Formula lui Perron
În matematică și mai ales în teoria numerelor analitice , formula lui Perron este o formulă a lui Oskar Perron pentru a calcula funcția de însumare ( ) a unei funcții aritmetice , prin intermediul unei transformări Mellin inverse a seriei Dirichlet asociate.
LA(X)=∑nu≤X⋆la(nu){\ displaystyle A (x) = {\ sum _ {n \ leq x}} ^ {\ star} a (n)}
Formula lui Perron
Fie ( a ( n )) n ∈ℕ * o funcție aritmetică și
LA(X)=∑nu≤X⋆la(nu),{\ displaystyle A (x) = {\ sum _ {n \ leq x}} ^ {\ star} a (n),}
unde steaua de pe simbolul însumării indică faptul că ultimul termen ar trebui să fie înmulțit cu 1/2 când x este un număr întreg.
Presupunem că seria clasică Dirichlet
f(s)=∑nu=1∞la(nu)nus{\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a (n)} {n ^ {s}}}}
admite o coordonată x a convergenței simple finite σ c .
Apoi, formula lui Perron este: pentru toate realele c > max (0, σ c ) și x > 0,
LA(X)=12πeu∫vs.-eu∞vs.+eu∞f(s)Xss ds,{\ displaystyle A (x) = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ int _ {c- \ mathrm {i} \ infty} ^ {c + \ mathrm {i} \ infty } f (s) {\ frac {x ^ {s}} {s}} ~ \ mathrm {d} s,}
unde integralul este semi-convergent pentru x nu întreg și converge în valoarea principală pentru x întreg.
Formula lui Perron pentru o serie generală de Dirichlet
Pentru o serie generală Dirichlet, de formă
f(s)=∑nu=1∞la(nu)e-λnus,{\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a (n) e ^ {- \ lambda _ {n} s},}
avem, de asemenea, pentru toate numerele reale c > max (0, σ c ) și y ∊] λ n , λ n + 1 [ ,
∑k=1nula(k)=12πeu∫vs.-eu∞vs.+eu∞f(s)esys ds.{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a (k) = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ int _ {c- \ mathrm {i} \ infty } ^ {c + \ mathrm {i} \ infty} f (s) {\ frac {e ^ {sy}} {s}} ~ \ mathrm {d} s.}
Formule eficiente
Prima formulă Perron eficientă
Fie pentru , abscisa convergenței absolute finite .
f(s)=∑nu=1∞la(nu)nus{\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a (n)} {n ^ {s}}}}σ>σvs.{\ displaystyle \ sigma> \ sigma _ {c}}σla{\ displaystyle \ sigma _ {a}}
Deci avem, dacă X≥1,T≥1,vs.>max(0,σla),{\ displaystyle x \ geq 1, T \ geq 1, c> \ max (0, \ sigma _ {a}),}
∑nu≤Xla(nu)=12euπ∫vs.-euTvs.+euTf(tu)Xtutudtu+O(Xvs.∑nu≥1|lanu|nuvs.(1+T|ln(X/nu)|)).{\ displaystyle \ sum _ {n \ leq x} a (n) = {\ frac {1} {2i \ pi}} \ int _ {c-iT} ^ {c + iT} f (u) {\ frac {x ^ {u}} {u}} \; du + O \ left (x ^ {c} \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {| a_ {n} |} {n ^ {c} (1 + T | \ ln (x / n) |)}} \ dreapta).}
A doua formulă Perron eficientă
Fie pentru , să fie abscisa convergenței absolute finite și unde pentru o funcție
crescândă (în sens larg).
