Zitterbewegung

Zitterbewegung (care poate fi tradus din germană prin „tremurând de mișcare“) este un fenomen fizic micro-oscilații ale unui soliton , descoperit de Erwin Schrödinger în 1930 , în cadrul mecanicii cuantice .

Examinată în cadrul teoriei relativității , ea dă naștere paradoxului Klein .

Se presupune că explică rotirea și momentul magnetic al electronului .

General

O cuantică observabilă în reprezentarea Schrödinger corespunde unei observabile în reprezentarea Heisenberg . Când operatorul hamiltonian este independent de timp și când , observabilele și sunt legate ca: LA^S(t){\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {S}} (t)}LA^H(t){\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t)} H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}LA^H(t0)=LA^S(t0){\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t_ {0}) = {\ hat {A}} _ {\ rm {S}} (t_ {0})}LA^S(t){\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {S}} (t)}LA^H(t){\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t)}

LA^H(t)=eeu(t-t0)H^/ℏLA^S(t)e-eu(t-t0)H^/ℏ{\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t) = e ^ {i (t-t_ {0}) {\ hat {H}} / \ hbar} {\ hat {A }} _ {\ rm {S}} (t) e ^ {- i (t-t_ {0}) {\ hat {H}} / \ hbar}}

Derivata în timp a este dată de ecuația Heisenberg: LA^H(t){\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t)}

dLA^H(t)dt=euℏ[H^,LA^H(t)]+(∂LA^S(t)∂t)H{\ displaystyle {\ frac {d {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t)} {dt}} = {\ frac {i} {\ hbar}} \ left [{\ hat { H}}, {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t) \ right] + \ left ({\ frac {\ partial {\ hat {A}} _ {\ rm {S}} (t)} {\ partial t}} \ right) _ {\ rm {H}}}

Derivarea matematică a zitterbewegung

Luați în considerare ecuația Dirac a unei particule libere:

euℏ∂ψ∂t(X,t)=(mvs.2α0-euℏvs.∑j=13αj∂∂Xj)ψ(X,t){\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} (\ mathbf {x}, t) = \ left (mc ^ {2} \ alpha _ {0} -i \ hbar c \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ alpha _ {j} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \, \ right) \ psi (\ mathbf {x}, t) }

Poate fi scris ca o ecuație Schrödinger  :

euℏ∂ψ∂t(X,t)=H^ψ(X,t){\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} (\ mathbf {x}, t) = {\ hat {H}} \ psi (\ mathbf {x}, t)}

unde este operatorul hamiltonian al ecuației Dirac: H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}

H^=mvs.2α0+vs.∑j=13αjp^j{\ displaystyle {\ hat {H}} = mc ^ {2} \ alpha _ {0} + c \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ alpha _ {j} {\ hat {p}} _ {j}}

Relațiile de comutații dintre operatorii de impuls, poziție, hamiltonieni și cei sunt: αj{\ displaystyle \ alpha _ {j}}

[q^j,p^k]=euℏδjk{\ displaystyle [{\ hat {q}} _ {j}, {\ hat {p}} _ {k}] = i \ hbar \ delta _ {jk}} [H^,p^j]=0{\ displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {p}} _ {j}] = 0} [H^,q^j]=-euℏvs.αj{\ displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {q}} _ {j}] = - i \ hbar c \ alpha _ {j}} [H^,α^j]=2(vs.p^j-αjH^){\ displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {\ alpha}} _ {j}] = 2 (c {\ hat {p}} _ {j} - \ alpha _ {j} {\ hat {H}})} [q^j,α^k]=0{\ displaystyle [{\ hat {q}} _ {j}, {\ hat {\ alpha}} _ {k}] = 0} [p^j,α^k]=0{\ displaystyle [{\ hat {p}} _ {j}, {\ hat {\ alpha}} _ {k}] = 0}

Acum trecem la reprezentarea lui Heisenberg, prezentând:

pj(t): =(p^j)H{\ displaystyle p_ {j} (t): = ({\ hat {p}} _ {j}) _ {\ rm {H}}} qj(t): =(q^j)H{\ displaystyle q_ {j} (t): = ({\ hat {q}} _ {j}) _ {\ rm {H}}} H(t): =(H^)H{\ displaystyle H (t): = ({\ hat {H}}) _ {\ rm {H}}} αj(t): =(αj)H{\ displaystyle \ alpha _ {j} (t): = (\ alpha _ {j}) _ {\ rm {H}}}

Evoluția lor temporală este dată de ecuația Heisenberg:

ddtpj(t)=euℏ[H^,p^j]H=0{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} p_ {j} (t) = {\ frac {i} {\ hbar}} [{\ hat {H}}, {\ hat {p}} _ { j}] _ {\ rm {H}} = 0} ddtqj(t)=euℏ[H^,q^j]H=(vs.αj)H=vs.αj(t){\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} q_ {j} (t) = {\ frac {i} {\ hbar}} [{\ hat {H}}, {\ hat {q}} _ { j}] _ {\ rm {H}} = (c \ alpha _ {j}) _ {\ rm {H}} = c \ alpha _ {j} (t)} ddtH(t)=0{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} H (t) = 0} ddtαj(t)=euℏ[H^,αj]H=2euℏ(vs.pj(t)-αj(t)H(t)){\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ alpha _ {j} (t) = {\ frac {i} {\ hbar}} [{\ hat {H}}, \ alpha _ {j}] _ {\ rm {H}} = {\ frac {2i} {\ hbar}} (cp_ {j} (t) - \ alpha _ {j} (t) H (t))}

