$

{\ displaystyle {\ vec {J}} ~ {\ stackrel {\ textrm {def}} {=}} \ sum {\ vec {L}} ~~ \ Leftrightarrow ~~ {\ vec {J}} = {\ vec {L}} + {\ vec {S}}}

este folosit în locul fiecărui moment unghiular și noul ECOC devine . Baza vectorilor proprii comuni devine apoi cu . Rezultă ${\ displaystyle H, L ^ {2}, S ^ {2}, J ^ {2}, J_ {z}}$ ${\ displaystyle \ left | \ psi _ {nlsjm_ {j}} \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle m_ {j} = m_ {l} + m_ {s}}$

{\ displaystyle J ^ {2} = L ^ {2} + S ^ {2} +2 {\ vec {L}} \ cdot {\ vec {S}} ~~ \ Leftrightarrow ~~ {\ vec {L} } \ cdot {\ vec {S}} = {\ frac {1} {2}} \ left (J ^ {2} -L ^ {2} -S ^ {2} \ right)}

de unde

{\ displaystyle W_ {so} = {\ frac {1} {2}} \ xi (r) \ left (J ^ {2} -L ^ {2} -S ^ {2} \ right)}

Teoria perturbațiilor face posibilă pentru a scrie:

{\ displaystyle \ Delta E_ {nlsj} ^ {so} = {\ frac {1} {2}} \ left \ langle \ psi _ {nlsjm_ {j}} \ left | \ xi (r) \ left (J ^ {2} -L ^ {2} -S ^ {2} \ right) \ right | \ psi _ {nlsjm_ {j}} \ right \ rangle}

Întrebând

{\ displaystyle {\ frac {A_ {nl}} {\ hbar ^ {2}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left | R_ {nl} \ right | ^ {2} \ xi ( r) r ^ {2} {\ mathrm {d}} r}

rezultatul este:

{\ displaystyle \ Delta E_ {nlsj} ^ {so} = {\ frac {A_ {nl}} {2}} \ left [j (j + 1) -l (l + 1) -s (s + 1) \ dreapta]}

Exemplu cu alcalii

Aici atunci . $s = 1/2$ ${\ displaystyle s (s + 1) = 3/4}$

Fie , apoi de unde . $l = 0$ ${\ displaystyle j = s}$ ${\ displaystyle \ Delta E_ {nlsj} ^ {so} = 0}$
Fie , atunci: l≠0{\ displaystyle l \ neq 0} ${\ displaystyle l \ neq 0}$
- ${\ displaystyle j = l + {\ frac {1} {2}}}$ prin urmare ; ${\ displaystyle \ Delta E_ {nlsj} ^ {so} = {\ frac {A_ {nl}} {2}} \ times l}$
- ${\ displaystyle j = l - {\ frac {1} {2}}}$ de aceea . ${\ displaystyle \ Delta E_ {nlsj} ^ {so} = - {\ frac {A_ {nl}} {2}} \ times (l + 1)}$

Cu excepția straturilor S, există o ridicare parțială a degenerării nivelurilor de energie. Acest lucru are ca rezultat o dublare a acestor niveluri (exemplu de sodiu care are o dublare a liniei galbene de emisie în două linii, respectiv la 589,0 nm și 589,6 nm ).

Baricentrul nivelurilor nu este mutat.

Vezi și tu

Articole similare

Bibliografie

(fr) C. Cohen-Tannoudji , B. Diu și F. Laloë , Mecanica cuantică [ detaliul ediției ], t. II, p. 958
(ro) Randal C. Telfer, Tot ce ai vrut mereu să știi despre atomul de hidrogen (Dar ți-a fost frică să întrebi) pe site-ul Departamentului de Fizică și Astronomie de la Universitatea Johns Hopkins, 2006 [ citește online ]

Note și referințe

Formula poate fi obținută empiric prin extinderea la primul ordin a energiei cinetice date de relativitatea specială E = [ p 2 c 2 + m 2 c 4 ] 1/2 - mc 2 . O derivare coerentă în contextul fizicii cuantice se face din ecuația Dirac .
Calculul efectuat în aproximarea unui cadru de referință galilean dă un rezultat eronat al unui factor ${\ frac {1} {2}}$
Aici alegerea în comparație cu celelalte coordonate este pur arbitrară și nu are nicio influență asupra rezultatului calculului. ${\ displaystyle J_ {z}}$