f(s)=∑nu=1∞la(nu)nus{\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a (n)} {n ^ {s}}}}σ>σvs.{\ displaystyle \ sigma> \ sigma _ {c}}σla{\ displaystyle \ sigma _ {a}}|lanu|≤ψ(nu),{\ displaystyle | a_ {n} | \ leq \ psi (n),}ψ(nu){\ displaystyle \ psi (n)}
Mai mult, presupunem că, pentru un număr real ,
α≥0{\ displaystyle \ alpha \ geq 0}
∑nu=0∞|la(nu)|nuσ=O(1(σ-σla)α){\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {| a (n) |} {n ^ {\ sigma}}} = O \ left ({\ frac {1} {(\ sigma - \ sigma _ {a}) ^ {\ alpha}}} \ right)} cand
σla<σ≤σla+1.{\ displaystyle \ sigma _ {a} <\ sigma \ leq \ sigma _ {a} +1.}
Deci avem, dacă X≥2,T≥2,σ≤σla,vs.: =σla-σ+1/lnX,{\ displaystyle x \ geq 2, T \ geq 2, \ sigma \ leq \ sigma _ {a}, c: = \ sigma _ {a} - \ sigma + 1 / \ ln x,}
∑nu≤Xla(nu)nus=12euπ∫vs.-euTvs.+euTf(tu+s)Xtutudtu+O(Xσla-σ(lnX)αT+ψ(2X)Xσ(1+XlnTT)).{\ displaystyle \ sum _ {n \ leq x} {\ frac {a (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {1} {2i \ pi}} \ int _ {c-iT} ^ {c + iT} f (u + s) {\ frac {x ^ {u}} {u}} \; du + O \ left (x ^ {\ sigma _ {a} - \ sigma} {\ frac {(\ ln x) ^ {\ alpha}} {T}} + {\ frac {\ psi (2x)} {x ^ {\ sigma}}} \ left (1 + x {\ frac {\ ln T} {T}} \ right) \ right).}
Dovezi
Pentru cele trei formule referitoare la seria clasică Dirichlet, pornim de la următoarea lema stabilită prin calcularea reziduurilor.
Lăsați funcția să fie egal cu 0 peste intervalul [0,1 [1 pe intervalul de x > 1 (și 1/2 pentru x = 1). Apoi, pentru toate c, T, T ' > 0:
h(X){\ displaystyle h (x)}
∀X≠1|h(X)-12euπ∫vs.-euT′vs.+euTXtutu dtu|≤Xvs.2π|lnX|(1T+1T′),{\ displaystyle \ forall x \ neq 1 \ quad \ left | h (x) - {\ frac {1} {2i \ pi}} \ int _ {c-iT '} ^ {c + iT} {\ frac { x ^ {u}} {u}} ~ \ mathrm {d} u \ right | \ leq {\ frac {x ^ {c}} {2 \ pi | \ ln x |}} \ left ({\ frac { 1} {T}} + {\ frac {1} {T '}} \ dreapta),}
|h(1)-12euπ∫vs.-euTvs.+euT1tu dtu|≤vs.T+vs..{\ displaystyle \ left | h (1) - {\ frac {1} {2i \ pi}} \ int _ {c-iT} ^ {c + iT} {\ frac {1} {u}} ~ \ mathrm {d} u \ right | \ leq {\ frac {c} {T + c}}.} "
Apoi rămâne să se înmulțească și să se adauge .
lanu/nus{\ displaystyle a_ {n} / n ^ {s}}nu{\ displaystyle n}
O dovadă a formulei Perron pentru o serie Dirichlet clasice constă în primul rând aplicarea acestei Lema atunci când c este strict mai mare decât abscisa de convergență absolută σ un al seriei. Dacă avem doar c > σ c , atunci c + 1> σ a și teorema integrală a lui Cauchy ne permite să revenim la cazul anterior.
Note și referințe
-
Gérald Tenenbaum Introducere în teoria analitică și probabilistică a numerelor , ediția a 4- a , Paris, Belin, 2015
-
(în) Eric W. Weisstein , „ Formula lui Perron ” pe MathWorld
-
(în) Władysław Narkiewicz (de) , The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood , Springer ,2000( citiți online ) , p. 196
-
G. Valiron , „ Teoria generală a seriei Dirichlet ”, Memorialul științelor matematice , vol. 17,1926, p. 1-56 ( citiți online ), p. 9
-
(în) Tom M. Apostol , Introducere în teoria numerelor analitice , New York, Springer ,1976( citiți online ) , p. 243-246
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">