Deoarece și sunt constante, putem scrie mai simplu: pj=pj(t){\ displaystyle p_ {j} = p_ {j} (t)}H=H(t){\ displaystyle H = H (t)}

ddtαj(t)=2euℏ(vs.pj-αj(t)H){\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ alpha _ {j} (t) = {\ frac {2i} {\ hbar}} (cp_ {j} - \ alpha _ {j} (t) H )}}

Prin integrare găsim: αj(t){\ displaystyle \ alpha _ {j} (t)}

αj(t)=vs.pjH-1+(αj-vs.pjH-1)e-2eu(t-t0)H/ℏ{\ displaystyle \ alpha _ {j} (t) = cp_ {j} H ^ {- 1} + \ left (\ alpha _ {j} -cp_ {j} H ^ {- 1} \ right) e ^ { -2i (t-t_ {0}) H / \ hbar}}

unde . Prin urmare, operatorul de viteză devine: αj=αj(t0){\ displaystyle \ alpha _ {j} = \ alpha _ {j} (t_ {0})}

vj(t)=ddtqj(t)=vs.αj(t)=vs.2pjH-1+vs.(αj-vs.pjH-1)e-2eu(t-t0)H/ℏ{\ displaystyle v_ {j} (t) = {\ frac {d} {dt}} q_ {j} (t) = c \ alpha _ {j} (t) = c ^ {2} p_ {j} H ^ {- 1} + c \ left (\ alpha _ {j} -cp_ {j} H ^ {- 1} \ right) e ^ {- 2i (t-t_ {0}) H / \ hbar}}

Prin integrare găsim: vj(t){\ displaystyle v_ {j} (t)}

qj(t)=qj(t0)+(t-t0)vs.2pjH-1+euℏvs.2(αj-vs.pjH-1)H-1(e-2eu(t-t0)H/ℏ-1){\ displaystyle q_ {j} (t) = q_ {j} (t_ {0}) + (t-t_ {0}) c ​​^ {2} p_ {j} H ^ {- 1} + {\ frac {i \ hbar c} {2}} \ left (\ alpha _ {j} -cp_ {j} H ^ {- 1} \ right) H ^ {- 1} \ left (e ^ {- 2i (t -t_ {0}) H / \ hbar} -1 \ dreapta)}

Discuţie

Viteza operatorului:

v→(t)=vs.2p→H-1+vs.(α→-vs.p→H-1)e-2eu(t-t0)H/ℏ{\ displaystyle {\ vec {v}} (t) = c ^ {2} {\ vec {p}} H ^ {- 1} + c \ left ({\ vec {\ alpha}} - c {\ vec {p}} H ^ {- 1} \ dreapta) e ^ {- 2i (t-t_ {0}) H / \ hbar}}

se împarte în două componente: o componentă constantă:

vs.2p→H-1{\ displaystyle c ^ {2} {\ vec {p}} H ^ {- 1}}

și o componentă oscilatorie:

vs.(α→-vs.p→H-1)e-2eu(t-t0)H/ℏ{\ displaystyle c \ left ({\ vec {\ alpha}} - c {\ vec {p}} H ^ {- 1} \ right) e ^ {- 2i (t-t_ {0}) H / \ hbar }}

Această mișcare oscilatorie se numește Zitterbewegung . Frecvența unghiulară a acestui oscilație este . Cu alte cuvinte, găsim energia curată a modului fundamental al unui oscilator armonic cuantic  : ω=2E/ℏ{\ displaystyle \ omega = 2E / \ hbar}

E=ℏω2{\ displaystyle E = {\ frac {\ hbar \ omega} {2}}}

Folosind egalitatea , găsim în special o lungime de undă: E=mvs.2{\ displaystyle E = mc ^ {2}}

λ=2πvs.ω=12hmvs.=λVS2{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {2 \ pi c} {\ omega}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {h} {mc}} = {\ frac {\ lambda _ { \ rm {C}}} {2}}}

unde este lungimea de undă Compton . λVS=h/mvs.{\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {C}} = h / mc}

Interpretarea acestui rezultat a dat naștere la explicarea mai multor fenomene .

Note și referințe

1. (în) Kiyoshi Nishikawa, Sisteme cuantice în chimie și fizică: Progrese în metode și aplicații , Dordrecht, Springer,2012, 572  p. ( ISBN  978-94-007-5297-9 ) , p.  29-35
2. (în) David Hestenes, „  Interpretarea zitterbewegung a mecanicii cuantice  ” , Fundamentele fizicii ,Octombrie 1990, p.  1213–1232 ( ISSN  0015-9018 )

linkuri externe

• (en) Die Zitterbewegungs-Interpretation der Quanten-Mechanik , eine alternative Erklärung über die Interferenz der pozitiv und negativen Energiezustände hinaus.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">